一元一次方程常考实际应用十二大类型（解析版）-2024-2025学年人教版七年级数学上册

一元一次方程常考实际应用（十二大类型）

【题型1:行程问题】

【题型2：工程问题】

【题型3：销售问题】

【题型4：方案问题】

【题型5：比赛积分问题】

【题型6：日历问题】

【题型7数字问题

【题型8：几何问题】

【题型9：水费和电费问题】

【题型10：比例分配问题】

【题型11：古代问题】

【题型12：其他问题】

匡满今公珠

【题型1:行程问题】

【典例1】如图，将一条数轴在原点。和点8处各折一下，得到一条“折线数轴〃，图中，点4表示的数

为一6,点8表示的数为10,点C表示为18,我们称点力和点C在该数轴上的“折线距离"为24个长度

单位，动点尸从点力出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点8期间

速度变为原来的两倍，之后立刻恢复原速；同时，动点。从点C出发，以2单位/秒的速度沿着折线数

轴的负方向运动，从点4运动到点。期间速度变为原来的一半，之后也立刻恢及原速，设运动的时间为

1秒,则：

⑴动点。从点力运动至点C需要秒，动点。从点C运动至点力需要秒：

⑵若P，0两点在点M处相遇，求相遇时间/以及点/在折线数轴上所表示的数；

⑶是否存在/值，使得从。两点在•数釉上的“折线距离”与。、"两点在数轴上的的“折线跑离”相等.

1

【答案】⑴19,17；

(2)t=9.6；点M在折线数轴上所表示的数是7.2

(3)当£=2秒或5秒或8秒或17秒时，OP=BQ

【分析1本题考查的是数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，清晰的分类

讨论是解本题的关键.

(1)利用路程除以速度求解即可得到答案；

(2)先判断相遇点M在0B上，再根据题意列方程求解即可；

(3)分四种情况讨论：①当点?在月。上，点。在C8上时；②当点尸在0A上时，点。在0B上时；③

当点尸在。8上时，点。在。3上时；④当点尸在8c上时，点。在。4上时，再列方程求解即可.

【详解】(1)解：动点尸从点4运动至点。需要[0—(-6)]+1=6秒，

从点0运动至点B需要10+2=5秒，

从点后运动至点「需要(18-10)-1=8秒，

则动点P从点A运动至点C需要6+5+8=19秒；

动点Q从点C运动至点B需要[18—10]+2=4秒，

从点B运动至点O需要10+1=10秒，

从点O运动至点A需要[0-(-6)]+2=3秒，

则动点Q从点C运动至点A帘要4+10+3=17秒；

故答案为：19,17；

(2)解：由(1)可得相遇点M在OB上，

二由题意得6+2(t—6)+8+—4)=18+6,

解得t=9.6,

.•.2(t-6)=7.2,即点M在折线数轴上所表示的数是7.2；

(3)解：①当点P在4。上，点。在CB上时，OP=6-t,BQ=8-2t,

•：OP=BQ,

•e*6—t=8—

解得t=2：

②当点尸在。4上时，点。在OB上时，0P=6-t,BQ=t-4,

-：OP=BQ,

•*-6—t=t—4,

2

解得t=5：

③当点尸在。B上时，点。在08上时，00=2«-6),BQ=t-4,

'.OP=BQ,

—6)=t—4,

解得t=8；

④当点尸在8c上时，点。在0A上时、0P=10+(t-ll),8Q=10+2Q—14),

•：0P=BQ,

.­.10+(t-ll)=10+2(t-14),

解得”17；

综上：当t=2秒或5秒或8秒或0秒时0P=8Q.

【变式1-1】甲站和乙站相距1500km,一列慢车从甲站开出，速度为60km/h,一列快车从乙站开出，

速度为90km/h.

⑴若两车相向而行，慢车先开30min,快车开出多少小时后两车相遇？

⑵若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距1800km?

⑶若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距1200km(快车在慢车的后面)？

【答案】⑴快车开出9.8h后两车相遇

(2)2h后两车相距1800km

(3)10h后两车相距1200km

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据每一问的速度和路程列出关于时间的方程式并求解是解

题的关键.

(1)设快车开出xh后两车相遇，根据两车行驶路程和为1500km,列出方程式即可解题；

(2)设yh后两车相距1800km,两车行驶路程和再加上甲站和乙站的距禽为1800km,列出方程式即可

解题；

(3)设zh后两车相距1200km,根据快车所走的路程比慢车所走的路程多1500-1200=300km,即可

列出方程式，即可解题.

【详解】(1)解：设快车开出xh后两车相遇.

30min=0.5h.

由题意，得60(x+0.5)+90x=1500,

解得％=9.8.

答：快车抄出9.8h后两车相遇.

3

（2）解:设yh后两车相距1800km.

由题意，得60y+90y+1500=1800，

解得y=2.

答：2h后两车相距1800km.

（3）解:设zh后两车相距1200km.

由题意，得90z—60%=1500—1200,

解得z=10.

答：10h后两车相距1200km.

【变式1-2］已知在数轴上点/表示的数为8,8在4点左侧，且48两点间的距离为14.动点P从

点4出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点。从8点向右运动，速度为每秒2个

单位，尸。同时出发，设运动时间为t（C>0）秒.

⑴数轴上点8表示的数是：当点尸运动到48的中点时，它所表示的数是.

⑵动点。从点8出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，求：

①当点尸和点。运动多少秒时，点。和点0第一次相遇？

②当点尸运动多少秒时，点P与点。间的距离为6个单位长度？

【答案】（1）-6,1

⑵①泯②料或5秒

【分析】本题主要考查了数轴上两点距禽计算，解决本题的关键是根据数轴上动点的运动情况列方程.

（1）先根据数轴上两点距离计算公式得到点88表示的数，再根据两点中点计算公式求解即可：

（2）①根据相遇问题的等量关系，利用动点尸的运动距离加上动点。的运动距离等于44两点间的

距离，列方程即可求解：

②根据点P与点Q相遇前和相遇后之间的距离为6个单位长度，分两种情况列方程即可求解.

【详解】（1）解:•••数轴上点乂表示的数为8,8在4点左侧，且48两点间的距离为14.

•••点8表示的数为8—14=-6,

当点尸运动到AB的中点时，它所表示的数是争=1,

故答案为：一6,1；

（2）解:①点尸和点。运动/秒时，点尸和点。第一次相遇，

则2t+4£=14,

解得t-:

4

即点尸和点。运动1秒时，点P和点。第一次相遇；

②设点产运动/秒

根据题意得：

当点尸与点。相遇前，点尸与点。距离6个单位长度时，则8—41一(-6+2。=6,

4

解得t=3：

当点尸与点。相遇后，点尸与点。距离6个单位长度时，则一6+2£—(8—41)=6,

解得"争

••・当点尸运动郛或5秒时，点。与点0间的距离为6个单位长度.

【变式1-3］综合与探究：

【背景知识】在学习绝对值后，我们知道，|a|表示数。在数地上的对应点与原点的距离.如图，如：⑸

表示5在数轴上的对应点到原点的距离.而|5|=|5—0|，即|5—0］也可理解为5、0在数轴上对应的两

点之间的距离.类似的，|5—3|表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两

点之间的距离，如|%—3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示数x的点之间的距离，一般地，

点力、3在数轴上分别表示数0、b,那么1、8之间的距离可表示为口一切.

11111111111111111A

-8-7-6-5-4-3-2-1012345678

【问题解决】请根据绝时值的意义并结合数轴解答下列问题：

(1)数轴上表示2和3的两点之间的距离是；

(2)数轴上点P表示的数是2,P、。两点的距离为3,则点。表示的数是;

【拓展延伸】

(3)如图，A、〃分别为数轴上的两点，力点对应的数为-20,4点对应的数为100.现有•一只电子蛆

蚁尸从4点出发，以6个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁。恰好从/点出发，以4个单

位秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁经过，秒，在数轴上的C点相遇.

-20100

①请你求出相遇时/为多少秒？

②请你求出。点所对应的数是多少.

【答案】(1)1:(2)-1或5；(3)①12；②28

【分析】此颍考杳的是绝对值的意义，数轴卜.两点方间的距离，数轴卜.点的i云动，还有相遇问题与追及

5

问题.注意用到了路程=速度X时间.

（1）直接根据数轴上两点之间的距离计算即可；

（2）分点Q在点P左边和点Q在点P右边两种情况列式计算；

（3）①根据经过，秒点P对应的数为：100-6t；点Q对应的数为：—20+4t,相遇时两点对应的数相

等列方程即可；

②根据①中相遇时所需的时间，再求出点Q走的路程，根据左减右加的原则，可求出一20国右运动到相

遇地点所对应的数.

【详解】解：（1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是|3—2|=1；

故答案为：1;

（2）•••数轴上点P表示的数是2,P,Q两点的距离为3,设点。表示的数是x,

/.|2—x\=3,

当点Q在点P左边时，2-3=-1：

当点Q在点P右边时，2+3=5；

即点Q表示的数是一1或5；

故答案为：-1或5；

（3）①经过/秒点P对应的数为：100—6t；点Q对应的数为：-20+4t,

当相遇时，则一20+4t=100-6t,

解得；£=12秒，

即12秒后相遇;

②根据①可得，相同时间Q点运动路程为：12x4=48（个单位），

则点Q从数一20向右运动48个单位到数一20+48=28,

故C点对应的数是28.

【题型2：工程问题】

【典例2】哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理.计划租用甲、乙

两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要20天，乙车队单独运完需要30天.乙车队先运了5天，

然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾.

⑴甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？

⑵己知甲车队每天的租金170元，比乙车队少30元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？

【答案】（；）10大

6

⑵4700元

【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解题关键；

（1）根据题意首先可以得知甲车效率为每天运送热乙车效率为每天运送点，据此设甲、乙两车合作还

需要％天运完垃圾，然后进一步列出方程求解即可；

（2）根据甲车队每天的租金170元，比乙车队少30元，计算求解即可；

【详解】（1）解：设甲、乙两车合作还需要》天运完垃圾，

根据题意得：,+,+/=1，

解得：%=10,

答：甲、乙两车合作还需要10天运完垃圾.

（2）解：乙队一共工作了15天，甲队一共工作了10天，

（1704-30）x154-170x10=4700,

答：运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金4700元.

【变式2-1】某学校开展社会实践活动，七年级（1）班和12）班承担了为树苗浇水的任务，已知（1）

班单独完成需要7.5h,（2）班单独完成需要6h.

⑴先由（1）班工作2h,然后两个班合作，前后共需几小时？

（2）如果需要在一个上午4h内完成，你将如何安排这次活动？

【答案】喈h

⑵让两个班一起合作完成此项任务（答案不唯一）

【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程.

（1）设两个班合作的时间为xh,将整个「程看作单位1,根据（1）班2h完成的工作量，加上两个班合

作完成的工作量为1,列出方程，解方程即可；

（2）设两个班一起合作完成此项任务需要的时间为yh,列出方程求出y的值，然后与4h进行比较，即

可得出答案.

【详解】（1）解：设两个班合作的时间为%h,根据题意得：

表（%+2）+/=1，

解得：x=

前后所用的总时间为:2+y=^（h）,

7

答：前后共需加.

(2)解：设两个班一起合作完成此项任务需要的时间为yh,根据题意得：

丫七+>1，

解得：y=

10,

«5<4,

••・两个班一起合作完成此项任务符合题意；

答：如果要在一个上午4h内完成，可以安排两个班一起参加这次活动.

【变式2-2】一项工程由甲队承担，需工期80天，工程费用100万元：由乙队承担，需工期100天，工

程费用80万.为了节省工期和费用，实际施工时，甲、乙两队合作若干天后，撤出一个队，由另一个

队继续工作到工程完成.结算时，共支出工程费用88万元.问：甲、乙两队合作了多少天？

【答案】甲、乙两队合作了32天

【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，找准等量关系列出方程是解决此题的关键.

甲队工作%天完成的工作量X甲队完成整个工程需要的费用+乙队整个工期完成的工作量X乙队完成

整个工程需要的费用=88.

【详解】解：设甲队工作X天，则甲队完成的工作审为京，乙队完成的工作量为(1一亳)，

由题意得，88=100x^+80x(1-^),

解这个方程可得：%=32.

乙队工作的天数：(1一韵++=60(天)，

■••32<60,

・••撤出的一个队是甲队，

则甲队工作的天数就是甲、乙两队合作的天数，

答：甲、乙两队合作了32天.

【变式2-3】一项工程，若请曰、乙两个工程队合作，则需6周完成，需要施工费12.6万元；若先请甲

工程队单独做4周后，剩下的请乙工程队来做，则还需要9周完成，需要施工费12.4万元.

⑴甲、乙两个工程队单独修路分别需要多少周完成？

(2)请甲、乙两个工程队工作一周需要施工费分别为多少万元？

⑶若只请•个工程队单独做，使该工程的施工费用低，应该选择甲工程队还是乙工程队？

8

【答案】(1)见解析

⑵见解析

(3)见解析

【分析】本题考查了一元一次方程的应用

(1)设甲工程队一周完成的工作量为乜则乙工程队一周完成的工作量为*1-6乃，根据若先请甲工程

队单独做4周后，剩下的请乙工程队来做，则还需要9周完成，列出一元一次方程，解方程即可；

(2)设甲工程队工作一周需要施工费m万元，则乙工程队工作一周需要施工费*12.6-6m)万元，即

(2.1—/n)万元，根据若先请甲工程队单独做4周后，剩下的请乙工程队来做，则还需要9周完成，需要

施工费12.4万元.列出一元一次方程，解方程即可；

(3)分别求出只请一个工程队单独做的施工费，再比较即可.

【详解】(1)解：设甲工程队一周完成的工作量为人则乙工程队一周完成的工作量为长1—6©,

由题意得：4x+9xj(l-6x)=1,

解得：％=看，

・•・;(l-6x)=1x(l-6x^)=^,

即甲工程队单独修路需要10周完成，乙工程队单独修路需要15周完成，

答；甲工程队单独修路需要10周完成，乙工程队单独修路需要15周完成；

(2)设甲工程队工作一周需要施工费m万元，则乙工程队工作一周需要施工费?12.6—6m)万元，即

(2.1-m)万元，

由题意得：4m+9(2.1—m)=12.4,

解得：m=1.3,

:.2.1—m=0.8,

答：甲工程队工作一周需要施工费1.3万元，乙工程队工作一周需要施工费0.8万元；

(3)应该选择乙工程队，理由如下：

只请甲工程队单独做，施工费为10X1.3=13(万元)，

只请乙工程队单独做，施工费为15x0.8=12(万元)，

•••12<13,

・•・应该选择乙工程队.

9

【题型3：销售问题】

【典例3】某超市第一次用7000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、

乙两种商品的进价和售价如表：（注：获利=售价一进价）

甲乙

进价/（元/件）2030

售价/（元/件）2540

⑴该超市将第•次购进的甲、乙两种商品各多少件？

⑵该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一

次的3倍.甲商品按原价销售，乙商品降价俏售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获

得的总利润多800元，求第二次乙商品的售价是多少？

【答案】⑴购进甲商品200件，购进乙商品100件

（2）第二次乙商品的售价为36元

【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，商品的打折销售问题，掌握利用一元一次方程解决商品的

打折销售问题是解题的关键.

（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品'件，利用第一次购进甲、乙两种商品的总价为7000

元，可得20%+30xjx=7000,再解方程可得结论；

（2）设第二次购进乙种商品是按原价打y折销售，可得：（25—20）x200+0—30）

x100x3=2000+800,解方程后可得答案.

【详解】（1）设购进甲商品）件，则购进乙商品？件，

20%4-30xjx=7000,

解得：x=200,

=100,

••・购进甲商品200件，购进乙商品100件.

（2）第二次购进甲商品200件，

第二次购进乙商品100X3=300（件），

第一次利润为（25-20）x200+（40-30）x100=2000（元）

10

设第二次乙商品售价为y元，

(25-20)x200+(y—30)x100x3=2000+800,

解得：y=36

第二次乙商品的售价为36元.

【变式3-1】小华的妈妈为爸爸买了一件上衣和一条裤子，共用了306元，其中上衣按标价打七折，裤

子按标价打八折，上衣的标价为300元.裤子的标价为多少元？

【答案】120元

【分析】本题考查一元一次方程的应用，找到等量关系是解题的关键.

设裤子的标价为汇元.根据题意可得300X0.7+0.8%=306,解方程即可.

【详解】解：设裤子的标价为x元.

依题意，得300x0.7+0.8%=306,解得x=120.

故裤子的标价为120元.

【变式3-2】小明同学用的练习本可以在甲、乙两个商店买到.已知两个商店的标价都是每本1元.甲

的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的六天卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始

就按标价的八折卖.

⑴当购买数量超过10本时，请用含汇的式子分别表示在甲、乙两商店购买本子的费用.

⑵小明要买25本练习本，到哪个商店购买较省钱？并说明理由.

⑶小明现有30元，最多可买多少木练习木？

【答案】⑴(0.6。+4)元;0.8玩

(2)在甲商店购买较省钱，见解析

(3)小明现有30元,最多可买43本练习本

【分析】本题考查了列代数式，涉及到解一元一次方程，关健是解方程时不能出错，最后的结果要取整

数.

(1)根据题意，分别列出在甲乙两个商店购买本子的费用的代数式；

(2)购买25本练习本，分别把％=25代入表示甲、乙两个商店的费用的代数式，即可得到结果：

(3)现有30元钱，得到两个方程，分别解方程，即可得到结果.

【详解】(1)解：根据题意，

在甲商店购买需花费：10xl+(x-10)xlx0.6=0.6x+4(元)，

在乙商店购买需花费：lx0.8xx=0.8x(元)，

答：在甲、.乙两商店购买本子的费用分别为：(0.6X+4)7C；0.8X7G.

11

（2）解：要买25本练习本，

在甲商店需花费:0.6x25+4=19（元），

在乙商店需花费：0.8x25=20（元），

v19<20,

二在甲商店购买较省钱；

（3）解：小明现有30元，

①若在甲商店购买本子，可得到：0.6%+4=30,

即0.6%=26,

解得：x=43%

故在甲店最多可购买43本，

②若在乙店购买本子，可得到：0.8%=30,

解得：x=37p

故在乙店最多可购买37本，

二小明现有30元，最多可买43本练习本.

【变式3-3】【课本再现】：下面是人教版初中数学教科书七年级上册第102页探究1的部分内容.

探究1销仕:中的盈亏

（1）一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%,另一件亏损25%,这两

件衣服的进价分别是■元和工，卖这两件衣服总的是■（填“盈利”、"亏损〃或"不赢不亏〃）.

【解决问题】：

七年级实践小组去商场调查，了解到某款羽绒服以每件80元的价格购进了200件，并以每件120元的价

格俏售了•部分，为回笼资金，商场将剩下的羽绒服在原售「介的基础.上每件降价40%销售，并全部销售

完毕.已知这批羽绒服总利润是5600元，请你算一算降价前共化:出多少件？

【答案】（1）48：80；亏损；（2）降价前共售出羽绒服150件

【分析】本题主要考杳了有理数除法的实际应用，一元一次方程的实际应用：

（1）根据利润=售价一进价分别求出两件衣服的原本售价即可得到答案；

（2）设降价前共售出x件，则降价后售出（200—％）件，根据利润=（单价售价一单价进价）x销售

量列出方程求解即可.

【详解】解：（1）60+（1+25%）=48元，60+（1-25%）=80元，

二盈利25%的衣限的原本代价为48元，亏损25%的衣服的原本M价为8075，

12

v80+48-60x2=8元，

••・卖这两件衣服总的是亏损了8元，

故答案为：48；80；亏损；

(2)设降价前共售出x件，则降价后售出(200—%)件，

由题意得,(120-80)%+[120x(l-40%)-80](200-x)=5600,

解得戈=150,

答：降价前共售出150件.

【题型4：方案问题】

【典例4】某学校在一次环保知识宣传活动中，需印刷若干份调查问卷.印刷厂有甲、乙两种收费方式,

甲种方式：收制版费6元，每印一份收印刷费0.1元：乙种方式：不收制版费，每印一•份收印刷费0.12

元：设共印刷调查问卷，份.

⑴按甲种方式应收费一元，按乙种方式应收费一元；(用含x的代数式表示)

(2)试问学校选用哪种印刷方式所需费用较少？

【答案】⑴0.11+6；0.12%

⑵印刷少于300份时，乙种收费方式较少；印刷300份时，两种收费方式一样多；印刷多于300份时,

甲种收费方式较少

【分析】此题考查的是列代数式表示实际问题和一元一次方程的应用，掌握实际问题中各个量之间的关

系是解决此题的关键.

(1)根据题意，分别写出甲、乙两种收费方式即可；

(2)根据收费方式列出方程解答即可.

【详解】(1)由题意可知:甲种收费方式应收费(0.1%+6)元:

乙种收费方式应收费0.12%元

故答案为:O.lx+6：0.12x.

(2)根据题意可得：0.1x+6=0.12%,

解得：x—300.

故印刷少于300份时，乙种收费方式较少；印刷300份时，两种收费方式一样多；印刷多于300份时,

甲种收费方式较少.

【变式4-1】新学年，学校为了更新体育器材，计划购买10副乒乓球拍和若干盒乒乓球(大于10盒)，

已知甲乙吆家体育用品商店的标价相同，一副乒乓球拍的标价为60兀，一盒乒乓球的标价是20兀，现

13

了解到两家体育用品商店都在做促销活动，甲店；买一副乒乓球拍送一盒乒乓球；乙店：所有商品均打

八折.

⑴若学校购买乒乓球30盒，则在甲店购买球拍和球的总费用为元,在乙店购买球拍和球的总费

用为元；

⑵学校经过测算，去甲店购买与去乙店购买所付的总费用相同，求学校计划购买乒乓球多少盒？

⑶依据（2）的购买数量，选择在甲，乙两家体育用品商店同时购买所需器材，请你设计一种最省钱的

购买方案.

【答案】⑴1000,960

⑵学校计划购买乒乓球20盒

⑶最省钱的购买方案是在甲店购买球拍10副并送10盒乒乓球，在乙店购买球10盒，此时的总费用为

760元

【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意.找出等量关系.列出方程是解决问题的关键.

（1）按照对应的方案的计算方法分别列式计算即可；

（2）设学校计划购买乒乓球%盒，根据“去甲店购买与去乙店购买所付的总费用相同〃列出方程求解即可；

（3）根据两种方案的优惠方式，可得出先在甲店购买10副球拍，送10盒乒乓球，另外10盒乒乓球在

乙店购买即可.

【详解】（1）解：在甲店购买球拍和球的总费用为10x60+（30-10）x20=600+400=1000元，

在乙店购买球拍和球的总费用为（10x60I30x20）x0.8=960元，

故答案为:1000,960；

（2）设学校计划购买乒乓球彘，

由题意得:60x10+20（%-10）=0.8（60x10+20x）

解得：x=20,

答：学校计划购买乒乓球20盒；

（3）在印店购买10副球拍，送10盒乒乓球需10x60=600元，

在乙店购买另外10盒乒乓球需20X10X0.8=160元，

总费用为600+160=760元，

答：最省钱的购买方案是在甲店购买球拍10副并送10盒乒乓球，在乙店购买球10盒，此时的总费用

为760元.

【变式4-2】商店售出茶壶和茶杯，茶壶每只定价24元，茶杯每只定价5元.该店制定了两种优惠办法,

方法1：买二只茶壶赠送一只茶杯；方法2：按总价打九折.某顾客需购买茶壶5只，茶杯若干只（不少

14

于5只），若设购买茶杯数为工只，付款数分别按两种优忠办法计算.

⑴计算两种不同的收费；

⑵当顾客在同一商店购买多少只茶杯时，两种办法的付款数相同？

【答案】⑴方法1：24x5+（x-5）x5=5x+95,方法2：5x24x0.9+xx5x0.9=4.5%+108；

（2）当顾客在同一商店购买26只茶杯时，两种办法的付款数相同.

【分析】（1）分别按照方法1和方法2列出代数式即可：

（2）当5%+95=4.5%+108时，解出方程即可；

本题考查了列代数式，一元一次方程得应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】（1）由题意可知：方法1：24x5+（无一5）x5=5x+95,

方法2：5x24x0.9+xx5x0.9=4.5x+108：

（2）当5%+95=4.5无+108时，

解得：x=26.

答：当顾客在同一商店购买26只茶杯时，两种办法的付款数相同.

【变式4-3】七年级某班因参加校园运动会为学生购置运动装.经了解，某服装店男款运动装每套100

元，女款运动装每套120元，原价购买50套运动装共需5520元.为吸引顾客，该店推出两种优惠方案：

方案一：全部运动装八五折销售；

方案二：一次性购买40套运动装（男女运动装均可）及以」.免费赠送10套男款运动装，其余的按原价

销售.

⑴该班购买的男款运动装和女款运动装各多少套？

（2）请通过计算说明该班购买50套运动装应选择哪种优惠方案更合算？

【答案】⑴该班购买的男款运动装24套.

⑵按方案二购买更合算

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据已知的等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.

（1）设该班购买的男款运动装工套，由总共需要5520元列方程1004十120（50-*）=5520,解出力即可.

（2）按方案一购买需：5520x0.85=4692（元）；按方案二可以购买14套男运动装和28套女运动装

加赠送10套男款运动装，费用为：14x100+26x120=1400+3120=4520（元），比较大小即可.

【详解】（1）解：设该班购买的男款运动装工套，则购买的女款运动装各多少套为（50—幻套，根据题

意得

100x4-120（50-X）=5520

100%+6000-120%=5520

15

x=24

答：该班购买的男款运动装24套.

（2）按方案一购买需：5520x0.85=4692（元）

按方案二购买需：按原价购买14套男运动装和26套女运动装加赠送10套男款运动装

14X100+26X120=14004-3120=4520（元）

•••4692>4520

按方案二购买更合算.

【题型5：比赛积分问题】

【典例5】某校组织学生参加2022年冬奥知识问答，问答活动共设有20道选择题，每题必答，每答对

一道题加分，答错一道题减分，下表中记录了力、氏C三名学生的得分情况：

参赛学生答对题数答错题数得分

A200100

B18286

C15565

请结合表中所给数据，回答下列问题：

⑴本次知识问答中，每答对一题加分,每答错一题减分；

⑵若小明同学答对16题，请计算小明的得分；

⑶若小刚同学参加了本次知识问答，下列四个选项中，哪一个可能是小刚的得分（填写选项）；

A.75；B.63；C.56；D.44

并请你计算他答对了几道题，写出解答过程，（列一元一次方程解决问题）

【答案】⑴5,2

⑵72

（3）D,答对了12道题

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件,

找出合适的等量关系列出方程，再求解.

（1）根据力的得分可求出每答对一题的加分，根据8或。的得分可求出每打错•题的减分；

（2）按照（1）中的答题得分计算即可；

（3）设小刚答时丫道题，则答错道题，列方程对每个选项分析即可：

16

【详解】(1)解：答对一题加：100+20=5分，

答错一题减：(18x5—86)+2=2分，

故答案为：5,2；

(2)小明的得分:5x16+(-2)x(2。-16)=72分，

(3)D,答对了12道题.

设他答对x道题，则答错(20—幻道题.

A.若5%—2(20—工)=75,解得％=手，故不符合题意；

B.若5%一2(20—x)=63,解得x=攀，故不符合题意；

C.若5.2(20-％)=56,解得％=手，故不符合题意；

D.若5%—2(20—％)=44,解得％=12,符合题意；

答：小刚同学答对了1?道题.

【变式5-115支球队进行足球比赛，每两支队之间都要赛一场，规定胜一场得3分，平一场各得1分,

负一场不得分.全部比赛结束后，发现5支球队共得27分，那么共有多少场平局？

【答案】3场

【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，先求出5支球队需要比赛的场数，设共有x场平局列出

x的一元一次方程求解即可得出答案.

【详解】解：5支球队需要比赛5X4=10(场)，

设共有工场平局，根据题意有：

3(10-x)+2%=27,

解得：x=3

答：共有3场平局.

【变式5-2】学校举行了环保知识竞赛，竞赛中每答对一题加5分，答错一题扣3分，一共20道题，小

芳完成了全部答题，并在本次竞赛中获得了84分，她做对了几题？

【答案】18道题

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，

找出合适的等最关系列出方程.设她答对了X道题，根据晓耆同学在该知识竞赛中的得分是84分，列方

程求解即可.

【详解】解：设她答对了“道题，则答错(20—切道题.

17

根据题意，得5x—3(20—%)=84.

解得％=18.

答：她答对了18道题.

【变式5-3】某次篮球联赛部分球队积分表

队名比赛场次胜场平场负场积分

A1684436

B1628628

C16016032

D1662830

E16012aC

F16b61022

⑴由表中数据可知，胜--场积分,平一场积分，负一场积分；

(2)直接与出Q=»b=»c=：

⑶设一个队胜m场，负场是平场的2倍，则平场(用含m的式子表示)；

⑷G队平了3场，该队队长声称他们队的积分是30分，你认为可能吗？为什么？

【答案】⑴3,2,1；

(2)4,0,28：

⑶竽

⑷不可能，理由见解析.

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，根据题意找到等量关系，列出方程是解题的关键.

(1)根据表格即可求解；

(2)根据表格即可求解；

(3)由胜m场，可得平场和负场共(16-m)场，再根据负场是平场的2倍，即可求解；

(4)不可能.设胜了x场，则负了(13—乃场，由故意可得3工+13—％=24,解方程得到x=5.5,不合

题意，即可说明；

【详解】(1)解：由C队得到，平一场积32+16=2分，

由小队可得，胜了0场，即b=0,

•♦•负一场积(22—6X2)+10=1分，

18

••.由A队可得，胜一场积(36-4x2-4x1)+8=3分,

故答案为：3,2.1；

(2)解：由(1)可知，b=0,

由E队可得，a=16—12=4,

"=12x2+4x1=28,

故答案为：4,0,28；

(3)解：；胜m场,

二平场和负场共(16—m)场,

•••负场是平场的2倍,

・•・平了号窗,

故答案为：163nl

(4)解：不可能，理由如下:

若平了3场，积分是30分，则胜场和负场积分为30—3x2=24分,

设胜了”场，则负「(13—X)场,

由题意可得,3x4-13—X=24,

解得x=5.5,不合题意,

•••G队平了3场，积分是30分是不可能的.

【题型6：日历问题】

【典例6】月历中的数学：观察如图所示的2020年11月的月历，解答下列问题:

H—三四五六

124567

891011121314

15161718192021

22232425262728

2930

⑴用形如□的长方形框去框月历里同一行的4个连续的数.

①若框里4个数中的最小数记为％,用含％的代数式表示这4个数的和为,这4个数的和的最大值

是

19

②若框里4个数的和是66,则这4个数分别是多少？

⑵用一个4X3的长方形框去任意框12个数（如图），框里的12个数的和能等于222吗？能等于246

吗？若能，请求出框里的12个数中的最小数；若不能，请说明理由.

【答案】（1）①4%+6,106：②15,16,17,18

（2）能等于222,最小数为10,不能等于246,理由见解析

【分析】本题主要考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并能结合月历的

特点是解题的关键.

（1）①根据日历的特点分别表示出其他三个数，然后求和即可；根据月历的特点，可以找到框25,

26,27,28时，和最大；②若框里4个数中的最小数记为无，那么其它三个数分别为X+1,x+2,

x+3,那么这4个数的和为3+无+1+无+2+X+3=4%+6,然后解方程求出工的值，进而求出其他

三个数；

（?）设最小数为Q,那么第一行的四个数分别是Q.Q+l・a+2,Q+3,那么第一行的和为4a+6,第

二行的四个数分别是a+7,Q+8,a+9,a+10,第二行的和为4a+34,第三行的四个数分别是

a+14,a+15,a+16,a+17,第三行的和为4a+62,由题意可知，12a+102分别等于222和

246,分别解得答案，然后结合月历，看是否符合月历的特点.

【详解】（1）解：①若框里4个数中的最小数记为心那么其它三个数分别为x+1,x+2,x+3

那么这4个数的和为％4-x+l+x4-2+x+3=4x+6

从月历上看，可知当框起来的数是25,26,27,28时，和最大，最大值为106.

②若框里4个数中的最小数记为％,那么其它三个数分别为1+1,%+2,x+3

那么这4个数的和为x+x+l+x+2+x+3=4x+6,由题意可知

4%+6=66

解得％=15

那么这4个数分别为15,16,17,18.

（2）解：设最小数为a,那么笫一行的四个数分别是a,a十1,a+2,a+3,那么笫一行的和为

4a+6,第二行的四个数分别是Q+7,a+8,a+9,a+10,第二行的和为4Q+34,第三行的四个

数分别是Q+14,a+15,a+16,a+17,第三行的和为4a+62,由题意可知

4a+6+4a+34+4a+62=222

解得：a=10

从月历看，这12个数分别是10,11,12,13,17,18,19,20,24,25,26,27；

•••能等于222,这12个数分别是10,11,12,13,17,18,19,20,24,25,26,27；最小的数字是

20

10,

不能等于246,理由如下：

当4a+6+4a+34+4a+62=246

解得：Q=12

从月历看，最小的数字是12,一行只有三个数，不符合要求.

【变式6-1】如图是某年9月的口历，用形如X型框，去框口历中的口期数每次同时框5个数.

123

48910

113^X（4151617

]82223赞

252627282930

⑴设X框最中间的数为a,则这5个数之和为（用含。的代数式表示）：

⑵这5个数的和能等于68吗？请说明理由.

【答案】⑴5a

⑵不能，理由见解析

【分析】本题考查了一元一次方程的应用及列代数式，能够根据X框最中间的数，表示出其余4个数是

解决问题的关键.

（1）根据X框最中间的数，表示出其余4个数，再列出5个数之和，计算后即可得出答案：

（2）当5a=68时，。不是整数，即可得出这5个数的和不能等于68.

【详解】（1）解：框最中间的数为m则其余4个数分别为a—8,a-6fa+6,a+B,

.,.这5个数之和为：a—8+a-6+a+a+6+a+8=5a,

故答案为：5a：

（2）解：不能，理由如下：

当5a=68时，a=13/

•••〃必须为整数，

•••这5个数的和不能等于68.

【变式6-2】你对生活中常见的月历了解吗？月历中存在许多数字奥秘，你想知道吗？下表是2023年3

月的月历.

21

2023年3月

日一二三四五

1234

567891011

12131415161718

19202122232425

262728293031

⑴它的横行、竖列上相邻的两数之间有什么关系？

（2）如果告诉你一竖列上连续三个数的和为72,你能知道是哪几天吗？

【答案】（1）横行上相邻的两个数之差为1,竖列上相邻的两数之差为7

⑵这三天分别是17号、24号、31号

【分析】本题考查数字类规律探究，一元一次方程的应用：

（1）直接观察，即可得出结果；

（2）设一-竖列.上连续三个数的中间的一个数为X,根据题意，列出方程进行求解即可.

【详解】（1）解：由图可知：月历中,横行上相邻的两个数之差为1,竖列上相邻的两数之差为7.

（2）设一竖列上连续三个数的中间的一个数为x,则上面的一个数为％—7,下面的一个数为％+7.

依题意得，（%—7）+%+（x+7）=72,

解得：x=24

所以工—7=24—7=17,x+7=24+7=31；

答：这三天分别是"号、24号、31号.

⑴十字框框出的5个数与十字框中间的数有什么关系？

⑵如果十字框框出的5个数之和为55,那么十字框中间的数是多少？

⑶十字框框出的5个数之和可以是105吗？

【答案】（1）十字框框出的5个数的和等于十字框中间的数的5倍

⑵十字框中间的数是11

⑶十字框框出的5个数之和可以是105

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键.

（1）根据暨意列式计算，即“J找出相应关系；

22

(2)根据“十字框框出的5个数之和为55〃列方程求解即可；

(3)根据"卜字框框出的5个数之和是105〃列方程求解即可.

【详解】(