2026高一数学专项提升讲义：函数的应用（二）学生版

第21讲：函数的应用(二)

【知识梳理】

知识点一函数的零点

对于函数y=/(x),我们把使.凡0=0的实数x叫做函数y=/(x)的零点.

方程、函数、图象之间的关系：

方程/(x)=0有实数解Q函数y=/(x)有零点=函数y=/(x)的图象与x轴有交点.

知识点二函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的交点

方程＜x)=0的实数解＜=＞函数y=/(x)的零点Q函数y=/(x)的图象与x轴的交点的横坐标.

知识点三函数零点存在定理

如果函数歹=/(x)在区间口，切上的图象是一条连续不断的曲线，并且有火〃)：/(6)＜0,那么，函数＞=(丫)

在区间

(03内至少有一个零点,即存在出Q,b),使得y(c)=o,这个。也就是方程兀0=0的解.

知识点四二分法

对于在区间口，切上图象连续不断且./(。)火6)＜0的函数歹=贡的，通过不断地把函数./⑴的零点所在的

区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解.

知识点五用二分法求函数大X)零点近似值的步骤

1.确定零点祝的初始区间［。，句，验证人。)火力)＜0.

2.2.求区间5，田的中点c

3.计算大。)，并进一步确定零点所在的区间：

⑴若«)=0(此时xo=c),则c•就是函数的零点；

⑵若儿7)：/(c)v0(此时XoW(4,c)),则令b=c；

⑶若(此时xo€(c,。),则令a=c.

4.判断是否达到精确度心若|。一"气则得到零点近似值〃(或与；否则重复步骤(2)〜(4).

以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复

始怎么办？精确度上来判断.

【例题详解】

题型一、求函数的零点或者参数

I.(2025高二下•湖南郴州•学业考试)函数/(x)=ln(x+e)-1的零点是()

.1

A.0B.1C.2D.3

2.(2024高二下•福建•学业考试)已知x=l是函数/(乃=2"+*-5的零点,则加为()

A.1B.2C.3D.4

3.(12-13高一下•江苏盐城•期中)已知函数尸N_3X+2,若函数只有一个零点，则〃的值是.

题型二、零点存在性定理的应用

4.(2026高三・全国・专题练习)函数/(x)=Mt+2x-6的零点所在的区间是()

A.。,2)B.(0,1)C.(2,e)D.(e,3)

5.(25-26高一上•北京顺义・期末)函数/(x)=c'2x-4的零点所在的大致区间是()

A.(0,1)B.(L2)C.(2,3)D.(3,4)

6.(2025・山东•模拟预测)函数/(x)=lgx+lg(x-3)-l的零点为_______.

题型二、根据零点所在的区间求参数范围

7.(2025・辽宁抚顺•模拟预测)函数/("=履-4+戈唾2》在区间[1,4)内有零点，则实数2的取值范围为

()

A.[-4,1)B.(-4,1]C.卜1,4)D.

8.(25・26高一上•广东广.州•阶段练习)函数/")=27唾心-1)-5的零点在区间(2,3)内，则实数。的

取值范围为()

A.(4?)B.(4,18)c.(8,18)D.(8,9)

9.(25-26高一下•上海•期中)若函数/(x)=2、(x+a)-l在区间(0,1)上有零点，则实数。的取值范围是一

题型四、根据函数零点个数求参数范围

10.(2025•广西柳州•模拟预测)已知函数/⑴=卜二产一3，3°,若方程/(》)=£的实数解恰有两个,

-2+Inx,x>0

则实数〃的取值范围是()

A.k<-4B.-4<k<-3C.R=-4或”>一3D.〃二一4或A2-3

2

IL（25-26高一下四川泸州期末）若关于x的方程eJn（r+a）=O在（0,+8）上有解，则实数a的取值

范围是（）

A.（c,+8）B.（-8,e）C.18,口D.（5+°0）

12.（25・26高三下•北京•阶段练习）若函数恰有两个零点，则实数小的取值范围

（x-l）inx,x＞0

是_____

题型五、二分法概念的理解

13.（25-26高一上•辽宁大连•期天）用二分法研究函数"x）=/+8/_］的零点时，第一次经过计算得

/（0）＜0,/（；）＞。，则零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为（）

卜刖，噌）B.唠醺C矶演D,q，喑）

14.（25・26高一上•山东济宁•期天）已知函数/（x）=lnx+4x-9,现用二分法求函数在（2,3）内的零

点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（）

A.（2；）B.4令C.（-1,—）D.（—,3）

15.（2025高三下•全国•专题练习）下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零

16.（2025高一•全国•专题练习）用二分法求方程的近似解，求得/（x）=/+2x-9的部分函数值数据如

表所小:

X121.51.6251.751.8751.8125

/（X）-63-2.625-1.459-0.141.34180.5793

则当精确度为0.1时，方程/+2/-9=0的近似解可取为（)

3

A.1.6B.1.7

C.1.8D.1.9

17.（21.22高一上•全国•课后作业）已知函数/⑴=3f_i在区间（0,1）上有啡一零点,%,如果用“一分

法”求这个零点（精确度£=0.05）的近似值，那么将区间（0,1）等分的次数至少是—.此时规定只要零点

的存在区间（。，〃）满足心-4<£,贝I可用—作为零点的近似值，由此求得与=.

18.（21-22高一上•全国•课后作业）在用二分法求方程〃为=0在［0』上的近似解时，经计算，八0.5）<0,

/（0.751>0,/（0.625）<0,即可得出方程的一个近似解为（精确度为0.2）.

题型七、根据指对塞的零点分布求参数

19.⑵-26高一上•全国•课后作业）若函数/（x）=（g）-log?》与函数g（x）=（；-log|X的零点分别为X1,

则再々所在区间为（）

A.（0/）B.（一）

C.。，2）D.［1,-KO）

20.（2025・河南・模拟预测）已知函数/（4）=［腕2寸°<1，存在0"5<占，使得/‘（'）=/（、2）=/“3），

3-\Jx,x>4

则中2凡的取值范围是.

21.（25-26高一上•安徽芜湖・期末）已知函数/（》）=巳若“4,且/⑷=/3）,则43）的取值

范围是.

题型八、函数模型的应用

22.（北京市北京师范大学附属中学2023届高三下学期三模测试数学试题）用于测量视力情况的视力

表通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据上和小数记录法的数据/满足

L=5+lgP.已知甲、乙两人视力的五分记录法的数据分别为5.2和4.9,乙视力的小数记录法的数据为

4

0.8,则甲视力的小数记录法的数据为（）

A.1.0B.1.2C.1.5D.2.0

23.（25-26高二下•陕西渭南•期末）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所

需要时间TMlogzN（单位：小时），其中左为常数，在此条件下，已知训练数据量N从IO,个单位增

加到1.024x1（）9个单位时,训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024x1（）9个单位增加到8.192x1（）9个

单位时，训练时间增加（单位：小时）（）

A.2B.4C.6D.8

24.（2025高三・全国・专题练习）人类已进入大数据时代，目前.，数据量己经从TB（1TB=1O24GB）级别

跃升至#13（止13=1024113）上8（比13=1024「13）乃至28（128=1024£8）级另1].国际数据公司研究表明，数据量

/。）与时间x（单位：年）之间满足关系式：=已知第1年（2008年）全球产生的数据量

约为0.5ZB,第2年全球产生的数据量约为0.8ZB.那么从第（）年开始全球产生的数据量不低于

500ZB.（1g2ao.3,lg5ao.7）

A.19B.18C.17D.16

题型九、函数的零点和方程综合

25.（23・24高一下•云南昭通・期天）函数/*）=[1+2：-3,了0的所有零点之和为（）

lgx-l,x>0

A.8B.7C.5D.4

26.（25.26高一上•北京平谷•期口）设函数=-产+21对，/（x）的单调递减区间是:

若互不相等的实数占，々，七满足/（司）=/（々）=/（与），贝IJX+W+W的取值范围是.

Q1।1<Q

27.（2025•江苏盐城•三模）设函数/（'）=：r八，若关于x的方程[八刈2_3/*）+2=0的解的个数

|log6x|,x>（）

是___________

【专项训练】

5

一、单选题

1.（25.26高一上•江苏南通•阶段练习）二次函数户f+x+m有零点的充要条件的是（）.

A.B.wC.w>-D.m<-

4444

2.（25-26高一下•云南昭通•阶段练习）函数/（力=2'-2的零点所在的区间是（）

X

A.（1,2）B.（2,3）C.。,4）D.（4,5）

3.（23.24高一下•河南漠河・期末）函数〃x）=hu+/+a,则“〃v-1”是“函数/（x）在（1⑶上存在零点”

的（）

A.充分不必要条件B.充分必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

4.（25・26高一下•云南昆明•期中）Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法,

它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为£=4。看，其中上表示每一

轮优化时使用的学习率，4表示初始学习率，。表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，a表示衰减速

度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6,衰减速度为20,且当训练迭代轮数为10

时，学习率衰减为0.3,则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（）

（参考数据：业2。0.3,lg3=0.477）

A.14R.15C.16D.17

5.（2025•山西吕梁•三模）已知函数〃x）=（x-a）2-|x-有三个零点，则三个零点之和为

（）

A.0B.1C.2D.3

6.（25-26高一上•全国•课后作业）已知1是函数/3=/+d2_工+2的一个零点，则函数“X）的所有

零点之和为（）

6

A.yB.2c.3D.4

7.(2026高三•全国•专题练习)己知函数/")=|仔二，"廿'则y=/(x)-：的所有零点之和为()

|x+l|,x<0,2

A.克里B.匕也C.2D.0

22

8.(25-26高二下•天津和平・期末)已知函数/(x)=x2_i(x>o),g［卜卜唾尸》的零点分别

是a.b.c,则()

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.a>c>b

二、多选题

9.(23-24高一上•湖南衡阳•阶段练习)下列函数中能用二分法求零点近似值的是()

A.f(x)=3x-\B./(-v)=x3c./(x)=ND.f(x)=\nx

10.(23-24高一上•广东佛山•阶段练习)已知怎,十分别是函数=和8⑴二蜒2AL的零点,

X-X

则()

X|

A.2-x2=0B.log,x,+log2x2=0

r

C.W>2D.2'-log2x2=1

11.(25-26高二下•浙江宁波•期中)设函数/(x)=x|x|+以+c,下列命题中正确的有()

A.c=0时，y=/(x)是奇函数

B.b=0,c>0时，方程/(x)=0只有一个实根

C.y=/(x)的图象关于(o,c)对称

D.方程/卜)=0至多有两个实根

12.(25-26高一下•云南昆明•期天)若正数2，z满足2、=1。与户z?,则x,y,z的大小关系可能是()

2

A.N<z<xB.x<z<yC.y〈x<zD.x<>'<z

13.2(5・26高二下•陕西汉中・期木)己知函数/(x)=lnx+ln(6r),则下列说法正确的是()

7

A./'a）的图象是轴对称图形B./（x）在（0,3）上单调递增

C.“X）的值域为（0,2In3]D./（戈）恰有两个零点

三、填空题

14.（25-26高三上•江苏盐城•阶段练习）函数〃x）=ln（2x）-1的零点在区间化％+1）内，则正整数

X

k=.

15.（25・26高一下•贵州遵义・期中）已知是函数/（x）=lnxr+2的零点，则铲一2一%+3=.

16.（25・26高二下•北京通州•期末）已知函数,二一」若关于x的方程=a有三个相

异的实数根，则Q的取值范围是.

17.（2025高二下•天津南开•学业考试）若函数=1卜”有一个零点，则实数”的取值范围

是

18.（北京市北京师范大学附属中学2023届高三下学期三模测试数学试题）设函数

/（力=卜；一"""’若。=1，贝/满足/（x）>。的"的一个取值为_________；若/（x）恰有3个零点，则

-2x,x>a

实数。的取值范围是.