2027年高考数学一轮复习：极值与最值（学生版）

第16讲极值与最值

知识梳理

知识点一：极值与最值

1、函数的极值

函数f(x)在点附近有定义，如果对xo附近的所有点都有/(A)</(%),则称/(X0)

是函数的一个极大值，记作用大伊=〃不).如果对毛附近的所有点都有，*)>/(七)，则

称/(%)是函数的一个极小值，记作y极小假=/(.%).极大值与极小值统称为极值，称为为

极值点.

求可导函数/(X)极值的一般步骤

(1)先确定函数的定义域；

(2)求导数r(x)；

(3)求方程r*)=o的根；

(4)检验/'(X)在方程(@)=0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，

在右侧附近为负，那么函数)，=/(幻在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，

在右侧附近为正，那么函数y=/(©在这个根处取得极小值.

注：①可导函数/(幻在点/处取得极值的充要条件是：/是导函数的变号零点，即

/vo)=o,且在.”左侧与右侧，/(入，)的符号导号.

②((/)=。是/为极值点的既不充分也不必要条件，如/(x)=v,r(o)=o,但

%=0不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数/*)=凶，在极小值点

毛=0是不可导的，于是有如下结论：/为可导函数/(X)的极值点=>尸(%)=0；但

/'(%)=()/%为“幻的极值点.

2、函数的最值

函数)，=/*)最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数/(X)最小值为

极小值与靠近极大值的端点之间的最小者.

导函数为/(x)=-+bx+c=a[x-)(x-x,)(tn<x]<x2<n)

(1)当a>0时，最大值是/(5)与/(〃)中的最大者；最小值是/(.G)与/(M中的最

小者.

(2)当。<0时，最大值是/(%)与/(M中的最大者；最小值是/(%)与/(〃)中的最

小者.

一般地，设丁=/(%)是定义在［/〃，川上的函数，)，=/(X)在("7,〃)内有导数，求函数

)，=/(%)在［〃7,川上的最大值与最小值可分为两步进行：

(1)求y=/(x)在(〃?，〃)内的极值(极大值或极小值);

(2)将)，=/(%)的各极值与/(⑼和/(〃)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一

个为最小值.

注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是

最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，

也可能是区间端点处的函数值；

②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；

③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.

【解题方法总结】

(1)若函数/(力在区间。上存在最小值/(“而°和最大值〃工)2,则

不等式/(力>4在区询。上恒成立=/(x)min>a：

不等式/(x)Na在区旬。上恒成立o/(x)而n>a；

不等式/(力〈〃在区间。上恒成立=/(x)nux<〃；

不等式/(x)K〃在区间。上恒成立o/(x)nm<b；

(2)若函数在区间。上不存在最大(小)值，且值域为(〃?，〃)，则

不等式/(x)>a(或f在区间。上恒成立o加之a.

不等式/(“<〃(或/'"卜”)在区间。上恒成立=〃区人

(3)若函数/(%)在区间〃上存在最小值/(x)的和最大值即

/(》)«〃?,川，则对不等式有解问题有以下结论：

不等式a</(x)在区间加上有解=a</(A-)_；

不等式aW/(A)在区间D上有解oaK；

不等式a>/(x)在区诃。上有解=〃>/(力描”：

不等式aN/(x)在区间加上有解。。之1111n；

(4)若函数/(“在区间。上不存在最大(小)值，如值域为(见〃)，则对不等式有

解问题有以下结论:

不等式a</（1）（或2石/⑺）在区间D上有解o4<n

不等式/"）（或bN/（x））在区间。上有解ob〉"？

（5）对于任意的X]力],总存在占e[m,〃],使得

/（%）Kg（再）Of（XL<g㈤a；

（6）对于任意的内€[a,司，总存在x2€[m,n]t使得

0（8）QLN8（8L；

（7）若存在百«〃，b],对于任意的工2«m,〃],使得

/㈤4g㈤Of（E）min《gULn；

（8）若存在,e[a,b],对于任意的/w[m,.，使得

/&）2g（占）=/（x,）max>g（x2）nm：

（9）对于任意的苦中,可,％c[m,〃]使得〃xj4g（x2）=/（xj而4g（X2）min；

（10）对于任意的b]tx2e[m,可使得/"）之8（/）=/（立所之火超人；

（11）若存在％e[a,可，总存在占e[m,/?],使得

/（%）&月伍）=/（小W、

（12）若存在Nw[a,句，总存在々e[m,小，使得

x

/a）ng（/）o/a）皿之g（2）min•

必考题型全归纳

题型一：求函数的极值与极值点

【例1】（2024•全国•高三专题练习）若函数/（X）存在一个极大值/（X）与一个极小值

/仇）满足/伍）>〃％），则/（%）至少有（）个单调区间.

A.3B.4C.5D.6

【对点训练1]（2024•全国-高三专题练习）已知定义在R上的函数/（%）,其导函数

/'（X）的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（）

A./(〃)>/(〃)>/©

B.函数/(x)在x=c•处取得最大值，在工二e处取得最小值

C.函数/(X)在x=c♦处取得极大值，在戈二e处取得极小值

D.函数/(力的最小值为〃d)

【对点训练2】(2024•全国•模拟预测)已知函数/(X)的导函数为r(x),贝=

在(0,2)上有两个零点”是“/(%)在(0,2)上有两个极值点,，的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要

条件

【对点训练3】(2024•广西南宁-南宁三中校考一模)设函数

/(x)=(x-rt)(x-/?)(x-c),a,b,cwR,f'(")为/(%)H勺导函数.

(1)当〃=b=c=0时，过点尸(1,0)作曲线尸/(X)的切线，求切点坐标；

(2)若标〃，6=c，旦〃力和/'(X)的零点均在集合｛2,-2,|｝中，求/(x)的极小值.

【对点训练4】(2024•河北•统考模拟预测)已知函数/(x)=4-Qln(x+份.

(1)证明：当。>0,〃=0时，/(戈)有唯一的极值点为七,并求/(%)取最大值时•%的值;

⑵当。>0时，讨论)(x)极值点的个数.

【对点训练5】（2024•江苏无锡-校联考三模）已知函数

/（"）=悟1^+111（1-工）,工£（一名|）.求/（丫）的极值；

【解题方法总结】

1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程/（0=0根左右的符号，更要注意变

号后极大值与极小值是否与己知有矛盾.

2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零.这个零点必

须穿越x轴，否则不是极（3点.判断口诀：从左往右找穿越（导函数与x轴的交点）；上坡低

头找极小，下坡抬头找极大.

题型二：根据极值、极值点求参数

[例2]（2024•贵州-校联考模拟预测）己知函数/"）=公'+加在工=1处取得极大值

4,贝ija-〃=（）

A.8B.-8C.2D.-2

【对点训练6】（2024•陕西商洛・统考三模）若函数。力=丁+如2+3+6次无极值，则

。的取值范围为（）

A.[-3,6]B.（—3,6）

C.y.-3]36,+℃）D.-3）U（6,+oo）

【对点训练7】（2024•湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习）函数g（x）=譬在区间

卜,上存在极值，则/的最大值为（）

A.2B.3C.4D.5

【对点训练8】（2024•全国•高三专题练习）已知函数/（x）=,x2—。+4卜+。1[]]在

x=〃处取得极小值，则实数。的取值范围为（）

A.[1,4-00）B.（l,y）C.（0,1]D.（0,1）

【对点训练9】（2024•广东梅州・梅州市梅江区梅州中学校考模拟预测）已知函数

/（x）=e、-*2一奴（4£2有两个极值点，则实数。的取值范围（）

A.（YO,1）B.（0,1）

C.[0,1]D.（h+ooi

【对点训练10]（2024•江苏扬州•高三扬州市新华中学校考开学考试）若工=〃是函数

“r）=（x-45-1）的极大值点，则a的取值范围是（）

A.av1B.C.a>lD.a>\

【解题方法总结】

根据函数的极值（点）求参数的两个要领

U）列式：根据极值点处导数为（）和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;

（2）验证：求解后验证根的合理性.

题型三：求函数的最值（不含参）

【例3】（2024•山东淄博・山东省淄博实验中学校考三模）已知函数/（x）=e'sinx-2二

⑴求曲线），=/在点（0J（0））处的切线方程：

（2）求/"）在区间[-草]上的最大值；

【对点训练11]（2024•云南昆明・高三昆明一中校考阶段练习）已知函数

/（.t）=lnx在区间|l,e］上最大值为M,最小值为/明则MT〃的值是.

X

【对点训练12】（2024•辽宁葫芦岛•统考二模）已知函数，（x）=2sinx（l+cosx）,则

/（幻的最大值是

【对点训练13］（2024・湖北武汉.统考模拟预测）已知函数小）=3鬻曝

xe0,—，则函数/（力的最小值为

2

【对点训练14】（2024•山西•高三校联考阶段练习）已知x〉0,）O0,且ln8，））=e1则

x2y-Iru-x的最小值为.

【对点训练151（2024•海南海口・统考模拟预测）已知正实数〃?，〃满足：

nInn=em-nInm，则一的最小值为

m

【解题方法总结】

求函数/（”在闭区间&加上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值

f（a）,与/"）的各极值进行比较得到函数的最值.

题型四：求函数的最值（含参）

【例4】（2024•天津和平•统考三模）已知函数hu,g（x）=（8sx-l）e”,

其中awR.

⑴若曲线y=/（x）在x=l处的切线人与曲线产g（另在处的切线4平行，求。的值；

（2）若xe（0㈤时,求函数g（x）的最小值;

⑶若/（”的最小值为〃（G）,证明：当4£（0，内）时，

【对点训练16】(2024•全国•模拟预测)已知函数/(x)=alnx+jx-a,awR.讨论函

数/("的最值:

【对点训练17](2024•四川成都・成都七中校考模拟预测)已知函数

/(x)=-x3——(6+a)x2+(8+6〃)x-8Qlnx-4a,其中awR.

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⑴若a=2,求〃力的单调区间;

1<<2)

⑵己知/(2)=/(4),求f(x)的最小值.(参考数据：3(3_41„2)

【对点训练18】(2024•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=ln(l+x)+c«e1

(1)当〃=-1时，讨论函数/(x)在(0,〜)上的单调性；

(2)当“20时，求/(“在(T,0]内的最大值；

【对点训练19](2024•湖南长沙•湖南师大附中校考模拟预测)己知函数

/(k)=[+&/In0—1+104)(火00).

(1)若“幻存在最大值M,证明:M+k>\；

⑵在(1)的条件下，设函数g")=xe"丁一尸求g(x)的最小值(用含M，女的代数式表

示).

【解题方法总结】

若所给的闭区间口力]含参数，则需对函数/(工)求导，通过对参数分类讨论，判断函数

的单调性，从而得到函数/(4•)的最值.

题型五：根据最值求参数

【例5】(2024•四川宜宾•统考三模)已知函数/a)=mxe7+x-lnx(mwR).

(1)讨论函数/(x)的极值点个数：

(2)若〃7〉0,/(x)的最小值是1+hi"],求实数，〃的所有可能值.

【对点训练20】(2024•山东•山东省实验中学校考一模)若函数/(x)=$3+f-2在区

间(。-4,a)上存在最小值，则整数。的取值可以是.

【对点训练21】(2024•全国•高三专题练习)若函数/(#=12x-d在区间(根-5,2〃叶1)

上有最小值，则实数机的取值范围为.

【对点训练22】(2024・福建泉州・高三统考阶段练习)已知函数/(x)=|x-II-alnx的最

小值为0,则。的取值范围为.

【对点训练23】(2024•江苏南通・高三校考开学考试)若函数/(x)=|e'+〃|-x的最小值

为-1,贝.

【对点训练24】(2024•全国-高三专题练习)若函数/("=。、(-/+2工+〃)在区间

S，a+1)上存在最大值，则实数。的取值范围为

【对点训练25】(2024•全国•高三专题练习)已知函数/("《F+JV—Zx+i,若函

数/(大)在(2〃-2,2〃+3)上存在最小值.则实数〃的取值范围是.

题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用

［例6］(2024•天津河北・统考二模)已知00,函数f(x)=x\na-a\nx+(x-e)2,其中

e是自然对数的底数.

⑴当，=1时，求曲线y=f(x)在点(1J⑴)处的切线方程;

⑵当。=e时，求函数f(x)的单调区间；

(3)求证：函数/(工)存在极值点，并求极值点小的最小值.

【对点训练26】(2024•全国-高三专题练习)已知函数/3)=2/一33+1)/+6办+1,

其中a£R.

⑴当”=3时，求函数/(»在(0,3)内的极值；

⑵若函数“X)在［】、2］上的最小值为5,求实数。的取值范围.

【对点训练27】（2024•全国-高三专题练习）已知/Q）=e'sinx.

⑴求函数"X）在口2可内的极值点；

⑵求函数g（X）=f*）T在上的最值.

【对点训练28】（2024•全国•高三专题练习）设函数f（x）=