第1章 平行线（压轴题专练）【浙教】七年级下册数学复习

第1章平行线（压轴题专练）

一.选择题（共5小题）

1.（2022春•周村区期末）如图，AB//CD,BE//DF./O8E的平分线与NC。/7的平分线交

于点G,当/BGD=65°时，ZBDC=（）

2.（2023秋•绿园区期末）如图，直线点。在直线£尸上，下列结论正确的

A.Za+Zp-Zy=90°B.Za+Zy-Zp=i80°

C.Zy+Zp-Za=180°D,Za+Zp+Zy=180°

3.（2023春•大冶市期末）如图，AB//CD,F为AB上一点、,FD//EH,且FE平分NAR7,

过点尸作FG上EH于点、G,且NAFG=2ND,则下列结论：①NQ=30°；©2ZD+ZEHC

=90°；③FD平分NHFB；④F"平分NGFQ.其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.（2022秋•安化县期末）如图，E在线段8A的延长线上，ZEAD=ZD,NB=ND,EF

"HC,连"7交AO于G,ZFGA的余角比NOG”大16°,K为线段8c上一点，连CG,

使NCKG=NCGK,在NAGK内部有射线GM,GM平分NFGC,则下列结论：①AO〃

BC；②GK平分/AGC；③NOG”=37°；④NMGK的角度为定值且定值为16°,其中

正确结论的个数有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

5.（2023•曲周县一模）为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MMQP

上分别放置4、B两盏激光灯，如图所示.A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即

回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至8。便立即回转，两灯不间断照射，八灯每秒转

动30°,B灯每秒转动10°,B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达

之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（）

A.1或6秒B.8.5秒C.1或8.5秒D.2或6秒

二.填空题（共3小题）

6.（2023春•社旗县期末）如图1是长方形纸带，ZDEF=\5°,将纸带沿七尸折叠成图2,

7.（2022秋•城关区期末）如图〃，已知长方形纸带488,将纸带沿石尸折叠后，点C、D

分别落在H、G的位置，再沿8C折叠成图b,若NDEF=72°,则NGMN=

8.（2023秋•南岗区校级期中）如图，已知A8〃C3,点E是A8上方一点，点M、N分别在

直线A3、CD上，连结EM、EN,平分NAME,NG交M尸的反向延长线于点G,若

/ENG+NEND=\8c,且NG+2NE=102°,则NAME度数为.

E

9.（2023秋•长春期末）如图，AB〃CO,点七、R分别在直线A3、。。上，点P是AB、CD

之间的一个动点.

【感知】如图①，当点尸在线段Eb左侧时，若乙4E尸=50°,ZPFC=70°,求NEP"

的度数.

分析：从图形上看，由于没有一条直线截4A与所以无法直接运用平行线的性质，这

时需要构造出“两条直线被第三条直线所截”的基本图形，过点尸作PG〃A8,根据两条

直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，可知PG//CD,进而求出NEPb

的度数.

【探究】如图②，当点P在线段EF右侧时，NAEP、NEPF、ZPFC之间的数量关系

10.（2023春•温州月考）将一副直角三角板如图1摆放在直线MN上（直角三角板ABC和直

角三角板EDC,NEOC=90°,ZDEC=60°,ZABC=90°,NBAC=45°）,保持三

角板EQC不动，将三角板ABC绕点。以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转时间为，秒，

当与射线0V重合时停止旋转.

(1)如图2,当AC为NOCE的角平分线时，t=.

(2)当f=18时，求N8CO的度数？

(3)在旋转过程中，当三角板A8C的人8边平行于三角板EDC的某一边时(不包含重合

的情形)，求此时，的值为_______________.(直接写出答案即可)

11.(2023秋•靖边县期末)如图，直线MN与直线A8,C。分别交于点E,F,NBEM与/

OMV互为补角.

(1)请判断直线八B与CD的位置关系，并说明理由；

(2)如图2,NBEF与NEFD的平分线EP与FP交于点P,延长EP交CD于点、G,过点

G作G”_L£G,垂足为G,求证：PF//GH；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接PH,K是GH上一点，且NPHK=NHPK,PQ是

NEPK的平分线.求NH尸。的度数.

12.（2023春•锦江区校级期中）已知A3〃C3,点P是直线48,8外一点.

（1）【问题初探】如图1,点E,“分别在直线45,CO上，连接PE,PF.求证：

①N1+N2=NEPF；

@Z3+ZEPF+Z4=360°.

证明：过点P作PQ〃A8,…，请将问题①，②的证明过程补充完整；

（2）【结论应用】如图2,/ABP的角平分线交CD于点、E,点尸是射线ED上一动点且

点F不在直线BP上，连接PF,作NPFE的角平分线与BE相交于点Q,问：ZBQF与

N3P厂有怎样的数量关系？说明理由；

（3）【拓展延伸】如图3,。是CO上一定点，ZABO=a.在N4B0内部作射线BE,使

得NOBE=4/ABO,BE与CO相交于点足动点。在射线在"上，点。在P尸上，连接。Q,

ZFOQ=nZPOQf若在点P的运动过程中，始终有4NFQO-3/尸尸0=50°,求小a

的值.

13.（2023春•宣化区期中）某学习小组发现一个结论：己知直线a//b,若直线c〃①则c

〃反他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题：

已知直线点七在A8、8之间，点P、。分别在直线A8、CO上，连接户E、

EQ.

（1）如图1,运用上述结论，探究NPEQ与NAPE+NCQE之间的数量关系,并说明理由；

（2）如图2,PF平分/BPE,Q"平分NEQ。，当NPEQ=13（）°时，求出NPF。的度数；

(3)如图3,若点E在CD的下方，PF*分4BPE,QH平分NEQO,的反向延长线

交PF于点、F,当NPEQ=80°时，请直接写出NPF。的度数.

14.(2023春•西城区校级期中)如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座CD

都平行于地面后尸，前支架OE与后支架。产分别与CO交于点G和点。，A8与。M交于

点MZAOE=ZBNM.

(1)求证：0E〃DM：

(2)若0E平分NAOF,ZODC=30°,求扶手4B与靠背。M的夹角NANM的度数.

15.(2022秋•尧都区校级期末)如图1,AB〃C。，点E,少分别是43,C。上的点，点P是

AB和C。之间的一点，连接PE,PF.

(1)若NPFD=25°,NPEB=35°,求NP的度数；

(2)若点。位干卜方(如图2),/PEB=a,/P*D=B，其他条件不变：(用含。和

P的代数式表示下列角度数）

①求NP的度数；

②若£Q和产Q分别平分/PE3和NP（如图3）,求NQ的度数.

16.（2023秋•二道区期末）【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行

于主光轴MN的光线AB和。。经过凹透镜的折射后，折射光线BE、。尸的反向延长线交

于主光轴MN上一点P.

【提出问题】小明提出：/BPD、/A8P和NCOP三个角之间存在着什么样的数量关系？

【分析问题】我们学习过平行线的性质，利用平行线的性质可以把NBP。分成两部分进行

研究.

【解决问题】请你帮小明解决这个问题，并说明理由.

【举一反三】（1）如图①，若乙4BE=150°,NCDF=170。，则/“产=度.

（2）如图②，已知AB〃CQ,点、E、尸分别是A8、CQ上的点，点P位于AB上方,/PEB

=a,NPFD=p.用含a和□的代数式表示下列各角.

①NP的大小为.

②如图③，在图②的基础上，若EQ和FQ分别平分NPE5和/尸尸。，则/Q的大小

为.

图①图②图③

17.(2022秋•绿园区期末"问题情景】如图1,若AB〃CQ,NAEP=45°,/尸产。=120°.过

点P作WOZEPF=

【问题迁移】如图2,AB〃C。，点尸在的上方，点、E,尸分别在AB,CD上，连接尸E,

PF,过P点作PN//AB,问ZPEA,ZPFC,ZEPF之间的数量关系

是，请在下方说明理由;

【联想拓展】如图3所示，在(2)的条件下，已知N&b=36°,ZPEA的平分线和N

PFC的平分线交于点G,过点G作GH//AB,

18.(2022秋•东阳市期末)如图，长方形纸片ABCZ)中，G、〃分别是A8、CD边上的动点，

连GH,将长方形纸片A8CO沿着GH翻折，使得点8,C分别落在点E,F位置.

(1)若N6GH=110°,求NAGE的度数.

(2)若/FHD=20°,求NCHG的度数.

(3)己知NBG”和NC7/G始终互补，若N5G"=a，请直接写出N/77C的度数(含a的

代数式).

E备用图

19.（2022秋•鲤城区校级期末）如图①，已知AB〃CD一条直线分别交AB、CD于点、E、

图|图2

（1）已知NEFO=7（）°,求N8的度数；

（2）求证：FH平分NGFD.

（3）在（1）的条件下，若NbQ〃=30°,将△a/Q绕着点尸顺时针旋转，如图②，若当

边777转至线段E”上时停止转动，记旋转角为a,请求出当a为多少度时，QH与4EBF

某一边平行？

（4）在（3）的条件下，直接写出NOFQ与NG/77之间的关系.

20.（2022秋•金水区校级期末）将一副三角板如图1明示摆放，直线GH〃MN.

（1）如图2,现将二角板八月。绕点4以每秒2°的速度顺时针旋转,设旋转时间为，秒（0

<r<50),当旋转到时，t=；

(2)若三角板48C不动，而三角板。E/绕点。以每秒1°的速度顺时针旋转，设旋转时

间为，秒(0<r<150),求当旋转到。石〃8C时，，的值是多少？

(3)若三角板A3c绕点4以每秒2°的速度顺时针旋转，同时三角板。石尸绕点。以每秒

5°的速度顺时针旋转，设时间为/秒(0VZV60),若边3c与三角板。石厂的一条直角边

(边DE,DF)平行时，则所有满足条件的/的值为.

21.(2023秋•南岗区校级期中)己知：如图，AB//CD,直线EF分别交AB,CD于点G,H,

点P为直线ER上的点，连接4P,CP.

(1)如图1,点P在线段G"上时，请你直接写出/BAP,/DCP,NAPC的数量关系；

(2)如图2,点P在"G的延长线上时，连接CP交A3于点Q,连接HQ,AC,若NACP+

NPHQ=NCQH,求证：AC//EF；

(3)在(2)的条件下，如图3,CK平分N4CP,GK平分NAGP,GK与CK交点K,连

接AK,若/PQH=4/PCK+2/PHQ,/CKG=/CHQ,NAKC+N必。=159°,求N5AC

的大小.

22.（2023秋•南岗区校级期中）已知，过NECF内一点4作4。〃/EC交CF于点。，作A3

///CF交CE于点B.

（1）如图1,求证：ZABE=ZADF；

（2）如图2,射线射线。N分别平分乙钻E和NAOR求证：BM〃DN:

（3）如图3,在（2）的条件下，点G,Q在线段OF上，连接AG,AQ,AC,AQ与DN

交于点儿反向延长AQ交BM于点P,如果NG4C=NGC4,AQ平分NG4Q,ZQAC=

50n,求NM抬+N尸。尸的度数.

23.（2023秋•江城区期中）【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究

两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线AM〃8M连接A&点P是射线AM上

的一个动点（与点A不重合），BC,8。分别平分NA8P和NP8M且分别交射线AM于

点C,D.

【探索发现工

（1）当N4=6（T时，求证：NCBD=NA；

（2）“快乐小组”经过探索后发现：不断改变NA的度数，NCBO与NA始终存在某种数

量关系.

①当NA=40°时，ZCBD=度；

②当NA=x°时，ZCBD=度（用含x的代数式表示）；

【操作探究】：

（3）“智慧小组”利用量角器量出NAPB和NAOB的度数后，探究二者之间的数量关系.他

们惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，NAP8与N

八。6之间的数量关系都保持不变.请写出它们的关系，并说明理由.

24.（2023春•义乌市校级期中）今年除夕夜长江两岸的灯光秀璀璨夺目，照亮山城的山水桥

梁城市.楼阁，人民欢欣鼓舞.观看表演的小语同学发现两岸的灯光运动是有规律的，如图

1所示，灯A射出的光线从AQ开始顺时针旋转至AP便立即回转，灯8射出的光线从

开始顺时针旋转至8N便立即回转，两灯不停旋转.

假设长江两岸是平行的，即点A在PQ上，B、C、D在MN上,连接A3、AC.

AD,已知AC平分NB4P,4。平分NC4P.

（2）如图2,在PQ上另有一点E,连接C£交A£＞于点F,点G在上，连接AG,若

ZCAG=-ZCAEfZEFD+^-ZDAG=180°,试证明：EC//AB.

64

（3）如图3,已知灯A射出的光线旋转的速度是每秒10°,灯8射出的光线旋转的速度

是每秒30°,若灯5射出为光线从3M出发先转动2秒，灯A射出的光线才从AQ出发开

始转动，设灯A转动的时间为/秒，在转动过程中，当0W/W12时，请直接写H灯4射出

的光线与灯8射出的光线用交且互相垂直时的时间/的值.

25.（2023春•抚宁区期末）问题情境：如图1,AB//CD,/见B=13（T,ZPCO=120°,

求NAPC度数.

小明的思路是：过户作PE〃A8,通过平行线性质来求NAPC.

（1）按小明的思路，易求得NAPC的度数为度；（直接写出答案）

（2）问题迁移：如图2,A8〃CO,点P在射线OM上运动，记NB48=a,ZPCD=p,

当点、P在B、。两点之间运动时，问NAPC与a,0之间有何数量关系？请说明理由；

（3）在（2）的条件卜，如果点P在8、D两点外侧运动时（点尸与点0、B、D三点不

重合），请直接写出NAPC与a,B之间的数量关系.

图I图2

26.（2023春•正阳县期末）对于平面内的NM和NN,若存在一个常数%＞（）,使得NM+ZN

N=360°,则称NN为NM的左系补周角.如若NW=90。，NN=45°,则NN为NM

的6系补周角.

(1)若/H=120°,则N〃的4系补周角的度数为°

(2)在平面内A8〃CQ,点E是平面内一点，连接BE,DE.

①如图1,ZD=60°,若N6是NE的3系补周角，求N8的度数.

②如图2,aWE和NC。石均为钝角，点尸在点上的右侧，且满足Z

8R=〃NC£>E(其中〃为常数且〃>1),点P是乙钻E角平分线8G上的一个动点，在尸

点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得NBP。是N/的后系补周角，并直接写出

此时的左值(用含〃的式子表示).

27.(2023春•吴兴区校级期末)已知：点A在直线OE上，点B、。都在直线P。上(点B

在点。的左侧)，连接A8,AC,A8平分NCAO,且NABC=N8AC.

备用图1备用图2

(1)如图1,求证：DE//PQ；

(2)如图2,点K为线段上一动点，连结CK,且始终满足2NE4C-NBCK=90°.

①当CK_LA〃U寸，在直线。笈上取点八连接〃K,使得//KA=2NAKC,求此时NA”K

2

的度数；

②在点K的运动过程中，/AKC与NEAC的度数之比是否为定值，若是，求出这个值；若

不是，说明理由.

28.（2022秋•内江期末）（1）【问题】

如图1,若AB〃CD,/BEP=25°,ZPFC=150°.求NEPF的度数；

（2）【问题迁移】

如图2,A8〃C。，点尸在AA的上方，问N尸EA,乙PFC,NEP尸之间有何数量关系？请

说明理由；

（3）【联想拓展】

如图3所示，在（2）的条件下，已知NEP/=a,NPE4的平分线和NPFC的平分线交于

点G,用含有a的式子表示NG的度数.

第1章平行线（压轴题专练）

1.(2022春•周村区期末)如图，AB//CD,BE//DF,/O8E的平分线与NCQ/7的平分线交

于点G,当/BGD=65°时，ZBDC=()

AB

;

A.65°B.60°C.55°D.50°

【分析】过点G作GN//BE,利用平行线的性质结合角平分线的定义得出/研O+NC1

的度数，进而得出答案.

【解答】解：过点G作GN〃3E,

■:BE〃DF,

：.BE//GN//DF,

:・/EBG=42,N1=NGDF,

•：NDBE和NCZ)厂的角平分线交于点G,

:./EBG=/GBD,/CDG=NFDG,

：.ZEBD+ZCDF=ZEBG+ZGBD+ZCDG+ZFDG=2Z2+2Zl=2(Z2+Zi)=2X65°

=130°,

AZBDC=180°-ZEBD-ZCDF=180°-130°=50°.

故选：D.

2.（2023秋•绿园区期末）如图，直线A8〃CO〃£”,点O在直线£■厂上，下列结论正确的

是（)

A.Za+Z（3-Zy=90°B.Za+Zy-Zp=180°

C.Zy+Zp-Za=180°D.Za+Zp+Zy=180°

【分析】根据平行线的性质得出Na=NBOF,Ny+/COF=180°,进而利用角的关系解

答即可.

【解答】解：・・・A8〃£K

:・/a=/BOF,

,:CD〃EF,

•••Ny+NC。尸=180°,

VZBOF=ZCOF+ZP，

AZy+Za-Zp=180°,

故选:B.

3.（2023春•大冶市期末）如图，AB//CD,F为AB上一点、,FD//EH.且平分NA/G,

过点/作FGLEH于点G,且NAFG=2NO,则下列结论：①NQ=30°；©2ZD+ZEHC

=90°；③FD平分NHFB；④F"平分NGFQ.其中正确结论的个数是（）

【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质解答.延长尸G,交CH于I,构造出直角三

角形，利用直角三角形两锐角互余解答.

【解答】解：延长/G,交C”于/.

9：AB//CD,

；・NBFD=ND,NAFI=/FIH,

,:FD〃EH,

：.ZEHC=ZD,

・・,庄■平分NA尸G,

・・・ZFIH=2ZAFE=2ZEHC,

：.3ZEHC=9()°,

AZE/7C=30°,

・・・NO=30°,

/.2ZD+ZE/7C=2X30°+30°=90°,

・••①NO=3()°；②2NO+NE”C=9()°正确，

•・・FE平分NAR7,

AZAFI=30°X2=60°,

,：ZBFD=3Oa,

：.ZGFD=90°,

；・/GFH+/HFD=90°,

可见，NHfD的值未必为30°,NGbH未必为45°,只要和为90°即可,

・•・③/。平分N”H,④切平分NGF。不一定正确.

故选&

4.（2022秋•安化县期末）如图，E在线段的延长线上，/EAD=ND,/B=/D,EF

//HC,连FH交AD于G,NFGA的余角比NQGH大16°,K为线段BC上一点，连CG,

使NCKG=/CGK,在NAGK内部有射线GM,GM平分NFGC,则下列结论：①AO〃

BCx②GK平分NAGC；③NDG〃=37°；④NMGK的角度为定值且定值为16°,其中

A.4个B.3个C.2个D.1个

【分析】根据平行线的判定定理得到AD〃3c故①正确；由平行线的性质得到NAGK=

/CKG,等量代换得到NAGK=NCGK,求得GK平分NAGC；故②正确；根据题意列方

程得到NR7A=NDG"=37°,故③正确；设NAGM=N7,/MGK=/2,得至ijNAGK

=NV+/2根据角平分线的定义即可得到结论.

【解答】解：*：7EAD=/D./R=/D,

；./EAD=/B,

：.AD//BC.故①正确；

・•・/AGK=/CKG,

■:/CKG=/CGK,

：.NAGK=/CGK,

・・・GK平分NAGC；故②正确；

/GA的余角比NOG”大16c,

A90°-ZFGA-ZDGH=\6°,

•:/FGA=/DGH,

.*.90°-2ZFGA=16°,

：.ZFGA=ZDGH=37°,故③正确；

设N4GM=—/,NMGK=N2,

：.NAGK=N7+/2,

,・，GK平分NAGC,

・・・ZCGK=ZAGK=N1+/2,

TGM平分NbGC,

；./FGM=NCGM,

：.ZFGA+ZAGM=/MGK+/CGK,

A37°+//=2+/"〃

・・・入=18.5°,

・・・NMGK=18.5°,故④错误，

故选:B.

5.（2023•曲周县一模）为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MMQP

上分别放置4、3两盏激光灯，如图所示.A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即

回转，3灯发出的光束自BP逆时针旋转至8。便立即回转，两灯不间断照射，八灯每秒转

动30°,B灯每秒转动10°,B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达

BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（）

A.1或6秒B.8.5秒C.1或8.5秒D.2或6秒

【分析】设4灯旋转时间为，秒，8灯光束第一次到达8Q需要180+10=18（秒），推出

忘18-2,即忘16.利用平行线的判定,构建方程解决问题即可.

【解答】解：设A灯旋转时间为，秒，3灯光束第一次到达。。需要180・10=18（秒），

A/^18-2,即/W16.

由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行：

①如图1,/MAM=/PBP',30r=10（2+r）,解得z=l；

②如图2,NNAM+NPBP』180°，30/-180+10(2+f)=180,解得，=8.5；

综上所述，A灯旋转的时间为1或8.5秒.

故选：C.

二.填空题（共3小题）

6.（2023春•社旗县期末）如图1是长方形纸带，ZDEF=\5°,将纸带沿石厂折叠成图2,

再沿折叠成图3,则图3中NCFB度数是150°.

图1图2D图3

【分析】先根据平行线的性质得出图2中根据图形折卷的性质得出NGR7'

的度数，图3中根据折叠的性质得出NCM=NGRU即可得出结论.

【解答】解：■:AD//BC,

；.NDEF=NEFB=150，

：.ZCFE=iSO°-ZEFB=\65°,

图2中，由折叠的性质得/七/C'=/EFC=165：

:./GFC=/EFC-ZBFE=165°-15°=15()',

图3中，由折叠的性质得/CE5=NGFC'=150°.

故答案为：150°.

7.（2022秋•城关区期末）如图〃，已知长方形纸带A8C。，将纸带沿石尸折椅后，点C、D

分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图儿若/DEF=72°,则NGMN=72°.

【分析】先根据/。石/二??。求出NEFC的度数，进可得出NEFB和的度数，根据

ZH=90°和三角形的内角和可得NHM尸的度数，再由折叠的性质可得NGMN.

【解答】解：・・・AD〃CB,

；・NEFC+NDEF=180°,ZEFB=ZDEF,

即NEFC=I80°-72°=108°,/EFB=72。,

・・・N8F”=108°-72°=36°.

VZ/7=Z£>=90°,

・・・NHMF=18（）°-90°-36°=54°.

由折叠可得：NNMF=NHMF=54°,

:・/GMN=72°.

故答案为：72.

8.（2023秋•南岗区校级期中）如图，已知AB〃CO,点E是A8上方一点，点M、N分别在

直线A8、CD±,连结EW、EN,M/7平分NAME,NG交M尸的反向延长线于点G,若

/ENG+NEND=186°,且NG+2NE=102°,则NAME度数为52°.

E

【分析】设NAMF=x,/GND=y,利用平行线的性质以及角平分线的定义即可得出结论.

【解答】解：设/GND=y,

,：AB,FG交于M,M/平分NAME,

/FME=NFMA=NBMG=x,

：.ZAME=2x,

,:GK〃AR,

:./MGK=/BMG=x,

VET//AB,

：・NTEM=NEMA=2x,

a：CD//AB//KG,

：.GK//CD,

：.ZKGN—/GND—y,

••ZMGN=x+y,

・・・/CN£>=180°,NE平力/CNG,

・・・/CNG=180°-y,NCNE='/CNG=9C-

22,

*：ET//AB//CD,

：.ET//CD,

:./TEN=/CNE=900・工户

2,

・•・ZMEN=ZTEN-ZTEM=90。-，-2x,/MGN=x+y,

t：2ZMEN+ZG=\02°,

A2(90°--j-y-2x)+x+y=\02°,

.••x=26°,

/.ZAME=2x=52°.

故答案为；52°.

9.（2023秋•长春期末）如图，AB〃CD,点、E、尸分别在直线AB、C。上，点P是A3、CD

之间的一个动点.

【感知】如图①，当点P在线段EF左侧时，若乙40=50°,ZPFC=70°,求/瑁*

的度数.

分析：从图形上看，由于没有一条直线截A8与CQ,所以无法直接运用平行线的性质，这

时需要构造出“两条直线被第三条直线所截”的基本图形，过点P作PG〃A3,根据两条

直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，可知PG//CD,进而求出NEP产

的度数.

【探究】如图②，当点尸在线段"右侧时，NAEP、NEPF、NPFC之间的数量关系为上

图①图②

【分析】（1）过点尸作根据猪脚模型，即可解答;

（2）过点尸作PG〃A8,根据铅笔模型，即可解答.

【解答】（1）过点P作尸G〃/

CFD

：.ZEPG=ZAEP=50Q，

,:AB〃CD,

：.PG//CD,

:・/GPF=/PFC=讨,

：・NEPF=NEPG+NGPF=500+70°=120°,

・•・NEP/的度数为120°；

(2)过点尸作PG//AB,

：.ZEPG+ZAEP=\S0°,

9

：AB//CDt

：.PG//CD,

：.ZGPF+ZPFC=\S0°,

・•・ZAEP+ZEPG+ZFPG+ZPFC=360°,

Z.ZAEP+ZEPF+ZPFC=360°,

故答案为：ZAEP+ZEPF^ZPFC=360°.

10.（2023春•温州月考）将一副直角三角板如图1摆放在直线MN上（直角三角板A8C和直

角三角板EDC,NEOC=90°,ZDEC=60°,NABC=90°,N84C=45°）,保持三

角板EQC不动，将三角板ABC绕点。以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转时间为f秒，

当AC与射线CN重合时停止旋转.

（1）如图2,当AC为NDC上的角平分线时，t=3.

（2）当/=18时，求NBC3的度数？

（3）在旋转过程中，当三角板48c的48边平行于三角板EDC的某一边时（不包含重合

的情形），求此时，的值为15或27或33.（直接写出答案即可）

D

D

【分析】(1)当AC为NQC£的角平分线时，可以求出旋转角，再根据旋转的速度即可求

解.

(2)当/=18时，旋转角为90°,可求出N4CO,即可求出NBCD

(3)数形结合，分情况进行讨论即可.

【解答】解：(1)当AC为NQCE的角平分线时，旋转角为15°,

故答案为3.

(2)当f=l8时，旋转角为90°,如图:

MECN

VZDCE-30°,NACB—45°，

：.ZACD=60°,ZBCD=60°-45°=15°.

(3)当三角板ABC的A3边平行于三角板EOC的某一边时，有3种情况:

①当石时，如图：

此时，8c与CO重合，

t=(30+40)4-5=15,

②当48〃CE1时，如图:

・・・NBCE=NB=90°,

・・・NACE=900+45°=135°,

・•・/=135+5=27,

③当A3〃CQ时，如图：

：.ZBCD=ZD=90°,

AZXCE=30°+90°+45°=165°,

Ar=1654-3=33.

综上所述，z=15或27或33.

11.(2023秋•靖边县期末)如图，直线MN与直线AB,C。分别交于点E,F,NBEM与N

OQV互为补角.

(1)请判断直线A8与CD的位置关系，并说明理由；

(2)如图2,NBEF与/EFD的平分线EP与FP交于点、P,延长EP交于点G,过点

G作G"_LEG,垂足为G,求证：PF//GH-,

(3)如图3,在(2)的条件下，连接尸"K是GH上一点，且NPHK=NHPK,尸Q是

NE尸K的平分线.求N"尸。的度数.

【分析】(1)同旁内角互补，两直线平行；

(2)可讦EP1/P,两育线都垂直干同一条首线,两直线平行:

(3)由2N”PKil800-2ZQPK=90°,可得NHPQ.

【解答】(1)解：9：ZBEM+ZDFN=\SO°,/BEM+/BEF=180°,ZDFN+ZDFE=

180°,

：.ZBEF+ZDFE=\^°,

：.AB//CD(同旁内角互补)；

(2)证明：・・・EP与“分别是NBEb与N"。的平分线，

；・/BEP=乙FEP,/EFP=NDFP,

9：ZBEF+ZDFE=\S0°,

・・.NFEP+/EFP=9U°,

J.EPLFP.

9：GH±EG,

：.FP//HG；

(3)解：・.・PQ是NEPK的平分线，

：./EPQ=/QPK,

•：/PKD+NKPD=90°,/PHK=/HPK,

・•・2NHPK+1800-2/QPK=90°,

/QPK-/HPK=45°,

：.ZHPQ=45°.

12.(2023春•锦江区校级期中)己知AB〃CD,点P是直线AN,C。外一点.

(1)【问题初探】如图1,点E,尸分别在直线AB,C。上，连接PE,PF.求证：

①N1+N2=N"F；

②N3+NEPF+N4=360°.

证明：过点P作尸。〃A3,…，请将问题①，②的证明过程补充完整；

(2)【结论应用】如图2,NA3P的角平分线交C。于点七，点尸是射线EZ)上一动点且

点厂不在直线3P上，连接PF,作NPFE的角平分线与BE相交于点Q,问：NBQF与

有怎样的数量关系？说明理由；

(3)【拓展延伸】如图3,。是C。上一定点，NABO=a.在N/WO内部作射线BE,使

得NOBEqNABO,BE与CD相交于点F.动点P在射线压上，点Q在“上，连接OQ,

/FOQ=n/POQ,若在点P的运动过程中，始终有4//。。-3/仪。=50°,求〃，a

的值.

(2)根据(1)所得结论，以及角平分线的定义，进行求解即可；

(3)根据三角形的外角的性质，将恒等式用〃和a表示，根据等式恒成立，变量的系数

为0求解即可.

【解答】(1)证明：①过点P作

9：AB//CD,

：.AB//PQ//CDf

AZEPQ=Z1,NFPQ=N2,

：.ZEPF=NEPQ+NFPQ=Z1+Z2,即Nl+/2=NEPF.

②・・・N1+N2=/EPF,

.•.Z3+ZEPF+Z4=Z3+(Z1+Z2)+N4=(Z1+Z3)+(Z2+Z4)=180°+180°=

360°.

(2)解：2NBQF+NBPF=360°.

图2

理由如下：

•:BE、/。分别是NA8P、/EF7的平分线，

・・・ZABE=/EBP,ZEFQ=/PFQ,

・•・根据(1)②可知，NABP+/BPF+/EFP=2(ZABC+ZEFQ)+ZBPF=360°.

■:AB//CD,

：.NBQF=NBED+/EFQ=ZABC+ZEFQ.

・・・2NB。/+NB尸产=360°.

(3)9：AB//CD.

・•・4BFO=/ABF,

9：ZOBE=^ZABO,

3

:./BFO=Z,

3

•・•ZFQO=4FP0+/P0Q,

：.4ZFQO-3ZFPO=4(ZFPO+ZPOQ)・3/FPO=/FQO+3(/FQO・/FPO)=

N尸00+3/000=50°,

'：/FOQ=n/POQ,

・・・//。。+2//。。=50°,

n

/BFO=ZFQO+ZFOQ,

：.ZBFO+(2-1)ZFOQ=50°,

n

.・.2a+红/尸OQ=50°,

3n

Va,n为定值，

ZFOQ为变量，

要使等式恒成立，需要包=0,

n

・・・〃=3,a=75°.

13.(2023春•宣化区期中)某学习小组发现一个结论：已知直线a//b,若直线c//a,则c

〃从他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题：

已知直线AB〃CD,点、E在AB.CD之间，点P、Q分别在直线AB.CD上，连接PE、

EQ.

(1)如图1,运用上述结论，探究NPE。与NAPE+NCQE之间的数量关系.并说明理由；

(2)如图2,PF平分NBPE,Q/7平分NEQ。，当NP£Q=130°时;求出NPF。的度数；

(3)如图3,若点E1在CD的下方，PF平分/BPE,QH平分NEQD,QH的反向延长线

交PF于点F,当NPEQ=80°时，请直接写出NPFQ的度数.

【分析】(1)根据平行线的性质，得出NA4CQE=4HEQ,进而得出结论;

(2)根据角平分线的定义、平角的定义以及四边形的内角和即可求解；

(3)利用角平分线、平角、三角形的内角和、平行线的性质以及等量代换进行计算即可.

【解答】解：(1)/PEQ=/APE+/CQE,

如图1,过点E作石则E”〃A8〃CO,

•:ABaEH,

：.NAPE=/PEH,

又<3〃EH,

・•・ZCQE=ZHEQ,

/PEQ=ZPEH+HEQ,

：.ZPEQ=ZAPE+ZCQE；

(2)如图2,由(1)得，ZPEQ=ZAPE+ZCQE=[30°；

VZAPE+ZBPE=\SO°,ZCQE+ZDQE=\^°,

・・.NBPE+/DQE=3600-130w=230”，

又,：PF汉分/BPE,。/平分NEQQ,

・・.N1=N2,N3=N4,

・・・N1+N3=2(NBPE+NDQE)=1x230°=115',

22

在四边形P£。尸中，

ZPFG=360°-(Z1+Z2+ZPE2)=360°-(115°+130°)=115°；

(3)140°,如图3,延长PF交CD与点M,

〈PF平分NBPE,QH平分NEQD,

・・・N1=N2,Z3=Z4,

'：AB//CD,

・・・NBPE=NDNE,N2=/PMC=N1,

又,：4DQE=/DNE+/E,即2/4=2/1+80°,

/.Z4-Zl=40°,

ZPFQ=ZFQD+ZPMC=18()°-Z4+Z1=180°-(Z4-Zl)=180°-40°=

140°.

14.（2023春•西城区校级期中）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD

都平行于地面上尺前支架。石与后支架。尸分别与CO交于点G和点43与0M交于

点N,/A0E=NBNM.

（1）求证：0E//DM、

（2）若0E平分NA。凡/0。。=30°,求扶手A8与靠背QM的夹角的度数.

【分析】（1）结合题意，根据对顶角相等推出NA0E=N4M）,根据“同位角相等，两直

线平行”即可得解；

（2）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可.

【解答】（1）证明：•：NBNM=/AND,NA0E=/BNM,

：.ZAOE=/AND,

・•・0E//DM；

（2）解：・・・AB与底座CD都平行于地面ER

：.AB//CD.

：.ZBOD=ZODC=30°,

VZAOF^ZBOD=\^°,

AZAOF=\50°,

TOE平分/A。尸,

AZE0F=^ZA0F=15°,

2

・•・ZBOE=/BOD+/EOF=105°,

*/OE//DM,

：.ZANM=ZBOE=\05°.

15.（2022秋•尧都区校级期末）如图1,AB〃CD,点、E,尸分别是45,CO上的点，点P是

和C。之间的一点，连接PE,PF.

（1）若NPFD=25°,ZPEB=35Q,求NP的度数；

（2）若点尸位于A8上方（如图2）,/PEB=a,NPFD=B，其他条件不变：（用含a和

0的代数式表示下列角度数）

①求NP的度数；

②若EQ和FQ分别平分NPE8和NPFO（如图3）,求NQ的度数.

【分析】（1）过点。作nV〃AB〃C。，则根据平行线的性质得出NEPF=N8£P+NPbO,

即可求出NP的度数；

（2）①过点P作PN〃4B〃CQ,则根据平行线的性质得出NEP尸=N5EP-NP尸Q,即可

求出NP的度数；

②同理①得出NEPE=NPFQ-NP//，ZEQF=ZQFD-ZQEB,再根据角平分线的性

质即可得出结论.

【解答】解：（1）过点。作2V〃/18,

，：AB〃CD,

:・PN〃CD,

:./BEP=/EPN,/FPN=/PFD,

丁ZEPF=ZFPN-/EPN,

：.ZEPF=ZPFD-4PFD,

•・・/P/7)=25°,/PER=35°.

r.ZP=25°135°=60°

(2)过点、P作PN〃AB,

■:kBf/3、

：.PN//CD,

:・/BEP=/EPN,/FPN=/PFD,

•・•/EPF=ZFPN-/EPN,

・•・/EPF=乙PFD-/PEB,

•:NPEB=a,ZPFD=P，

：.ZEPF=p-a；

(3)同理(2)可得NEPF=NPFD-NPEB,ZEQF=ZQFD-/QEB,

TEQ和FQ分别平分NPEB和NPFO,

；・NQEB=L/PEB=L,ZQFD=-^ZPFD=^P，

2222

：.ZEQF=^(p-a).

16.(2023秋•二道区期末)【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行

于主光轴MN的光线AB