七升八数学预习提升-等边三角形

第15讲等边三角形（学生版）

知识归纳

等边三角形的性质一［|一"^豌三鬲谊的三肉福丽旃:不亘后二不赢尊宇而“

边---------------------：1.定义法：：三边都相等的三角形是等边三角形.

等边三角形的判定一\2.三个角都相等的三角形是等边三角形.

e------------------------------:3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

形在直角三角形中，如果一个锐角等于

含30。角的直角三角形的性质—30°,

那么它所对的直角边等于斜边的一半.

【知识点1等边三角形的性质】

性质：等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于婚.

【注意】

（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；

（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质.

【知识点2等边三角形的判定】

L定义法三边都相等的三角形是等边三角形.

2.三个角都相等的三角形是等边三角形.

3.有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.

【知识点3含30。角的直角三角形的性质】

性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的二坐.

证明：如图，延长8C到Q,使CD=BC,连接4Q,则力。是8。的垂直平分线，所以48=4）.

又因为“B=90°-ZBAC=900-30，=60。,所以A44Z）是等边二角形，所以BD=AB.又BD=2BC,

所以BC=AB.由此可以得到上述结论.

举一反三

【题型1利用等边三角形的性质求角度】

【例1】如图，△ABC为等边三角形，点。是BC边的中点，过点。的直线与4C相交于点已与48

的延长线相交于点「当4E=H0时，则乙尸=_________.

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【变式1・1】如图，△4BC是等边三角形，BD_LAB,BD=AB,贝叱4DC的度数为（）

A.15。B.20°C.22.5°D.30°

【变式1・2】如图，△48C是等边三角形，AE=CD,AD.BE相交于点P,BQ40于点Q,求乙BPD

的度数.

【变式1・3】如图，0,E分别是等边三角形45C的边4B,4。上的点，且40=CE,求乙80。的度数.

【题型2利用等边三角形的性质求线段长度】

【例2】如图，△ABC是等边三角形，AB=6,80是ZA8C的平分线，延长BC到E,使CE=CD,贝ij

BE的长为（）

A.7B.8C.yD.9

【变式2・1】如图，△ABC和△DEF都是等边三角形，点D,E,F分别在边4B,BC,AC上，若△ABC的

周长为/5M尸=2,则BE的长为.

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第15讲等边三角形（学生版）

【变式2・2】如图，△ABC,△CDE都是等边三角形，点力，D,E在同一条直线上，连接BE.若BE=/,

AE=4,求CE的长.

【变式2・3】如图，等边三角形力BC中，80是中线，延长BC至E使得过点。作。FJLBE

于F.试说明：BF=EF.

【题型3含30。角的直角三角形的性质简单应用】

【例3】如图，在△4BC中，AB=AC,乙B=30。,40148交BC于点。，AD=2,则BC的长是（）

A.12B.1（）C.8D.6

【变式3・1】如图，点。是边长为3的等边△4BC一边BC上的一点，。E、。户分别与两边垂直，则BE+

CF（）

【变式3-2］如图，在等边三角形ABC中，BC=8,点。是AB的中点，过点。作。尸14C于点R

过点尸作EFJLBC于点E,则8E的长为（）

A.3B.4C.5D.6

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【变式3・3】如图,在△ABC中，乙ACB=900,乙4=30。，4B的垂直平分线分别交4B和AC于点。、

E,CE=3,AC的长为（）

A.6B.8D.12

【题型4作垂线构造含30。角的直角三角形】

【例4】如图，在AABC中，/4BC=60。，BC=24,点。在B4的延长线上，CA=CD,BD=15,

则A。的长为（）

A.6B.5D.3

【变式4・1］如图，在等边三角形48c中，。是AC延长线上一点，E是48上一点，连接BD,ED.若DE=

DB,AD+AE=1(),BE=2,则BC的长为

【变式4・2】如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC,点、E,尸在等腰三角形4BC的内部，连接

AE,EF,CF,使/BAE=4AEF=60。，且CF平分NACB.若4E=5,EF=3,则48=

【变式4・3】如图，在△4BC中，^ABC=60°,以4c为边在△4BC外作等边△46,过点。

作DE1BC.若A8=5.4,CE=3,则BE=.

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【题型5等边三角形的判定】

【例5】如图，在△ABC中，D为AB边上一点、,DF工BC于点F,延长F0、C4交于点E.若乙E=30。,

AD=AE.求证：△ABC为等边三角形.

【变式5・1】等边△ABC中，点尸在△4BC内，点。在△A8C外，且44BP=4ACQ,BP=CQ,问△APQ

是什么形状的三角形？试说明你的结论.

【变式5・2】己知：如图，在△4BC中，。是BC边的中点，DE14B,0E_L4C,点E、尸为垂足，且

DE=DF,44=120°.

(1)求证；△BDE四△CDF；

(2)求证：是等边三角形.

【变式5・3】在△ABC中，乙B=90。,。为8c延长线上一点，点E为线段4C,CD的垂直平分线的交

点，连接E4,EC,ED.

⑵

⑴如图(1),当NB4C=50。时,贝IJ4AEO=

(2)如图(2),当zB4C=60。时,连接4D，判断△{£*£)的形状，并给予证明.

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【题型6等边三角形的判定与性质】

【例6】如图，△4BC与△ABD都是等边三角形，点E、尸分别在BC,4c上，BE=CF,AE与BF

交于点G.

⑴求乙4GB的度数；

(2)连接0G,求证：DG=AG+BG.

【变式6・1】如图/,在等边△4BC中，E为边4c上一点，D为BC上一点,且AE=CD,连接;40与BE

相交于点F.

(1)4。与BE的数量关系是，40与BE构成的锐角夹角2BFD的度数是；并说明理由.

(2)深入探究，将图/中的40延长至点G,使FG=BF,连接BG,CG,如图2所示.求证：GA平分

△BGC(第一问的结论，本问可直接使用)

【变式6・2】如图，△48C和△4DE是等边三角形，CE、BD交于点F,连接4F.

(1)求证：CE=BD；

(2)求证：Z.AFC=6俨；

(3)判断线段4F、BF、CF的数量关系，并说明理由.

CA

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【变式6・3】如图，△4BC是等边三角形，点。在AC上,点上在BC的延长线上，且BD=DE.

⑴如图（1）,若点。是力C的中点，求证：AD=CE；

（2）如图（2）,若点。不力C的中点，力。=CE是否成立？证明你的结论；

（3）如图（3）,若点。在线段AC的延长线上，试判断AD与CE的大小关系，并说明理由.

【题型7等边三角形中多结论问题】

【例7】如图，△48C中，BF,。尸分别平分4A8C和过点/作。E||8C交力B于点。，交4C

于点E,那么下列结论错误的是（）

A.乙DFB=乙DBFB.乙ECF=（EFC

C.LBFC=90°+^AD.△AOE的周长等于的周长

【变式7・1］如图，已知等边三角形48C,AB=2,点。在48上，点尸在4c延长线上，BD=CF,

DE1BC于E,FG1BC^G.DF交BC于点P.则下列J结论：①BE=CG；②△EOP三△GEP；

@^EDP=60。；@EP=1.其中一定正确的是（）

A.①③B.②④D.①②④

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【变式7・2】如图，分别以△4BC的边4B,AC所在直线为对称轴作△4BC的对称图形△4BD和

AACE.乙BAC=15（）。,线段80与CE相交于点0,连接BE、ED、DC、0A.有如下结论：®^EAD=

90。；②乙BOE=60。；③△力BE是等边三角形；④8P=EQ,其中正确的结论个数是（）个

D

【变式7・3］如图，已知△48C,分别以48、AC为边向外作等边和等边△ACE,CF和BE交于

。点，则下列结论：®CF=BE；®Z-C0E=6（）°x③。4平分ZFOE；®0E=OA+OC,其中正确的

有（）

BC

A.4个B.3个C.2个D.1个

能力提升

1.如图，是等边三角形，BCLCD,且4C=C0,则NB40的度数为（）

AA

D

A.5俨B.45°C.40°D.35°

2.满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（）

①有两个角是60。的三角形②有两个外角相等的等腰三角形

③腰上的高也是中线的等腰三角形④三个外角都相等的三角形

⑤有一个角为6俨的等腰三角形.

A.2个B.3个C.4个D.5个

3.如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点4D,E在同一直线上，连接BE,若BE=2,AE=8,

则CE的长是（）

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4.如图，在△4BC中，乙C=30。,AD垂足为点4交BC于点D,过点D的直线nr恰好垂直

平分线段AC,4。=5,则8c的长是（）

5.如图，在等边△ABC中，AC=9,点。在4c上，月SO=3,P是48上一动点，连接0P,将线段

0P绕点。逆时针旋转60。得到线段0D,若使点。恰好落在BC上，则线段4P的长是（）

A.4B.5C.6D.8

6.如图，在△4BC中，乙BAC=12（）。，AC=8,。为BC的中点，AD贝必8的长为

7.如图，△ABC和△40E均为等边三角形，点8,D,E在同一直线上，若乙EBC=35。,则NEC4的度

数为.

8.如图，D为等边三角形力BC内一点，AD=BD,BP=AB,乙DBP=乙DBC,则4BPO=度.

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第15讲等边三角形(学生版)

9.如图，乙4。8=60。，点。是40延长线时的一点，0C=6cm,动点P从点4出发沿射线C8以2cm/s

的速度移动，动点0从点O出发沿射线。4以/cm/s的速度移动，如果点P、。同时出发，用/(s)

表示移动的时间，当亡=s时，△尸。。是等边三角形.

10.如图，。为线段AE上一动点(不与点力，七重合)，在力E同侧分别作等边△48C和等边△C0E,

AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点°,连结PQ.以下五个结论:①40=BE；

②PQ〃AE；③0P=0Q；④△CP。为等边三角形；⑤44。8=60。；其中正确的有(注：把

你认为正确的答案序号都写上)

11.如图，在四边形4BC0中，AB||CD,C4平分N8C0,J.CO于点M,BNJ.AC于点、N,连接

MN.

(1)证明：AB=BC；

(2)若匕C4B=30。，证明：aAMN是等边三角形.

12.如图，过边长为4的等边三角形的边48上一点P,作PE_LAC于点E,Q为8c延长线上一点,

当P4=CQ时，连接PQ交AC边于点

A

(1)求证：。为PQ中点；

(2)DE的长为?A

BCQ

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13.如图，在△ABC中，AB=AC,^ACB>60°,在AC边上取点D,连接BD,使BD=BC.以4。

为一边作等边△ADE,且使点E与点B位于直线AC的同侧，AEAB=2^BAC.

⑴求乙BDE的度数；

(2)点F在48上，连接DEDF=BD,请判断△80尸是否是等边三角形，并说明理由.

14.如图，△49。与△4EC都是等边三角形，连接BE,CD,点M,N分别是BE,C。的中点，连接

AM,AN,MN.

(1)求证：BE=CD；

(2)求证：△4MN是等边三角形；

(3)如图2,△48。与△力EC都是等腰直角三角形，连接BE,CD,点M,N分别是BE,CO的中点,

连接AM,AN.若点N恰好也是AE的中点，且AE=2,求△ABE的面积.

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第15讲等边三角形(学生版)

15.如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm,现有两点M、N分别从点力、点8同时出发，沿三

角形的边运动，已知点M的速度为/cm/s,点N的速度为2cm/s.当点N第一次到达8点时，M、

N同时停止运动.

(1)点"、N运动几秒时，M、N两点重合？

(2)点/、N运动几秒时，可得到等边三角形4MN?

(3)当点A/、N在8c边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN?如存在，请求出此时

M.N运动的时间.

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第15讲等边三角形（解析版）

知识归纳

I一"：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°：

等边三角形的性质_____一一_一一一一一一一一一一一一一一一一一J

.定义法：：三边都相等的三角形是等边三角形.

等边三角形的判定，2.三个角都相等的三角形是等边三角形.

I3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

:在直角三角形中，如果一个锐角等于30。,

含。角的直角三角形的性质

30；那么它所对的直角边等于斜边的一半.

【知识点1等边三角形的性质】

性质：等边三的形的三个内角都相等,并且每一个角都等于血.

【注意】

（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；

（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质.

【知识点2等边三角形的判定】

L定义法：：三边都相等的三角形是等边三角形.

2.三个角都相等的三角形是等边三角形.

3.有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.

【知识点3含30。角的直角三角形的性质】

性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

证明：如图，延长3c到。，使CO=3C,连接力。，则力C是3。的垂直平分线，所以48=40.

又因为与=90。-234。=90。-30，=60。，所以△力3。是等边三角形，所以BD=AB.又BD=2BC,

所以8。少3.由此可以得到上述结论.

举一反三

【题型1利用等边三角形的性质求角度】

【例1】如图，△49C为等边三角形，点。是BC边的中点，过点。的直线与AC相交于点E,与48

的延长线相交于点尺当4E=<0时，则2尸=.

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第15讲等边三角形（解析版）

【答案】450

【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形和三角形外角的

性质是解题的关键.根据等边三角形的性质得到乙OAF=4ZME=PB4C=30。，由月E=40可得

Z4DE=生詈些=75。，再利用三角形外角的性质即可求解.

【详解】解：为等边三角形，点。是8C边的中点，

乙DAF=^DAE=,BAC=；x60。=30。,

AE=AD,

18/一乙DAE=i80f(r

Z-ADE==75°,

22

ZF=/.ADE-Z.DAF=75°-30°=45°,故答案为：45。.

【变式1・1】如图，△ABC是等边三角形，BDBD=AB,则4WC的度数为（）

A./5°B.20°C.22.5°D.30°

【答案】D

【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据等边三角

形的性质可得出=BC、乙4BC=60。，由B0_L4B、80=AB可得出△4B0为等腰直角三角形,

进而可得出乙48。=90。及BD=BC,再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出

N8DC的度数即可得出结论.

【详解】解：为等边三角形，

：.BA=BC,Z-ABC=60°.

*：BD1AB,BD=AB,

・・・△ABO为等腰直角三角形，

：./-ABD=90。,BD=BC,乙ADB=^BAD=45。,

・"CBD=乙ABC+乙ABD=15。。,

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第15讲等边三角形（解析版）

・・・乙DCB=乙BDC=；(180。一乙CBD)=15。,

J./-ADC=LADB-Z,CDB=45°-15°=30°.故选：D.

【变式1-2］如图，△4BC是等边三角形，AE=CD,AD.BE相交于点P,BQ14D于点Q,求心BPD

的度数.

【分析】证明△A8E三△CAD(SAS)得乙乙40=44BE,由三角形外角性质推出NBPZ)=/BAO+

△CAD即可.

【详解】解：♦.•△ABC为等边三角形，

：.AB=AC,乙BAE=LACD=60°,

(AB=AC

在△ABE和△CAO中，乙84E=4/C0,

(AE=CD

:•△ABEKSD(SAS),

：.^CAD=^ABE,

：.^BPD=Z-BAD+4ABE=/-BAD+/-CAD=^BAE=60。,.・・N8PD的度数是60°.

【变式1・3】如图，D,E分别是等边三角形4BC的边A8,AC上的点,且4。=CI求乙80。的度数.

【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，外角的定义，熟练掌握以上知

识点是解答本题的关键.

利用等边三角形的性质证明ABCE三△C4O,根据全等三角形的性质得到=再利用

三角形的外角定义即可求解.

【详解】解：是等边三角形，

・・・乙BCE=^CAD=60。,BC=CA,

BC=CA

4ASCE木口△C/4。中，乙BCE=^CAD,

AD=CE

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第15讲等边三角形（解析版）

BCE=△C40(SAS),

Z.CBE=Z.ACD,

・•・(BOD=乙OCB+Z,CBE=(OCB+AACD=^ACB=60\

【题型2利用等边三角形的性质求线段长度】

【例2】如图，△48。是等边三角形，48=6,80是乙48c的平分线，延长8C到E,使CE=CD,则

BE的长为（）

A.7B.8D.9

【答案】D

【分析】本题主要查了等边三角形的性质.根据等边三角形的性质，可得AB=BC=C0=6,CE=

CD=^AC,即可求解.

【详解】解：由题意可知：AB=BC=CA=6,

•・・8。是乙48。的平分线,

：.CD=AD=〃C,

•：CE=CD,

：.CE=CD=^AC=^

：.BE=BC+CE=6+3=9.故选：D.

【变式2・1】如图，△ABC和AOEF都是等边三角形，点。,£尸分别在边AB,BCMC上，若△48c的

周长为15,AF=2,则BE的长为.

【答案】3

【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质,

三角形全等的判定和性质是解题的关键.根据△ABC和△DEF都是等边三角形，证明△AFDwa

CEF(AAS),三△BOE(AAS),得到=BO=CE=2,根据BE=BC-CE=5-2=3解

答即可.

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第15讲等边三角形(解析版)

【详解】解：:△ABC和△Z)“都是等边三角形，

：.AB=BC=CA,/-A=B=AC=60。,DE=EF=FD,乙DEF=LEFD=Z.FDE=60。,

：.^ADF+Z-AFD=120°,乙CFE+^AFD=120°,

：.z.ADF=乙CFE,

Z-A—Z-C

*：(ADF=乙CFE,/.△AFDCFF(AAS),

DF=FE

同理可证，△AFDBDE(AAS),

：.AF=BD=CE=2,

:△ABC的周长为15,

：.BC=15+3=5,

BE=BC—CE=5—2=3,故答案为：3.

【变式2・2】如图，△4BC,/XCDE都是等边三角形，点力，。,七在同一条直线上，连接BE.若BE=1,

AE=4,求CE的长.

【答案】3

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到

/.ACB=60°,AC=BC,乙DCE=60°,CD=CE=DE,从而得到ZBCE=Z.ACD,继而证明^BCE

ACD(SAS),故AO=BE=/,从而求出0E,即CE的长.利用SAS证明△BCE三△4C0是解题的关

键.

【详解】解：•••△4BC,4C0E是等边三角形，

/.Z.ACB=60°,AC=BC,Z-DCE=600,CD=CE=DE.

工人BCE=60°-乙BCD=£.ACD.

•・•△BCE三△ACO(SAS).

：,AD=BE=I.

：.DE=AE-AD=4-1=3,：,CE=3.

【变式2・3】如图，等边三角形ABC中，B。是中线，延长BC至E使得CE=：BC,过点。作OF_LBE

于F.试说明：BF=EF.

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第15讲等边三角形（解析版）

.1

【答案】见解析

【分析】此题考查了等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，等边三角形的性质，解题的关

键是掌握以上知识点.首先根据三线合一性质得到DC=gBC,然后推出=然后利用三角

形外角的性质和等边对等角得到4E=30。，得到OB=OE,然后利用三线合一证明即可.

【详解】证明：・・・△ABC为等边三角形，BO是中线，

DC=^AC=gBC,

又•••CE=/C,

DC=CE,

乙E=Z.CDE,

•；4CB=zF+乙CDE=60。,

:‘（E=30。，

vDA=DC,△ABC为等边三角形，

:,乙DBC=；乙ABC=30。,

*,Z.DBC=乙E,

•••DB—DE,

DF1BC,

.・.BF=EF.

【题型3含30。角的直角三角形的性质简单应用】

【例3】如图，在中，AB=AC,乙B=30。,40J.4B交BC于点D,AD=2,则BC的长是（）

【答案】D

【分析】本题考查了含3俨角的直角三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握以

上知识点是解答本题的关键.

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第15讲等边三角形(解析版)

根据含30。角的直角三角形的性质求得BD=2AD=4,由等边对等角以及三角形内角和定理求得

Z.BAC=180。一乙B—2C=/2俨，进而求得zCAD=Z-BAC-^BAD=30。,再根据等边对等角得到

AD=CD=2,最后根据BC=BD+DC即可得解.

【详解】解：•••AO1A8,

••・△/BD为直角三角形，

又4B=30。，AD=2,

BD=2AD=2x2=4,

vAB=AC,乙B=30。，

・•・4B=zT=30。，

・•・乙BAC=180°一乙B—(C=180°-30°-30°=120。,

-ADLABf即4840=9俨，

.../.CAD=LBAC-Z,BAD=/2俨-90。=3()。,

4CD是等腰三角形,即AD=CD=2,

:.BC=BD+DC=4+2=6,故选：D.

【变式34】如图，点。是边长为3的等边△ABC一边BC上的一点，OE、。产分别与两边垂直，则BE+

A.1.6B.1.5C.1.8D.2

【答案】B

【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，根据等边三角形的性质得到=BC=

AC=3,乙4=48=〃？=60。，由题意求出480£=30。,乙。0r=30。，利用直角三角形的性质可得

BE=gBO,CF=，0,即可求解.

【详解】解：是边长为3的等边三角形，

,•AB=BC=AC=3,Z.A=Z.B=Z-C=60。，

^：0ELAB,OFLAC,

二人BEO=90°,/.CFO=90。，

：.^BOE=30°,4COF=30。，

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第15讲等边三角形（解析版）

:・BE=gBO,CF=，0,

：・BE+CF=gBO+，O=g（BO+CO）=，C=1.5,故选：B.

【变式3・2】如图，在等边三角形4BC中，8C=8,点。是48的中点，过点。作OF1AC于点尸,

过点/作EF_LBC于点E,贝IJBE的长为（）

【答案】C

【分析】本题考查了等边三角形的性质，含3俨角的直角三角形，由等边三角形性质得到4B=BC=

AC=8,乙4=2。=60。，根据含3俨角的直角三角形求出；1/=!入0=2,求出CF,再根据含3俨

角的直角三角形求出CE=：CF=3,即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解：•••△4BC是等边三角形，

：.AB=BC=AC=8,乙4=NC=6（）。,

••,0是的中点，

：.AD=^AB=4,

VDF1/4C,

：.Z.AFD=90。,

：./LADF=180°-90°-60°=30°,

•.AF=^AD=2,

：.CF=AC-AF=8-2=6,

•:EF工BC,

・・・NCFE=90。-4c=3俨，

:.CE=；CF=3,

:・BE=BC-CE=8-3=5,故选：C.

【变式3・3】如图，在△4BC中，LACB=900,乙4=30。，.48的垂直平分线分别交和4C于点。、

E,CE=3,AC的长为（）

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第15讲等边三角形（解析版）

A.6B.8D.12

【答案】C

【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的边的

关系，掌握垂直平分线的性质是解题的关键.

连接BE,根据线段垂直平分线的性质证明BE=4E,再证明NEB4=N4=30。，再根据含30度角

的直角三角形的边角关系求出4c即可.

【详解】解：如图，连接BE,

••,OE为AB边的垂直平分线，

：.BE=AE,

•：Z.ACB=90%4A=30。,

：.^.ABC=60。，/-EBA==30。，

在RtZXBCE中，乙EBC=LABC—乙EBA=30。,

9：CE=3,

：.BE=2EC=6,

：.AC=AE+EC=BE+EC=3+6=9.故选：C

【题型4作垂线构造含30。角的直角三角形】

【例4】如图，在△ABC中，乙4BC=60。，BC=24,点D在B4的延长线上，CA=CD,BD=15,

则4。的长为（）

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第15讲等边三角形（解析版）

【答案】A

【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质，过点C

作CELAD,垂足为£根据垂直定义可得4BEC=90。，再利用直角三角形的两个锐角互余可得

乙BCE=30。,然后利用含30度角的直角三角形的性质可得BE=/2,从而可得OE=3,最后利用

等腰三角形的三线合一性质即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的

关键.

入

【详解】解：过点C作CE1/O,垂足为E,-----------------—

工乙BEC=90°,

,：LABC=60。,

，乙BCE=90。-(ABC=30。,

,:BC=24,

：・BE=gBC=12,

a：BD=15,

；.DE=BD—BE=15-12=3,

VCA=CD,

：.AD=2DE=6,故选：A.

【变式4・1］如图，在等边三角形ABC中，。是AC延长线上一点，E是AB上一点,连接BD,ED,若DE=

DB,AD+AE=10,BE=2,则8c的长为.

【答案】?

【分析】本题考查了含3俨角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，正确

作出辅助线是解题的关键.

过D作于点凡由等腰三角形的性质得EF=KF=/,设=则40=/0—匕=/E+

EF,由等边三角形的性质得8C=48,41=60。，则乙40尸=30。，再由含3/角的直角三角形的性

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第15讲等边三角形（解析版）

质得4D=24F,然后求出x,即可解决问题.

【详解】解：如图，过。作DF_L/W于点F,

...EF=BF=”E=/,

设AE=%,^\AD=10-x,AF=AE+EF=x+1,

••.△ABC是等边三角形，

BC=AB,乙4=60。,

Z.ADF=90°-60°=30。，

AD=2AFf

即1G—x=2（x+〃，

8

・•・x=p

BC=AB=AE+BE=^+2

故答案为：y.

【变式4・2］如图，在等腰三角形中，AC=BC,点、E,歹在等腰三角形4BC的内部，连接

AE,E尸，CF,使4B4E==6俨，且。尸平分若4E=5,EF=3,则4B=

【答案】8

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质.延长C小

交4B于点G,延长EF交4B于点D,可得△AOE是等边三隹形，4EDA=6俨，进而可得4E=AD=

ED=5,然后利用线段的和差关系可得。尸=2,再利用等腰三角形的性质可得48=24G,乙CGB=

90。,从而利用直角三角形的两个锐角互余可得乙OEG=3岁，进而在RtZXOGF中，利用含30度角

直角三角形的性质可得DG=/,据此进行计算即可解答.

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第15讲等边三角形（解析版）

【详解】解：延长CF交71B于点G,延长Er交AB于点。，AGDB

9：Z.BAE=^AEF=60。,

•••△,4OE是等功三角形，/.EDA=60°,

：.AE=AD=ED=5,

：EF=3,

：.DF=ED-EF=5-3=2.

,

：AC=BC1CF平分乙4CB,

：.AB=2AG,“GB=90°,

：zDFG=90°-^.ADE=30。,

：.DG=^-DF=1,

：.AG=AD-DG=5-1=4,

・・・4B=24G=8,故答案为：8.

【变式4・3】如图，在△4BC中，"BC=60。，以AC为边在△ABC外作等边△ACO,过点。

作OE1BC.若48=54CE=3,则BE=.

【答案】7.8

【分析】此题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，正确地作出辅助线，构造全

等三角形和含有30。角的直角三角形是解决问题的关键.过点。作CP1AB于乎，根据乙4BC=60。

得乙B4C+乙BCA=120%再根据等边三角形性质得4c=CD,^ACD=60。，则4OCE+/BCA=/20。,

由此得NBAC=4QCE,据此可依据“AAS”判定△4PC和△CED全等，从而得4P=CE=3,则BP=

AB-AP=2.4,进而在根据直角三角形性质得BC=2BP=48,据此可得BE的长.

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第15讲等边三角形（解析版）

A

【详解】解：过点C作CPJL4B于P,如图所示：C•:乙ABC=60。,

•••乙BAC+Z.BCA=180°-/.ABC=12()。,

・・•△4CD为等边三角形，

：.AC=CD,乙ACD=60°,

•・•乙DCE+ABCA=180。-^ACD=120。,

•••Z.BAC=乙DCE,

vCP1AB,DE1BC,

•••UPC=MED=90。，

(^APC=乙CED=90°

在△,4PC和△CED中，ABAC=/-DCE,:・△APC三△CED(ARS),

(AC=CD

AP=CE=3,

BP=AB—AP=5.4—3=2.4,

在RtzXBCP中，乙4BC=60。，

・•・乙BCP=30。，

・•・BC=2BP=2x24=4.8,

BE=BC+CE=4.8+3=7.8.故答案»9：7.8

【题型5等边三角形的判定】

【例5】如图，在△4BC中，。为4B边上一点，OF_LBC于点F,延长FO、C4交于点£若乙E=30。,

AD=AE.求证：△ABC为等边三角形.

【答案】见解析

【分析】本题考查了等边三角形的判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，熟记等边三角

形的判定定理是解题的关键.由等腰三角形的性质得出乙ADE=4E=30。，根据三角形的内角和定

理并结合DF_L8C,证出==4配则可得出结论.

【详解】证明：---AD=AE,zE=30。,

・•・NADE=ZF=30°,

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第15讲等边三角形(解析版)

：,Z-BAC=乙E+Z.DAE=60°,

vDF1BC,

Z-EFC=90。,

=9俨-NE=60。，

LB=180°-ZC-乙BAC=18()。-60°-60°=6()。,

:.乙BAC=LB=ZC,ABC为等边三角形.

【变式5-1】等边△4BC中，点P在aABC内，点0在44BC外，且乙4BP=44CQ,BP=CQfHAAPQ

是什么形状的三角形？试说明你的结论.

【答案】△力PQ是等边三角形，见解析

【分析】本题考查等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质，先证△49P三得4P=4Q,

再证乙PAQ=60。，从而得出△4PQ是等边三角形.

【详解】解：是等边三角形.

证明：为等边三角形，

：.AD=AC.

AB=AC

在△,4BP与△4CQ中，V/-ABP=Z.ACQ,

BP=CQ

：.AABP三△4CQ(SAS),

：.AP=AQ,/.BAP=LCAQ.

•：^LBAC=^BAP+^PAC=60。,

：.^PAQ=^CAQ十乙PAC=60°,

「•△APQ是等边三角形.

【变式5・2】已知：如图，在△4BC中，。是8c边的中点，DELAB,DF1AC,”为垂足，且

DE=DF,LA=120°.

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第15讲等边三角形(解析版)

⑴求证；△BDE^△CDF；

(2)求证：△DEF是等边三角形.

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法,

是解题的关键：

(1)利用HL证明△BDEW△CDF即可;

(2)根据全等三角形的性质，得到乙8=乙乙进而求出乙8乙。的度数，进而求出乙BOE,乙CO尸的度

数，进而求出乙EDF=60。，即可得证.

【详解】(1)证明：*：DELAB,DF1AC,

工乙DEB=^DFC=90。,

・・,。是BC边的中点，

：.BD=CD,

a：DE=DF,

△CDF(HL)；

(2)由(1)知：ABDEgACDF,

Z.B=乙C,

・・z=120°,

:•乙B=乙C=”0。-120。)=30。；

・・・乙DDE=90°一乙B=60°,乙FDC=900-Z.C=60。，

:・dDF=180°一乙BDE一(CDF=60。,

9：DE=DF,

:•△DEF是等边三角形.

【变式5・3】在△ABC中，乙B=90。,。为BC延长线上一点，点E为线段AC,CO的垂直平分线的交

点，连接E4EC,ED.

(1)如图(1),当ZB4C=5O。时,则乙4ED=。；

(2)如图(2),当4B4C=6俨时，连接40,判断△4E0的形状，并给予证明.

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第15讲等边三角形（解析版）

【答案】（1）80；（2）2\AEO是等边三角形，证明见解析

【分析】（1）根据三角形内角和定理得出N4CB=40。，即可得出44co=/40。，利用线段的垂直平

分线的性质得出EA=EC,EC=EB,根据等腰三角形当性质得出4E4C=^ECA,乙ECD=2EDC,

四边形内角和定理解决问题即可；

（2）同（1）可得出Z4EO=6俨，EA=EC,EC=EB,即可得出£71=EO,即可证明△力EO是等边

三角形.

【详解】（1）解：•・•在△4BC中，乙B=90。,LBAC=50°,

：.^ACB=90°-500=40%

：.£.ACD=180°-40°=140°,

丁点E为线段，AC,CD的垂直平分线的交点，

：.EA=EC,EC=EB,

：./,EAC=乙ECA,乙ECD=乙EDC,

：.Z.EAC+/-EDC=Z.ECA+乙ECD=Z.ACD=140。,

：.^AED=360°-140。-140。=80°.答案为：80

（2）解：△AED是等边三角形，理由如下：

・・•在aABC中，£B=90°,4BAC=60。,

：.^ACB=90°-60°=30°f

：.LACD=180°-30°=150°,

由（I）可知：/.AED=360°-150°-150°=60°,EA=EC,EC=EB,

：.EA=ED,

•••△.4EO是等边三角形.

【题型6等边三角形的判定与性质】

【例6】如图，与△48D都是等边三角形，点E、尸分别在BC,4c上，BE=CF,AE与BF

交于点G.

⑴求乙AG8的度数；

（2）连接。G,求证：DG=AG+BG.

【答案】（1）乙4GB=/2俨；（2）证明见解析

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第15讲等边三角形(解析版)

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，正确添加辅助线、证明

三角形全等是解题关键.

(1)根据等边三角形的性质证得△4BE三△BCF,则=利用三角形外角性质可求

乙BGE=^ABG+乙FBC=^ABC=60。，进而可计算出44GB的度数；

(2)延长GE至点H,使GH=G6,证明△BGH为等边三角形，得到BG=8"=GH,LGBH=60°f

证得ZkOBG三可得0G=4H,即可得到结论.

【详解】(1)解：•・・△4BC是等边三角形，

：,AB=BC,乙ABC=乙。=60。,

(AB=BC

•••在aABE和尸中,N/BE=4C,

(BE=CF

.*.△ABE^A5CF(SAS),

:.Z.BAE=乙FBC,

•••乙BGE=Z.ABG+乙BAE=4ABG+乙FBC=Z.ABC=60。,

44GB=180。-乙BGE=120°；

(2)江明：延长GE至点H,使GH=GB