人教八年级数学上册：角的平分线（分层练习）

14.3角的平分线分层练习（学生版）

基础过关练

题型一作角平分线

1.尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）作的角平分线力。.

2.如图，在V"C中，作"03的平分线交8c于点。；（不写作法，只保留作图痕迹.）

3.已知/C4七是V/18C的一个外角，AB=AC.

（1）尺规作图，作NC4E角平分线力Q.（不写作法，保留痕迹）；

(2)求证：AD//BC.

4.如图，V/4c中，ZZ?JC=90°,AD1BC,垂足为。.

（1）求作N/8C的平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；）

（2）若/力BC的平分线分别交,4。，NC于尸，。两点，证明：N/1尸。=乙10\

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14.3角的平分线分层练习（学生版）

题型二用角平分线的性质定理证明

1.如图，在V"C中，力。平分N8/1C,且BD=CDDEL4B,DFL4C,垂足分别为£F.求证:

(1)LEAD@AFAD,

(2)EB=FC.

2.如图，在VZ8C中，4。平分/切C,点。是AC的中点，DEJ^B于点、E,DFJ.AC于点、F,求

证：ZJ?=ZC.

3.如图，在中，D5=90°,力。是/胡C的平分线，。“/力。于点M,N在边力B上且DN=DC.

A

（1）求证：BN=CM.

（2）试判断力。与/MCW之间存在的数量关系，并说明理由.

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14.3角的平分线分层练习（学生版）

4.如图，已知力。平分/4/。，CEJ.AB于点、E,W_L/。交彳。的延长线于点凡且8C=CQ,求

证：BE=DF.

5.如图，在V/5C中，ZC=90°,力。平分NA4C,DEJ.AB于点、E,点、F在4c上,BD=DF,求证:

D8=0CFD.

题型三用角平分线的性质定理求面积

1.女「图，已知”8C的周长是21,04,OC分别平分/48c和N力C8,0。18。于点D,且00=4,

V/BC的面积是

2.如图，在中，ZC=90°,“41C的平分线4;交4。于点。，若BD=5,80:6=5:3,44=10,

则的面积是

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14.3角的平分线分层练习（学生版）

3.如图，在'FAC中，AB=2,BC=3,8。是的平分线，如果V"。的面积为那么△D5C

的面积为.

4.如图，力。是放"8C的角平分线，/。=90。,。。=6,48=8,则△/8。的面积是

题型四用角平分线的性质定理求线段长度

1.如图，在V/8C中，力。为“助。的平分线，DEJ.AB于E,DFJ.AC于F,V48C的面积是28cm?,

AB=20cm,AC=8cm,求DE的长.

2.如图，在V"C中，力。平分/助C,过点D作DEJ.4B于点E,作。尸工力C于点尸.

(1)求证：AE=AF-

(2)若48=6,AC=4f%”c=15,求。E的长.

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3.如图，在V48C中，力。是它的角平分线.求证心小.

（1）在图1中完成上面的证明过程；

（2）在图2中，如果/«=3,47=2,BC=4,求CQ的长.

4.如图，在RtZ\/i8C,ZC=90°,力。平分/84C,DEJ.4B于点、E,点尸在力。上，BD=DF.

(1)求证：BE-rc；

(2)若48=15,JF=9,求"?的长.

题型五用角平分线的性质定理求点到直线的距离

1.如图，力。是V48C的角平分线，若N8=90。，BD=2,则点力到力。的距离是.

A

C

BD

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14.3角的平分线分层练习（学生版）

2.如图，在V45C中，以点/为圆心，小于力。长为半径作圆弧，分别交力&/C于点E、F,再分

别以昆厂为圆心，大于的同样长为半径作圆弧，两瓠交于点P,作射线力?，交C4于点。.

ZC=90°,8c=9cm,3。=6cm,那么点。到48的距离是cm.

3.如图,在Rt"3c中,ZC=90°,AC=4cm,BC=3cm,AB=5cm,。是NC"与NC"平分线的交点,

则点。到48的距离为.

4.如图，在V48C中，ZC=90°,/D平分/B4c交BC于点、D,若CD=9,则点。到斜边相的距离

为.

题型六角平分线的判定定理

1.如图，NB=NC=90。,A/是AC的中点，平分求证：力M平分NO48.

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2.如图，在VF4C中，。是8。的中点，DEJ.AB于E,DFJ.4c于点F,且BE=CF.求证：4。平

分N8/1C.

3.如图，BE=FD,CEJ.AB于点、E,C。_L彳尸交"•的延长线于点。，且，求证：4c是NB4F

的平分线.

4.在三角形/8C中，。为8C的中点，DE1AB,DF1ACf垂足分别是E,F,NB=NC.求证:

点。在//的平分线上.

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题型七角平分线性质的实际应用

1.如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路和铁路的距离相等，并且离交叉处500m,这个集

贸市场应建于何处？（在图上标出它的位置，比例尺1：20000）

2.三条公路两两相交于48,C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选

择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法.

3.如图，要在S区建一个电子商品批发市场，使它到公路力、铁路〃的距离相等，并且离公路与铁

路的交叉处500m,这个电子商品批发市场应建于何处（请在图上标出它的位置，保留作图痕迹，

比例尺为1:20000）.

4.已知：如图公路力E、AF.8c两两相交.

求作：加油站O,使得。到三条公路的距离相等.（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

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14.3角的平分线分层练习(学生版)

能力提升练

1.如图，在W0〃和△C。。中，OA=OB,OC=ODt若NAOB=NCOD=60。，连接力C、4。交于点P；

(I)求证："(JC知8(JD.

(2)求/力网的度数.

(3)连接OP,求证：OP平分乙4PQ.

(4)如图2,V48C是等腰直角三角形，4c8=90。，AC=BC,"=14cm,点。是射线力8上的一

点，连接在直线48上方作以点C为直角顶点的等腰直角三角形ACQ£,连接若M=4cm,

请直接写出“的值.

2.【问题背景】

如图1,在平面直角坐标系中，O为坐标原点，0/、。8、的长分别为4、b、c,且满足

卜-4|+伍-3)2+7^=0,点尸从4出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线/。匀速运动，设点。

运动时间为/秒.则A的坐标为,B的坐标为.

【数学理解】

(1)如图2,连接HP,当8P平分440时，求出，的值.

【深入探究】

(2)过。作交直线力8于。，交y轴于0,在点P运动的过程中，是否存在这样的点P,

使△PO。与V4O8全等？若存在，请求出，的值；若不存在，请说明理由.

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3.【发现问题】（1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在V/出C中，若力8=3,AC=2f

求4C边上的中线4。的取值范围.小亮在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：如图①，延长

力。至］点E,使DE=AD,连接BE,得到他用到的判定定理是；（用字

母表示），可以求得"C边上的中线力力的取值范围是.

（D

【解决问题】

（2）小刚发现，解题时，条件中若出现“中点”，“中线”的字样，可以考虑构造全等三角形，要学

好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图②，当/。平分/口C

时，若AB=m,AC=〃，求S△皿Sfo的值（用含〃7,〃的式子表示）;

（3）如图③，NQ平分/加C,延长/。到E,使得力。=。£,连接BE,若力C=3,43=5,SfiD£=l（）,

求邑碑的值.

4.如图1,在平面直角坐标系中,已知点4%0）,8（0,y）,且x,4满足lx—61+3—2）2=0.

图1图2图3

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14.3角的平分线分层练习（学生版）

（1）求点A,8坐标；

（2）如图1,以物为斜边构造等腰直角V"C,请直接写出点。的坐标；

（3）如图2,已知等腰直角VZBC中，NACB=9。",AC=BC,点。是腰/C上的一点（不与A,C重

合），连接8。，过点A作力E_L8。，垂足为点E.

①若8。是N48C的角平分线，求证：BD=2AE；

②探究：如图3,连接CE,当点。在线段4。上运动时（不与A,C重合），/8EC的大小是否发

生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值.

拓展培优练

1.【问题提出】工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法：如图1,/水才是一个任意角，在边。力,

04上分别取OM=ON,移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M,N重合，即=过

角尺顶点P的射线0P便是ZAOB的平分线，已知角尺的夹角/MPN=9（）。.

【初步思考】试说明工人师傅这样做能得到角平分线的道理；

【变式判断】张明同学认为当408=90。时，工人师傅就不需要先在边04，08上分别取OM=ON,

直接移动角尺，使角尺的两边分别与。4，CM相交于点M,N,且满足=如图2所示，便

可以得至IJO尸平分你觉得张明的观点对吗？井说明理山；

【拓展探究】如图3,408=90。，。。平分/力08,P是射线。。上的一点，点C在射线04上运动，

过点。作夕。，巾，与直线。8交于点。，过点P作旌于点E.若0E=3,00=1,请直按写出。。

的长.

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14.3角的平分线分层练习(学生版)

2.综合与实践

【问题情境】

在学习了角平分线的性质后，兴趣小组通过查阅资料得到以下知识：

定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形，

如图1,在四边形中，AB=AD,Z5+ZZ)=180°,这种四边形被称为等补四边形.

图1图2

【探究实践】

经过交流讨论，李明、王红向同学们分享了自己的发现.

(1)如图2,李明发现，连接a,则。为NACO的角平分线，请你判断他的结论是否正确，并说

明理由；

(2)如图3,王红发现，在等补四边形48co中，当AB上BC,AD1CD,NE4F=4/)时,BE,EF

与阳之间存在某种数量关系，请写出该关系并说明理由.

图3图4

【拓展应用】

(3)如图4,已知/EOF=，3=。8,4+=180。，若/E=6,8b=9,贝IJ£/的长度是

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14.3角的平分线分层练习(学生版)

3.如图1,在平面直角坐标系短丁中，点4(-4，。)，8(0,4)，点。为x轴正半轴上一点，直线4cl直

(1)求证：NPBO=NPAC；

(2)求£点坐标(用含，〃的代数式表示)；

(3)如图2,连接。C,作点。关于总的对称点。，连接C。、OD,。力与心轴交于点?

①求证：当0<〃?<4时，OC平分4b；

②试探索4C、BC、OQ三条线段长度之间的数量关系，直接写出结论.

4.已知点。是/M4N平分线上一点，/8C。的两边C8、CO分别与射线力M、4V相交于8,。两

点，且/力8C+/4)C=180。,过点。作CEJMB,垂足为E.

(1)如图1,当点E在线段相上时，求证：BC=DC-

(2)如图2,当点E在线段的延长线上时，探究线段48、力。与8E之间的等量关系：

(3)如图3,在(2)的条件下，若NM4N=60。，连接8。，作乙480的平分线"交4。于点尸,

交小?于点。，连接。。并延长交小于点G,若4G=1,DF=2,求线段08的长.

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14.3角的平分线分层练习（解析版）

基础过关练

题型一作角平分线

1.尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）作V/AC的角平分线力。.

【答案】图形见解析

【分析】本题主要考查尺规作图，熟练掌握角平分线的作图步骤是解题的关键.根据角平分线的作

图步骤画图即可.

【详解】解：以点A为圆心任意半径画弧，交AB、AC两点,以两点分别为圆心，大于两点g的距

离画弧交于一点，连接A点和此点的射线交8c边于D点，连接力力即可;

作/O8的平分线交8c于点。；（不写作法，只保留作图痕迹.）

【分析】本题考查作图-基本作图，解题的关键熟练掌握角平分线的作图方法.利用尺规作出

的平分线力。即可.

【详解】解：如图，射线/。即为所求.

3.已知NC4七是V/18C的一个夕卜角，AB=AC.

BC

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14.3角的平分线分层练习（解析版）

（1）尺规作图，作NC4E角平分线力。.（不写作法，保留痕迹）；

（2）求证：AD//BC.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】本题主要考查了基本的尺规作图一角平分线，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三

角形的外角定理，平行线的判定等知识点，解题的关键是熟练掌握角平分线的作法和平行线的判定

定理.

（1）利用角平分线的作法进行噪作即可；

（2）利用等腰三角形的性质得出两底角相等，利用三角形的外角定理得出N"C=2/4,利用角平

分线的性质得出“AD=,即可判定出两直线平行.

【详解】（1）解：如图所示，射线力。即为所求；

（2）证明：VAB=ACf

NB=NC,

：.ZEAC-ZB+ZC-2ZZ7,

丁力力为/E4C的平，＞线，

ZEAD=ZCAD

：.NEAC=2NEAD,

Z.EAD=ZB

：.AD//BC.

4.如图，VABC+，Z^JC=90°,AD±BC,垂足为0.

（1）求作的平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；）

（2）若。的平分线分别交4。，AC于P,。两点，证明：ZAPQ=/AQP.

【答案】（1）见解析

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14.3角的平分线分层练习（解析版）

（2）见解析

【分析】本题考查角平分线尺规作图，角平分线定义，同角的余角互余等.

（1）根据题意以点4为圆心，任意长为半径画弧交于两点，再分别以这两点为圆心，大于

两点长的一半为半径画弧，两弧交于一点，再连接8和两弧的交点，即为N/8C的平分线；

（2）根据题意利用角平分线定义可得/即。+/m。=90。，后得至=继而得到本题答

案.

【详解】（1）解：以点8为圆心，任意长为半径画弧交砌,8。于两点，再分别以这两点为圆心，

大于两点长的一半为半径画弧，两弧交于一点，再连接8和两弧的交点，如下图即为N/4C的平分

线：

（2）解：根据题意画图如下:

•••AD1BC,

NZD4—9O0,

:"BPD+/PBD=90。.

-ABAC=90°,

...ZAQP+ZABQ=90°.

•••4ABQ=4PBD,

NBPD=NAQP.

乙BPD=zLAPQ,

/APQ=/AQP.

题型二用角平分线的性质定理证明

1.如图，在VZ8C中，40平分/胡C,且BD=CD,DE上极Dh4C,垂足分别为E,F.求证:

B

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14.3角的平分线分层练习(解析版)

(1)△EAgdFAD,

(2)EB=FC.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质，是解题

的关继：

(1)根据角平分线的性质，利用HL证明g△E4O即可;

(2)证明VHED/VC/T),即可得证.

【详解】(1)证明：・；力。平分NB/C,DELAB,DFlACf

：./DEA=/DFA=90°,DE=DF,

又VAD=ADt

.・.△切。包EW(HL)；

(2)*//DF.R=/DFC=90。，DE=。"，RD=CD,

...△BE。物ACFQ(HL),

：.EB=FC.

2.如图，在V48c中，力。平分/加C,点。是AC的中点，DEJ.jB于点E,DFJ.AC于点、F.求

证：Z5=ZC.

【答案】见解析

【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定及性质.根据角平分线的性质得到叱=。尸,

再证明RtZXB£＞》RtZ\C力尸(HL),即可得证结论.

【详解】证明：•••力力平分/切C,DEJ.AB,DF1AC,

:.DE=DF,/BED=/CFD=90。,

•・・。是8C的中点，

:.BD=CD.

在RtABDE和RtACDF中，

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143角的平分线分层练习（解析版）

BD=CD

DE=DF

：.RtABD£^RtACDF(HL),

Z5=ZC.

3.如图，在V/BC中，D8=90。，4。是/比iC的平分线，ZW1AC于点M,N在边48上且ON=OC.

（2）试判断4C与力MCM之间存在的数量关系，并说明理由.

【答案】（1）见解析

（2）AC=ANA-2CM,理由见解析

【分析】本题考查角平分线的性质，直角三角形全等的判定和性质：

（1）根据角平分线的性质得到8力=DW,证明RaBDMgRbMQC,根据全等三角形的性质证明;

（2）证明根据全等三角形的性质求解.

【详解】（1）证明：,二"=90"

二.DM1AC,

•••力。是的平分纹，BD±AB,DM±AC,

BD=DM,

在RUBDN和Rt&WQC中,

BD=DM

DN=DC

/.RM8QNgRt~WQC(HL),

ABN=CM.

(2)解：AC=AN+2CM,理由如下:

在Rt"BD和RUAMD中,

BD=DM

'AD=AD'

RM48O丝R〉4WQ(HL),

AB=AM,

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143角的平分线分层练习（解析版）

AAC=AM+CM=AB+CM=AN+BN+CM.

由（1）得BN=CM,

，AC=AN+2CM.

4.如图，已知4C平分CEJ.AB于点、E,b，力。交4）的延长线于点R且8C=。，求

证：BE=DF.

【答案】答案见解析

【分析】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明

△CE8/△CTO是关键.根据角平分线的性质就可以得出CE=C/，再证明△。”且△。万就可以得出

结论.

【详解】证明：：平分/84Z）,CEJ.AB于E,CF上AD于F,

：.，F=NCEB=900,CE=CF,

在RtACE^和RUCFD中，

BC=DC

CE=CF

Rt4CEB^RtACFD（HL）,

BE=DF.

5.如图，在V48C中，ZC=90°,4D平分/BAC,DE上于点、E,点、F在AC上,BD=DF,求证:

DB=ECFD.

【答案】见详解

【分析】本题主要考查角平分线的性质定理、全等三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的性质

定理.、全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得OC=QE,然后根据“HL”可判定

VDCF@DEB,进而问题可求证.

【详解】证明：VZC=90°,AD平分NBAC,DEJ.AB于点E,

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14.3角的平分线分层练习（解析版）

:.DC=DE,

*.•DF=DB,

/.△DCF%DEB(HL),

.\DB=DCFD.

题型三用角平分线的性质定理求面积

1.如图，已知V48C的周长是21,OB,0C分别平分入48c和/4C8,8J.8C于点D,且OD=4,

V48C的面积是.

【分析】木题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的求法，熟练掌握角平分线的性质是解决木

题的关键.

根据角平分线的性质可得。£=。「=。八=4,从而可得到V48C的面积等于周长的一半乘以2,代入求

出即可.

【详解】如下图，连接。4,过。作。£1"于£,"_L/C于

QOB、0C分别平分/48C和N.4C8,

・・・。力是/比1。的平分线，

OELABfOFLAC,OD1BC

/.OE=。卜=UD=4,

•••"BC的周长是21,

:.S,=-xABxOE+-xBCxOD+-xACxOF

tr222

=^(AB+BC+AC)x4

10,

=—x21x4

2

=42,

故答案为：42.

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143角的平分线分层练习(解析版)

2.如图，在V/4C中，ZC=90°,的平分线4）交4C于点。，若BD=5,BD.CD=5:3,44=10,

则AABD的面积是.

【答案】15

【分析】本题考查了角平分线的性质，能根据角平分线性质得出是解此题的关键；

过。作。£工力8于E,由8。=5,BD:CD=5:3,即可求得C。的长，然后由角平分线的性质，求得OE

的长，继而求得答案.

【详解】解：过。作。£上44于E,

:.DE=DC,

•.•80=5,30:8=5:3,

/.CZ)=3,

•・•在中，ZC=90°,/胡C的平分线力。交8C于。，

DE=CD=3,

•/=10,

.•・"BO的面积是：1ji?-£)£=lxl0x3=15.

故答案为：15

3.如图，在V月8c中，AB=2,BC=3,8。是/”。的平分线，如果V/8C的面积为那么△Q8C

的面积为.

o

【答案】—/0.9

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14.3角的平分线分层练习（解析版）

【分析】本题主要考瓷了角平分线的性质，过点。分别作力£AC的垂线，垂足为后F,由角平

分线的性质可得。石=。尸，则可证明沁=/=:,据此求解即可.

'MBDD

过点。分别作力B,〃。的垂线，垂足为E、F,

*/是的平分线,DEA.AH,D卜±BC,

，DE=DF,

c-AB•DE《R2

SMBD1BC-DFBC3

2

.3_9

•,SMBD~3+2SZBC~石，

故答案为；

4.如图，力。是阳”灰?的角平分线，ZC=90°,DC=6,J5=8,则“8。的面积是

【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，掌握其性质及运用是关键.

先作DEJ.48于£,再根据角平分线的性质得到OE=CZ）,最后根据三角形的面积公式即可得到结

论.

【详解】解：过。作于E,

DE=CD=6,

"：45=8,

，△力80的面积;48QE=；x8x6=24.

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14.3角的平分线分层练习(解析版)

故答案为：24.

题型四用角平分线的性质定理求线段长度

1.如图，在v48。中，力。为力助C的平分线，DE上AB于E,DFJ.AC于F,V的面积是28cm2,

AB=20cm,AC=8cm,求DE的长.

【答案】DE=2cm

【分析】本题主要考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质得出OE=O尸，根据三角形面积公

式推出邑诙=S&ABD+S&ACD=^DE(AB+AC)，代入数据求解即可.

【详解】解：・.F。为/胡。的角平分线，DEJ.AB,DF1AC,

/.DE=DF,

♦C-Q*q

••丁”8c一—ABD丁""CO

=-ABDE+-ACDF

22

=-ABDE+-ACDE

22

=^DE（AB+AC）,

*：VABC的面积是28cm2,AB=20cm,AC=8cm,

，28=；£>E（20+8）,

DE-2cm.

2.如图，在VZ8C中，AD平分/BAC,过点、D作DEJ.4E于点、E,作O//4C于点尸.

(2)若48=6,4c=4,S2BC=15,求。£的长.

【答案】(1)见解析

(2)3

【分析】(1)根据角平分线的性质得。七=。尸，然后证明八即可解决问题;

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14.3角的平分线分层练习(解析版)

(2)根据三角形的面积公式即可解决问题.

本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是得到

【详解】(1)证明：•.•就＞平分/次IC,DE1AB,DF1AC,

:.DE=DF,

在Rt4力。E和Rt△力。Z7中，

J4)=AD

[DE=DF'

：.RUADE^RUADF(HL),

/.AE=AF；

(2)解：YS△应=SMM+S、”*=5”COE,DF=DE,48=6,JC=4,S^ABC=15,

:.-x6DE+-x4DE=\5,

22

：.5DE=\5,

/.DE=3.

3.如图，在V48c中，力。是它的角平分线.求证九口£心=皿£.

(1)在图1中完成上面的证明过程；

(2)在图2中，如果"=3,AC=2tBC=4,求CO的长.

【答案】(1)见解析

Q

(2)CD=-

【分析】本题主要考查了角平分线性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握

角平分线的性质.

(1)过。作。后工力人于后，DFJ.AC于-F,根据角平分线性质得出尸，根据凡械,

=即可得出答案；

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143角的平分线分层练习(解析版)

(2)过点力作花，8c于匕根据三角形面积公式得出，谢=：8。4£,SAACD=^CDAE.从而得出

C—BD•AEnr\

S“BD=2=处根据解析(1)得出会=黑代入数据求值即可.

c1ch

"ACD-CDAE34CC/9

2

【详解】(1)证明：过。作。E,48于E,DFJ.AC于F,如图所示:

•/4)平分/84C,

/.DE=DF,

VS/•AAHf{IlJ)=-2ABD1E,A/lCZS>l(.n2=-ACD1Ff

C—4B-DE.n

,S.=2=AB_

S.ACDLAC•DFAC

2

即S：D-S-ACD=4B:4c.

(2)解：如图，过点4作力£_L8C于七,

=-CDAE

2f

f—BD,AEnr\

SjBD=2=处

SJCD-CDAECD

2

.ABBD

•,就—次‘

VAB=3,JC=2,BC=4,

.34-CD

**2-CD

AC£»=|.

4.如图，在ZC=90°,力。平分力C,DEJ./仍于点、E,点F在4c上,BD=DF.

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14.3角的平分线分层练习（解析版）

A

(1)求证：BE=FC；

(2)若48=15,AF=9,求产C的长.

【答案】(1)详见解析

(2)FC=3

【分析】(1)证明RtS-gRt△。尸C(HL)即可;

(2)证明RJ4C。丝Rt"ED(HL),结合BE=FC,列式计算即可.

本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角的平分线的性质，熟练掌握直角三角形的全等判定和

性质是解题的关键.

【详解】(1)证明：VZC=905,AD平分/BAC,DEJ.AB,

，DE=DC

♦：/DCF=/DEB=90。,BD=FD,DC=DE,

...RIAOB石之Rt△。尸C(HL),

・,.BE-FC.

(2)解：VZC=90°,力。平分/A4C,DEIAB,

：.DE=DC,

VZ.ACD=Z.AED=90°,AD=AD,DC=DE,

*4cogRt"EZ)(HL),

AE=AC,

AF+FC=AB-BE,

BE=FC.

：.AF+FC=AB-FCt

VAB=\5fAF=9,

题型五用角平分线的性质定理求点到直线的距离

1.如图，力。是V48C的角平分线，若N8=90。，BD=2f则点。到力。的距离是

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14.3角的平分线分层练习（解析版）

■I

【答案】2

【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出结果.

【详解】解：=

・♦・切的长为点。到"的距离，

V4）是8c的角平分线，

・・・点。到4c的距离等于点D到.48的距离，即为8Q的长，

80=2,

・••点。到力C的距离等于2；

故答案为：2.

2.如图，在V力8。中，以点4为圆心，小于力。长为半径作圆弧，分别交力8,/C于点£、F,再分

别以E、b为圆心，大于的同样长为半径作圆弧，两瓠交于点P,作射线”，交于点

D.ZC=90°,8c=9cm,BD=6cm,那么点。到的距离是cm.

【答案】3

【分析】本题主要考查了角平分线的性质和角平分线的尺规作图，过点。作。”148于〃，由作图

方法可得力。平分/以C,则由角平分线的性质得到再由线段的和差关系求出CQ的长即

可得到答案.

【详解】解：如图所示，过点。作。于，，

由作图方法可得力。平分/胡C,

*/DHLABfZC=90°,

CD=DH,

*.*BC=9cm,BD=6cm,

DH=CD=BC-BD=女m,

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143角的平分线分层练习（解析版）

・••点。到4?的距离是3cm,

故答案为：3.

A

3.如图，在中，ZC=90°,AC=4cm,BC=3cm,AB=5cm,。是与NC以平分线的交点,

则点。到44的距离为

【答案】1cm八厘米

【分析】本题考查了角平分线的性质定理及与三角形高有关的计算，分别过点。作

OELAC,OFlBC,OGlABf连接OC,易得点O在4cB的角平分线上，推出。“=O£=OG,设

OE=OF=OG=x,根据SAASC=SQB+S.OAC+\ocz»，建立方程求解即可.

【详解】解：分别过点O作。£，力。,。尸18。,。6148,连接。。,

•・•点。是NC"与NCBA平分线的交点,

・,•点。在乙4c6的角平分线上，

:.OF=OE=OG、

iSiOE=OF=OG=x,

»SjBC=SCAB+S&0AC+S&0CB,

在“BC中，ZC=9()。,/C=4cm,BC=3cm,AB=5cm,

A-x3x4=-x5(9G+-x4O£+-x3(?F,

2222

6x=6,

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143角的平分线分层练习（解析版）

/.x=1,

・••点。到力8的距离等于1cm.

故答案为：1cm.

4.如图，在中，ZC=90°,平分/历1C交3C于点。，若CD=9,则点力到斜边相的距离

【答案】9

【分析】本题考查了角平分线的性质.过点。作。于点E,根据角的平分线上的点到角的两

边的距离相等得出。£=。=9,即可求解.

【详解】解：过点。作OE工48于点E,如图：

「力力平分N8彳C,ZC=90°,DE1AB,

：,DE=CD=9,

即点D到斜边力8的距离为9.

故答案为：9.

题型六角平分线的判定定理

1.如图，4="=90。，〃是8c的中点，OM平分入4QC,求证：4M平分ND/1B.

【答案】见解析

【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，作加上14。于E,由角平分线性质定理可得=

结合题意推出EM=8M,再由角平分线的判定定理判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运

用是解此题的关键.

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143角的平分线分层练习(解析版)

二・D”平分N/1QC,ME1AD,ZC=90°,

:・ME=CM,

••,必是8c的中点，

CM=BM,

/.EM=BM,

ME±AD,D^=90°,

.・.点M在ND.4B的角平分线上，

4M平分.

2.如图，在VX8C中，。是8c的中点，于E,DFJ.4C于点F,RBE=CF.求证：力。平

分/胡C.

【答案】见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定

和性质是解题的关键.根据题意可证Rf8瓦猿RfWQ(HL),得到。£人即可得到结论.

【详解】证明：•・・。是8c的中点，

/.BD=CD,

VDELAB,DF1AC,

NBED=NCFD=90°,

\BD=CD

在R35EO和RSC尸。中口,

BE=CF

丝RIACQ(HL),

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143角的平分线分层练习(解析版)

:.DE=DF,

：.40平分.

3.如图，BE=FD,CEJ.AB于点、E,，力产交力产的延长线于点。，且4。=尸。，求证：4c是NBAF

的平分线.

【答案】见解析.

【分析】本题考查全等三角形的判定叮性质，解决本题的关键是得到RLBCEgRfFCD.

证明Rl/CEgRUCZ)得CE=C。，可得点C在NBA厂的平分线上，进而可以解决问题.

【详解】证明：-CELAB,CDLAF,

/CEB=ND=90。,

在Rt^BCE和RtAFCD中,

BC=FC

'BE=FD'

Rt/CE丝RIAP)(HL),

/.CE=CD,

:CELAB,CDLAF,

.•.点。在々力厂的平分线上，

・・・4C是/胡尸的平分线.

4.在三角形/8C中，。为8C的中点，DE1AB,DF1AC,垂足分别是E,F,ZB=ZC.求证:

点。在N4的平分线上.

【答案】见解析

【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的判定，掌握角平分线的判定定理是解题关

键.由题意得出8Q=CQ,NBED=NCFD=90°,即易证△/花。/△BO(AAS),得出EQ=Q,说明点

。在//的平分线上.

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14.3角的平分线分层练习（解析版）

【详解】解：・・•。为8。的中点，

BD=CD.

DE1AB,DFJ.AC,

：.ZBED=Z.CFD=90°.

又Z5=ZC,

・•・△BE。g△CTO（AAS）,

.・・ED=FD,

・••点D在/力的平分线上.

题型七角平分线性质的实际应用

1.如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路和铁路的距离相等，并且离交叉处500m,这个集

贸市场应建于何处？（在图上标出它的位置，比例尺1:20000）

【答案】见解析

【分析】本题考查了角平分线的性质及比例尺的相关计算，解题的关键熟知角平分线的性质与图上

距离的计算方法.

根据角平分线上的任意一点到两边的距离相等作角的平分线，然后再根据比例尺算出集贸市场到交

叉处的图上距离，这样就确定了集贸市场的位置.

【详解】解：如图，设交叉处为点O,S区在/力08内部.作/力。8的平分线OP.

图中要求比例尺为1:20000,实地距离500m=50000cm,

图离=50000cm4-（1：20000）=2.5cm

于是在OP上截取线段0M=2.5cm,

点历即为所求.

2.三条公路两两相交于4B,C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选

择的地方有几处？请在图中画来，保留作图痕迹，不写画法.

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14.3角的平分线分层练习（解析版）

【答案】4处，图见解析

【分析】本撅考杳作图-应用与设计作图，角平分线的性质等知识，利用角平分线的性质作出图形

即可.

【详解】解：如图，满足条件的点有4个，图中心匕％A即为所求.

3.如图，要在s区建一个电子商品批发市场，使它到公路铁路〃的距离相等，并且离公路与铁

路的交叉处500m,这个电子商品批发市场应建于何处（请在图上标出它的位置，保留作图痕迹，

比例尺为1:20000）.

【答案】见解析

【分析】本题考查了成比例线段的性质，作角平分线；作角平分线鳍，在射线枕上截取初，使

得外=2.5cm,点尸即为所求.

【详解】解：依题意，嬴=嬴

x=2.5

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14.3角的平分线分层练习（解析版）

在射线8P上截取8P,使得BP=2.5cm,如图点尸为所求，

求作：加油站O,使得。到三条公路的距离相等.（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

【答案】作图见解析

【分析】根据角平分线的性质及作法，即可作得.

【详解】解：作法如下：

1.尺规作出N4、/EBC、N8W中任意两个角的角平分线，交点即为《点；

2.尺规作出N4/ABC、N/C3中任意两个角的角平分线，交点即为。2点.

证明：•••点q是//与平分线的交点,

•・•点a到公路ZE、AF、3C的距离相等；

丁点。2是N4与N4平分线的交点，

二点Q到公路力石、AF.15c的距离相等；

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143角的平分线分层练习(解析版)

・••点《、点。2即为所求作的点

【点睛】本题考查了尺规作图一角平分线，角平分线的性质，熟练掌握和运用角平分线的作法及性

质是解决本题的关键.

能力提升练

1.如图，在V4O8和△COO中，OA=OBtOC=OD,若/AOB=NCOD=60。，连接力C、BD交于点、P；

(1)求证："OC知BOD.

(2)求44PB的度数.

(3)连接8,求证：OP平分入1PD.

(4)如图2,VMC是等腰直角三角形，4c8=90。，AC=BC,"=14cm,点。是射线力8上的一

点，连接在直线48上方作以点。为直角顶点的等腰直角三角形ACQE,连接跖，若BD=4cm,

请直接写出的的值.

【答案】(1)见解析

(2)60。

(3)见解析

(4)8E=10cm或18cm或2月cm

【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等边三角形判定及性质，角平分线判定定理.

(1)利用SAS即可证明出；

(2)先得到V4O8是等边三角形，利用全等性质可得/01C=NO8Q,后利用

/APB=18()。-/PAB-/PBA即可计算出；

(3)过点。作。石，力(：于点上，OFA.BD于点卜,利用全等性质可得

再证明出AOEC%。厂Q(AAS),继而得到OE=OF；

(4)分三种情况讨论：当O在线段相上，点£在。。的右侧或左侧时，证明仍(SAS),继

而得到力。=的,当。在他的延长线上时，证明△CW部△CBE(SAS),继而得到力。=4E,后即可得

到本题答案.

【详解】(1)解：证明：."OB=NCOD=60。，

NAOC=NBOD,

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