华东师大版九年级上册数学 解直角三角形（义）教案

25.3解直角三角形

解直角三角形是初中数学的一个重要内容，它在实际生活中应用非常

广泛，是中考的重点和热点，也是今后学习三角函数的基础.

解直角三角形及应用与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密

切的联系，它是在研究几何图形性质的基础上，根据已知条件，通过计算

求未知的边长、角度和面积等的过程.要学好解直角三角形及应用，必须

理解直角三角形中边、角之间的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两

个锐角互余及锐角三角函数来解直角三角形，并会应用解直角三角形的有

关知识来解决某些简单的实际问题.现把直角三角形的解法及应用简析如

下：

1、明确解直角三角形的依据和思路

在RtaABC中，ZC=90°,设三个内隹A、B、C所对的边分别为a、

b、c,则解直角三角形的主要依据是：

(1)边角之间的关系：

sinA=cosB=—,cosA=sinB=-,tanA=cotB=—,cotA=tanB

ccb

=b_

a

(2)两锐角之间的关系：A+B=90°.

(3)三条边之间的关系:"+/=条

(4)三角形面积：

3c乙

(5)同角三角函数的关系：平方关系：S/R+CO/NG；

商数关系：tanA="二，cotA=C，；倒数关系：tanAcotA=l

cosAsinA

以上每个边角关系式都可看作方程，解直角三角形及应用的思路，就

是根据已知条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元

方程来求解.

2、解直角三角形的基本类型和方法

在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那

么已知了什么样的条件的直角三角形才可解呢？

解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系.除直角以

外，已知两个元素（至少有一个是边）则可作出此直角三角形，即此直角

三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的.由于已知两个锐角的

直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出

各边的长.所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，必须

至少有一个是边.由此可得，解直角三角形就分为两大类，•类为：已知

一条边及一个锐角，二类为：已知两条边.基本类型和解法归纳如下：

已知条件解法

直角边a及锐角AB=90°—A,b=a*cotA,c=—^—

sinA

一边及

B=90°—A,a=c•sinA,b=

一锐角

斜边c及锐角A

c•cosA

两边两条直角边a和bc=』a?+b?,B=90。—A,

b=ylc2-a2

直角边a和斜边csinA=—,B=90°—A,b=ylc2-a2

c

例1、如图，若图中所有的三角形都是直角三角形，且NA=a,AE

=1,求AB的长.

［分析一］:所求AB是RtZ^ABC的斜边，但在RtZ^ABC中只知一个锐

角A=a,暂不可解.而在RtAADE中，已知一直角边及一锐角是可解的，

所以就从解RtZ^ADE入手.

［解法一］:在RtZSADE中，VosA=—,且NA=a,AE=1,

CAD

cosCOS7

1

在RMADC中，・—丝五二一V，

ACcosjcos北cos4

在IMABC中，公生』8=士=忠=・

ABcosAcosacos次

［分析二］:观察图形可知，CD、CE分别是RtaABC和RtaACD斜边

上的高，具备应用射影定理的条件，可以利用射影定理求解.

［解法二］:同解法一得，..丛刀=’，

cos改

2

在RtAACD中，-AD=AE'ACf：.AC=—=—^,

AEcos次

2

在RtAABC中,-AC=AD'ABf：.AB=—=—^—,

ADcos?

点评：本题是由几个直角三角形组合而成的图形.这样的问题，总是

先解出已经具备条件的直角三角形，从而逐步创造条件，使得要求解的直

角三角形最终可解.另外，射影定理揭示了直角三角形中有关线段的数量

关系，在解直角三角形时经常要用到.

例2、如图，在RtZXABC中，ZC=90°,AD是BC边上的中线.若

BD=72,ZB=30°,求AD的长；

［分析］:由AD是BC边的中线，只知DC一条边长，仅此无法直接在

RtAADC中求解AD.而在RtAABC中，由已知BC边和NB可以先求日AC,

从而使RtAADC可解.

［解析］:在RtZSABC中，・・・BC=2BD=2疵，ZB=30°,

AAC=BC・tanB=2点x#=半，

在RtZ^ADC中，・.・DC=BD=^,

・・・AD=+0c=J呼y+G也尸=半.

点评：在解直角三角形的问题中，经常会遇到如上的图形，它是含

有两个直角三角形的图形.这样的问题常常是利用其中一个直角三角形来

解另一个直角三角形.

例3、如图，在RtZ^ABC中，ZC=90°,D为BC上一点，ZABC

=45°,ZADC=60°,BD=1,求AB.

分析：已知的角度告诉我们，RtAABC和RtZ^ADC都是特殊的直角三

角形，抓往这个特点设未知数，根据线段间的数量关系，可以列出一元一

次方程求解.

解：在RtZXADC中，设DC=x,VZADC=60°,，AD=2x,AC=

x,

在RtZ\ABC中，VZABC=45°,BD=1,Al+x=73x,

Ax=2^11,・・・AB=7^AC=点x=3、=+♦.

22

点评：解直角三角形时，要注意三角形中主要线段的性质，要注意发

掘图形的几何性质，建立已知与未知的联系，利用线段的和差的等量关系

布列方程.

例4、RSABC中，NC=90。，已知a=10,"吃书,解这

个直角三角形.

［分析］:因RtZSABC的面积为［«小，故用已知条件可求出b的值，

这样一来，RtAABC就已知两直角边了，再由直角三角形中的锐角三角函

数定义，便可求出锐角和斜边.

［解析］:•••NC=90。，U、后，，

.a［T

10r~tunA=—=10j=-=V3

Va=10,・・・b=1&,JbioV3，AZA=60°，

3-----

3

VZA+ZB=90°,・,・NB=90°-60°=30°,

VZC=90°,ZB=30°,Ac=2b,:・c=专卮

Ab=yV3,c=y^,NA=60°,NB=30°.

点评：在直角三角形中，锐角三角函数定义是连接三角形中边角关系

的纽带，因此要熟练池掌握定义，进而灵活运用，要注意：直角三角形中

若已知一边长和一个特殊锐角（30°、45°、60°）,则可利用三角函数

定义求出其它两边的长，利用这一方法有时比利用勾股定理要简单得多.

例5、已知：如图，在aABC中，BC=行+1,ZB=30°,ZC=45°,

求4ABC的面积.

［分析］:构造Rt/XABD,利用特殊角的三角函数值，求出BC边上的高

AD艮可.

［解析］:过A作AD_LBC,垂足为D,设AD=x,则DC=x,BD=73x,

VBC=BD+DC=73+1,

.，・x=1,S9c=；x1x（指+1）=.1

点评：本题体现了基本图形基本性质的综合应用.同时要注意，作垂

线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法.

3、解直角三角形在实际问题中的应用

借助解直角三角形来解决实际问题的关键是要从实际问题中抽象出

几何图形，把实际问题中的数量关系转化为直角三角形的边角之间的关系,

从而通过解直角三角形使实际问题得到解决.

例1、如图所示，河对岸有一座铁塔AB,若在河这边C、D处分别用

测角仪器测得塔顶B的仰角为30°和60°.已知测角仪器高为L5米，

CD=20米，求铁塔的高.（精确到0.1米）.

FG

［解析］:设BG=x,在RtABGF中,

,/cot.ZRFG=旃,

AFG=BG•cotZBFG=x•cot60°=2,

3

在RtABGE中，EG=BG•cotZBEG=招x.

VEG-FG=EF,且EF=CD=20,二4一争=20,解得x=10万,

AAB=BG+AG=1073+1.5^18.8（米）

答：铁塔的高约为18.8米.

点评：把应用性问题问题，设法化归为解直角三角形问题，必要时应

添加辅助线，构造出直角三角形.

例2、如图，在等腰三角形ABC中，底边BC为5,Q是底角且tana

=—,求AC.

［解析］:作ADLBC于D,在Rt4ADB中，Vtana=,,•设AD=2k,

BD=5k,

贝IJAB=^AD2+BD2=回k、

又・・・BC=5,・・.BD=|,・・・5k=|,得k=\

乙乙乙

・・・AC=AB=®=畔.

点评：作等腰三角形ABC底边上的高AD,则构造出直角三角形.

例3、一艘船以32.2海里/小时的速度向正北航行，在A处看见了

灯塔S在船的北偏东

20°,半小时后，航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65°,求灯

塔S和R处的距离.（精确到0.1海里）

［解析］:依题意作简图，

如图，作BEJLAD于E.VAB=32.2X1=16.1（海里），

BE

A在RtZ\AEB中，sin20°=—,ABE