圆锥曲线的方程（二）讲义-2025届高三数学专项复习（含答案）

2025高考一圆锥曲线的方程（一轮复习）课时二

知识点一根据椭圆过的点求标准方程，椭圆中的直线过定点问题

典例1、已知椭圆T：±+==1（。>6>0）经过以下四个不同点中的某三个点：4。1），伏-：淖），C（T，】），

ab~22

―等）.

（1）求椭圆T的方程；

（2）将椭圆T上所有点的纵坐标缩短为原来的冬倍，横坐标不变，得到椭圆E.已知M,N两点的

坐标分别为（01），（°，一1），点F是直线》=2上的一个动点，且直线FM,EV分别交椭圆E于G,

H（G,H分别异于M,N点）两点，试判断直线G”是否恒过定点？若过定点，求出定点坐标；

若不过定点，请说明理由.

随堂练习：已知椭圆C：5+京印（a>b>0）的左、右顶点分别为A,B,。为坐标原点，直线/：

x=1与C的两个交点和0,8构成一个面积为«的菱形.

（1）求C的方程；

（2）圆E过。，葭交/于点河，N,直线4W,4N分别交。于另一点P,Q.

①求号乜的值；②证明：直线PQ过定点.

典例2、已知椭圆介£=1(〃>6>0)过点［芍，椭圆的左、右顶点分别为4,4,点P坐标为(4,0),

I叼，卜同|尸4|成等差数列.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若对斜率存在的任意直线1与椭圆恒有M,N两个交点，旦尸面,启=12.证明：直线1过定点.

随堂练习：已知椭圆C：。今=1(。%>。)过点彳-用，且点A到椭圆C的右顶点的距离为字.

(1)求椭圆。的方程;

(2)已知。为坐标原点，直线八^=履+〃?(4>09〈0)与。交于肘1,N两点，记线段MN的中点为P,

连接OP并延长交。于点Q,直线x=6交射线OP于点R,且pP||OR|=p0f,求证；直线，过定点.

典例3、如图，已知椭圆G：经过点卜喈)，离心率为当.点，”(0叫，以CM为

直径作圆G,过点M作相互垂直的两条直线，分别交椭圆G与圆G于点A,B和点N.

(1)求椭圆G的标准方程；(2)当△N/8的面积最大时，求直线的方程.

2

随堂练习：已知椭圆C的左、右焦点分别为件5,离心率为了，过点鸟且与X轴垂直的直线与椭圆C

在第一象限交于点P,且△片/^的面积为学.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点43,0)的直线与y轴正半轴交于点S,与曲线C交于点E,E4'x轴，过点S的另一直线与

曲线C交于M,N两点，若S.=3Sw,求"N所在的直线方程.

知识点二求双曲线中三角形（四边形）的面积问题,根据韦达定理求参数

典例4、已知双曲线。：-*=1（。>0/>0）的焦距为2折且过点直线/与曲线。右支相

切（切点不为右顶点），且/分别交双曲线。的两条渐近线与M、N两点，。为坐标原点.

（1）求双曲线c的方程；（2）求证：△/ON面积为定值，并求出该定值.

典例5、已知双曲线C：，今=1（。＞0力＞0）的右焦点/与抛物线j/=8x的焦点重合，一条渐近线的

倾斜角为30°.

（1）求双曲线C的方程；（2）经过点尸的直线与双曲线的右支交与儿8两点，与■＞'轴交与尸点，点尸

关于原点的对称点为点0,求证：誓.

随堂练习：已知椭圆一：，。1（。＞“0）与双曲线。2：-—曲=1的离心率互为倒数,G的左、右焦点

分

别为6，外,且打到的一条渐近线的距离为1.

（1）求C的标准方程；（2）若M是£与02在第一象限的交点，叫与G的另一个交点为P,与的

s

另一个交点为。，△「赠与力混的面积分别为尢邑，求才.

典例6、已知圆A：U+2)2+/=9,圆8：(X-2)2+/=1,圆。与圆A、圆〃外切，

(1)求圆心。的轨迹方程E(2)若过点8且斜率左的直线与£交与%N两点，线段MN的垂直平分

MN

线交x轴与点P,证明PB的值是定值.

随堂练习：已知点题一2,。)，阳2,0),动点P满足直线我的斜率与直线8P的斜率乘积为e2T.当e="

时，点。的轨迹为G；当用，时点尸的轨迹为J

(1)求G,G的方程；

(2)是否存在过G右焦点的直线/,满足直线/与G交于C,。两点，直线/与G交于M,N两点，且

\NfN\=^\CD\?若存在，求所有满足条件的直线/的斜率之积；若不存在，请说明理由，

2025高考一圆锥曲线的方程(一轮复习)课时二答案

三+匕=12n

典例1、答案：⑴4±；(2)直线G"恒过定点|0引.

3

解：⑴由题意可得A,C一定在椭圆上，即g+》=i①，若B在椭圆上，则J+需=1②，

1?9

由①②可得7+,=1，不存在，所以D在椭圆上，可得彳户+记后二L③，

4二十J1

山①③可得/=4,”=针所以椭圆的方程为：Ty；

3

(2)将椭圆T上所有点的纵坐标缩短为原来的李倍，横坐标不变，

设E上的点为：(x，y),对应的点(x',p),由题意可得»=半尸，所以x'=x,y、q

2213

所以E的方程?+千=1，设外〃7,2),G(X"J,〃卜/2),右听=£，%=£

13

所以直线/“的方程为：y=£》+i，直线2的方程八方1,

y=-x+1

联立直线/“与椭圆的方程LW整理可得(4+〃?2)/+8〃?X=0,

—+/=1

14'

-8777m2-4

所以再==r即61不二产不二"

4+m2必~4A-+--nr»

3.

y=­x-1

m

联立直线NF与椭圆的方程:，整理可得（36+川2口2-24〃次=0,

£+/=i-

14.

22>

24w36-mutlu（24/n36-m

所以j二>2-36+〃?2*136+〃尸36+//y

36+加

w2-436-w2

,4+〃F-36十〃J2（mA-144）一12

所以直线G”的斜率为：k.=_所24用一二:32加#+121—~"，

4+in236+ni2

"—4〃广—12,8用

所以直线GH的方程为：y一下了二一7益「9+

4+ni2

?=所以直线G”恒过定点(0,；),

整理可得八-+当x=0,

low2

x2V2

随堂练习：答案：⑴丁+卜1(2)①②证明见解析

解：(1)因为直线八工=1与C的两个交点和。，8构成的四边形是菱形,

所以，垂直平分口,所以3(2,0),”2.

设。(1/。)为直线，与C的一个交点，则菱形的面积为$2x|2闱=2四.

因为菱形的面积为6，所以2|%|=圆，解得为=±9，即。(1，士*

2、乙)

将点“L士代入>■+点■=1，得"+击=1，又因为/=4,所以尸=2・

故C的方程为手+于=1.

(2)①由题意，得。8为圆E的一条弦，且直线x=l垂直平分该弦，

故直线x=l经过圆心£,所以MN为圆E的直径，因比乙WON=90。，即西•两=0.

设N0,凹J,则为

注意到Kw二中,人外二半,则kAM'kAN==一5.

JJ77'"J

k

又因为AM=G,kAN=左也,所以kAN-kAQ=-i.

②易知直线0°不可能平行于x轴，则设直线00的方程为、=殴+£(，工-2),。(不必)，。(&，%).

x=my+1,

.y2得(评+2了+2,叩+/-4=0△=4〃/「一4(〃/+2)(/―4)=8(2〃/+4—户>0(*)

T+T=1,'

2

2mt；-4,V).y2必y,1

凹+%=一;7K,叩"；777•①因为""二工77，K°=£t7,所以工77不=一『

________)^2________=」____________必月_J

即(〃明+/+2)(my2+1+2)9，即为+〃?(，+2)(乂+8)+«+2)29•

t2-41

将①代入上式得〃/（产一4）-2〃自（I+2）+«+2）（/+2）=一§，

t—21]4

化简得而可二-5,解得仁TT，满足(*)，

所以直线叱的方程为x=〃少+3，故直线叱小。

典例2、答案：⑴y+X=1(2)证明见解析

解：(1)由题意知：1P4|=。+4,卜闯=2〃，网=4-。修小4|杷4|成等差数列.可得：4…+4+4-。

解得：〃=2a1=b2+c2,解得：/）=l,c="故椭圆标准方程为：亍+/=1

（2）设直线方程为y=kx+加，〃的，乂）川（巧,力）

—+41〉？=4

联立y=kx+~，化简得：(4/+尸+8痴x+4〃/-4=0

-Skin4W2-4

可得：△=16(4公一〃?2+1)>0，*+”/77，x'%2=4FTT

则有：

PM.丽=(x1-4)(x2-4)+v,^2=(1+/)X].%24)(玉+x2)+16+m~

(-.*>\4〃7~-4—8km60公+5〃/+32碗+12

=1+左~)---;---+(km-4)—：---+16+m=12

<14公+]‘4K+14左？+1

22

可得：5"/+324777+12/=0解得：机=-1攵或加=-6k故直线方程为：y=kx--ky=kx-6k

所以直线恒过点或（6。）

又因为直线1与椭圆恒有两个交点，故易知定点必在椭圆内，故直线1恒过点r°

随堂练习：答案：⑴9+/=1

（2）证明见解析

解：⑴由题意得，（-i-«）2+^-o=39

解得。=2或八Y（舍去），则椭圆。的方程为7x+泊v1

代入c：千+£=1得，＞白=1,解得"，则椭圆c的方程为[+V=]

将

⑵设”(和乂),丘小，必)，八y=kx+m(k>O,m<O)f

t2+4V*=4

y~m(\+4k2\x2+Sknix+4m2-4=0

联立y=kx+m')

,,,-8km74kmni

由△>()得1+4K>",「•%+%=—产，.•.尸I

I+4公’1+4k1>

由斜率公式可知G＞=一2，二/。：歹二一'工，:•R

x2+4v2=4,,,

,口16左2216公

联立1，得X2=]g,即X。="——T.

j^=--X1+4K'、l+4/c

..^=\OP[\OR\,.•.《=Xp.4,

••・黑I「•〃」*此时满足

2

则直线/为：y=kx--k＞则直线/过定点r°

典例3、答案：(1)⑵y=士务X+2

解:(1)将点,同代入,+方=1得,又一与c2=/-b：得/=4〃，

2

所以1=4,〃=1,即.+》2=1

(2)因为"(0,2),设直线48的方程为y=b+2(AH0),设"(和必),3—2，%),

联立得(1+4产产?+16"+12=0,且△>(),则芯巧二匚*

则|力却=12/^、45―3且直线MV的方程为y=—；x+2,即x+划一2k=0,

।।1+4K'4k

则圆心(0,1)到直线MN的距离为d=］口不...眇卜23一/=2J_$=,

14，"2—34——-3,

...△松6面积5=2力外悭"|=号「=(止_3)+4〈布丁1

当且仅当4A2-3=4时，取到等号，此时k=±五，所以直线48的方程为y=±"x+2.

22

随堂练习：答案：(1)v+T=,(2)y=W》+i或k-，X+L

2

解：(1)由题意知e=/="c-y=y.又/=/+c?，:从=5，c=2,

.♦.椭圆标准方程为1+1=1.

(5、V。-3

(2)•.•31%轴，.・.弋2句,设S(OJo),则三可.-0=1,即S@l),

02SA3S“〃了叫将卜in/MSX3sM.

..—=—=—.…•=1==3

.。T•SE2，••So：§v|F4sinNESN2SN，

...KM=2卜吐即甄=-257V,

设”(和凹),“与也,则甄=(知凹-1),的=~2，为一1),二寸-2一

SM#+1c

①当直线MN的斜率不存在时，MN的方程为x=0,此时SN=斤7工不符合条件•

②当直线MN的斜率存在时，设直线的方程为J=履+1,

y=心+1

联立二+E=i得(5+"2产+18区-36=0.

-184

X1+X2=

—1弘

“即

-36（18k即1弘2=5+9公，解得％=±省

V2=—得15+9公

2185+9K3

X；=------

25+9k27

$=-2X2

典例4、答案：⑴y-/=H(2)证明见解析,△MQN面积为2.

解：⑴设双曲线C的焦距为2c(c>0),

2c=2/

片=4

c2=a2+b2=则双曲线。的方程为?-/=1；

由题意可得:/=I，

广8一庐1」.

(2)由于直线/与双曲线C右支相切(切点不为右顶点)，则直线/的斜率存在，

y=kx+m

2

设直线/的方程为尸h+'"，则x2消y彳导(4-一1产2+8痴?x+4〃/+4=0,

,T-V=1

22

△=64k一4（4〃2-l）（4w+4）=0=4左2=/?7+1,①

设/与x轴交于一点。，I叫=《，

X

、2OMN~AMOD+建NOD=彳。",W-|=2k一XN

双曲线两条渐近线方程为：

I

y=—x,«y="-x、,

联立2=A/,联立2=N

y=kx+my=kx-\-m

c-mi,।2m2m=-mi,।4/7z1m।4〃？〜

则S."3r叶—2/I+2〃-N1-4F=5、忖M=2（定值）.

典例5、答案：(1)y-r=H(2)证明见解析•

22

解：（1）山题意得。=2,2=tan3（T=g,c=^+6

“J

解得々2=3,从=1所以双曲浅。的方程为：y-/=l

（2）山题意知直线的斜率存在，设直线方程为：y=^x-2）f得P（0「2«）,。（0,2女），

2

X2_।

设4（冲%），8（2%）,联立下y,整理可得（3公_1产2_]2入+[2炉+3=0

XX=XX

1+2,l,2=-TH-T所以SQ8=W10P8-%/M|=20。*一I=2卜X|-.q|

48公(〃2+1)

所以5小=4日的+叼2-4中1=4-（忌）

(3J『

12k21^k2+3

直线与双曲线右支有两个交点，所以西+々=：^>（）,占入=^^>°

JA—1JA—1

16

X

T

所以SQAB>

丫2V25

随堂练习：答案：⑴彳+亍=1⑵7

解：（1）双曲线G的离心率为：6=女工=正故椭圆G的离心率为：。=；=半

262乙

双曲线G的一条渐近线方程为：y=x

设4的坐标为：（-c，0），c>0,则JL=1,解得c=4

又,解得"2,b2=a2-c2=2故椭圆G的标准方程为：£+4=】

a242

—+22=1卜="厂

⑵联立方程组：42/>0,）〉0解得：；,即M点坐标为：（61）

直线m的斜率为：号则直线加耳的方程为：y=*（x+应）

卜=立。+⑨[x=y/2"=一半

联立方程组：二J解得：或

x2-y2=\l）'=lv=-

即。点坐标为（一半，；），。点到£入的距离为:

y=gx+M）fX=V2'=-孚

联立方程组：.♦解得：v_.或J

—+21=11尸1八）

1425

，7、6I、1SI的鸟冈之।5S,5

即0点坐标为卜：一，0点到月工的距离为।一力则/J〜17,即手=7

典例6、答案：（1）Y-y=l>xw（l,+8）（2）证明见解析

解:⑴因为圆C与圆A、圆B外切,设C点坐标（X，",圆C半径为"

则匕/|=r+3,|。?|=厂+1,所以匕小|。?|=2<4,所以点C的轨迹是双曲线的一支，

222

又2c=4,c=2,2a=2,a=\,b=c-a=3t所以其轨迹方程为:-g=l,.«（l,+8）；

(2)设直线为y=%(x-2),"(与必)，N(X2,y2)t

-4k2

y=k（x-2）

玉+/=77r

联立2立।,消去y得：-孑产+4人-必2-3=0,所以

-(4k2+3)'

3卬”FL

设MN中点坐标为G,则°（总拦J,

所以卜g7卜「与卜日再/（演+工2『一4中26+6公

3k2

6k\（2k2、