高考数学总复习《直线与圆》题型归纳与训练

目录

【题型归纳】

题型一倾斜角与斜率---------------------------------------------------3

题型二直线方程--------------------------------------------------------3

题型三直线位置关系的判断-----------------------------------------------4

题型四对称与直线恒过定点问题------------------------------------------4

题型五圆的方程--------------------------------------------------------5

题型六直线、圆的综合问题---------------------------------------------6

【巩固训练】

题型一倾斜角与斜率---------------------------------------------------7

题型二直线方程--------------------------------------------------------8

题型三直线位置关系的判断-----------------------------------------------9

题型四对称与直线恒过定点问题----------------------------------------10

题型五圆的方程-------------------------------------------------------11

题型六直线、圆的综合问题--------------------------------------------12

2

高考数学《直线与圆》题型归纳与训练

【题型归纳】

题型一倾斜角与斜率

例1直线/的方程为6r+3y—1=0,则直线/的倾斜角为（）

A.150°B.120°C.60。D.30°

【答案】A

【解析】由直线/的方程为瓜+3y-l=（）,可得直线的斜率为2=-?，设直线的倾斜角为aw］。，兀），则

3

tana=--,/.a=150°.

3

故选：4.

【易错点】基础求解问题注意不要算错

【思维点拨】直线方程的基础问题（倾斜角，斜率与方程，注意倾斜角为a为工，即斜率攵不存在的情况）应对相

2

关知识点充分理解，熟悉熟练

例2已知三点4（凡0）、3（3,7）、C（-2,-9。）在一条直线上，求实数a的值.

2

【答案】〃=2或。==

9

【解析】您8=——，必=

35

*.*AxB、。三点在一条直线上，，您3=心一即一^一=7+9",解得。=2或。=2.

3-6759

题型二直线方程

例1经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（）.

A.x4-y=2B.x4-y=lC.R=1或y=lD.x+y=2或x=y

【答案】D

【解析】若直线过原点，则直线为），='符合题意，若直线不过原点设直线为二+上=1,

mm

代入点（1,1）解得加=2,直线方程整理得工+），-2=0,故选D.

3

【易错点】截距问题用截距式比较简单，但截距式二十三=1中要求〃7,〃均非零。故做题时应考虑此悄形

mn

【思维点拨】求解基本直线方程问题通常比较简单，考虑时注意每种形式的适用范围即可。不要漏解。

题型三直线位置关系的判断

例1直线点3斯+（2—攵）丁一3二0和4：（左一2）工+（攵+2）），-2=0互相垂直，则实数k的值是（）

A.一2或一1B.2或一1C.一2或1D.2或1

【答案】I）

【解析】根据直线垂直的充要条件得到：3攵*亿—2）+（2—A）*（A+2）=0

化简为/一3女+2=0=%=1或2故选择D

【易错点】本题若采用斜率之积为T求解，则容易错误。首先求斜率变形时分母不为0,分母为零，实际上上是一

条竖线（k不存在）；其次垂直时应为：M2=-l（斜率均存在）或如心中一为。，一不存在

若用：QX+/?y+C=（），，2：〃Z+〃>'+f=0垂直的充要条件：。"?+'2=0，则避免上述问题

【思维点拨】直线位置关系问题（平行与垂直）应熟练掌握其判断方法。一般而言，除一般式其他形式可能漏解

（忽略了攵不存在的情况）。在做题时应该考虑全面，避免少解

题型四对称与直线恒过定点问题

例1点（2,4）关于直线2x+），—3=0的对称点的坐标为

【答案】（一2,2）

%+2先+4

【解析】设对称点电标为（%,%）,则对称点与已知点连线的中点为

2'2

为-4」

%）-22,解得广二一2

由题意可得｛

（及+2）।%+4）'o=2

3=0

所以对称点坐标为（-2,2）.

【易错点】此题求点可以设点，利用对称（实则用中垂线），建立方程组求解：亦可先求过该点与已知线垂直的直

线方程，联立求交点，反推对称点（中点坐标公式）即可

【思维点拨】对称问题像点关于点对称点关于直线对称，直线关于直线对称，其本质都是点点对称。当点运动则轨

迹（曲线）得到而点点对称根据中点坐标公式转化，有时候利用中垂线特性（垂直，平分）进行求解

4

例2直线y=AA-3A十2(A上A)必过定点().

A.(3,2)B.(-3,2)C.(-3,-2)D.(3,-2)

【答案】A

【解析】y=A(x-3)+2,当x=3时，y=2,

直线过(3,2)定点，故选A.

【易错点】对直线方程的常见表达式应熟悉熟练，并能进行恰当变形

【思维点拨】直线过定点关键是把所有参数提出来，保证参数后面为零。即可求得

题型五圆的方程

例1若圆心在x轴上、半径为石的圆。位于)，轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆。的方程是

A.(X-火)2+),2=5B.(X+百)2+>2=5

C.(x-5)2+y2=5D.(x+5)2+y2=5

【答案】D

【解析】设圆心0(。,0)(。<0),则"=-r==，即I。1=5,解得a=-5,所以圆。的方程为(x+5)2+y2=5.

Vl2+22

例2圆心在直线x-2y=0上的圆。与)，轴的正半轴相切，圆C截k轴所得弦的长为2出，则圆C的标准方程

为.

【答案】“一2)2+()，-1)2=4

【解析】设圆心为(功功)，则圆的半径为助，圆心到x轴的距离为b,所以2J4/J-从=2瓜b>(),解得8=1,

所以圆。的标准方程为

(A-2)2+(J-1)2=4.

例3已知圆经过点4(2,-1),圆心在直线2x+)，=0上且与直线点x—y—l=0相切，求圆的方程.

【答案】见解析

【解析】设圆的方程为(x-。丫+(),_8丫=/(r>()).

，・,圆心在直线y=-2x上，，Z?=—2a,即圆心为(。,一2。).

又圆与直线x—y—1=0相切，且过点(2,-1),

5

・•・；=r,（2-〃7+（-1+2〃）'=/,即二2（2—〃）'+2（—1+2〃丫，

解得。=1或。=9.

；.a=l,b=—2rr=2或。=9,Z?=—18,r=338,

故所求圆的方程为：（x—iy+（），+2）2=2,或（x—9y+（y+18）2=338.

此题也可设出圆心所在更线方程4：x+y+t=O,联立人与A求圆心P，利用P到A的距离与到人距离相等求解/。

则方程可求

【易错点】圆方程求解需要对圆的方程形式（标准式与一般式，其适用范围，两者转化）充分熟悉。在解题时采用

合适的方法（或代数法，或几何法）进行相关求解

【思维点拨】求解圆的方程问题可以采用代数方法：设合适的方程，根据条件进行转换。变形解方程等求解：也可

以采用几何法（勾股定理，相似等）进行求解

题型六直线、圆的综合问题

例1直线x+2y—5+石=0被圆』+y2—2x—4y=0截得的弦长为（）

A.1B.2C.4D.4^6

【答案】C

1+4-5+W

=1,半径r二石，所以最后弦长为2j（7?）2—f二4.

【解析】圆心（1,2）,圆心到直线的距离d二

例2已知点在圆。：/+）,2=[外，则直线如+切=1与圆。的位置关系是（）

A.相切B.相交C.相离D.不确定

【答案】B

【解析】因为M（q,b）在圆。：/+）J=i外，所以1+从>],而圆心O到直线ar+勿，=1的距离

d=J,<1，故直线与圆O相交.

a2+b2

例3直线/：与圆C：/+）,2=i的位置关系为（）

A.相交或相切B.相交或相离C.相切D.相交

【答案】D

【解析】由于圆心（0.0）,半径等于1,

6

的距离为公?臼=4=±<:田,

圆心到直线/:

标2行2

故直线和圆相交，

故选D.

例4已知圆G：（x—2）2+（），—3）2=1,圆G：（x—3）2+（y—4）2=9,M,N分别是圆G，C2上的动点，P为x轴

上的动点，则|PM|+|/W|的最小值为

A.5五-4B.717-1C.6-2〃D.而

【答案】D

【解析】圆G，。2的圆心分别为c，G，由题意知|PM|N|PG|T，IPMNPGI-3,

/.\PM\+\PN\>\PQ|+|PC21-4,故所求值为|PG|+|PG|-4的最小值.

又G关于X轴对称的点为。3（2,-3）,

所以|PCJ+|PG|—4的最小值为匕GI-4=52-4,故选A.

【易错点】此题可以采用联立方程（A）求解；也可以采用圆心到直线的距离与半径大小比较求解；还可以利用直

线/恒过（0,易得（可作草图）该点在圆内，故应为相交。直线（含参数）过定点特征应有所熟悉，高考中常

有涉及

【思维点拨】直线与圆位置关系通常采用圆心到直线距离d与圆半径r大小确定。

圆C:（x-^）2+（y-Z?）2=r2,直线/：Ax+By+C=O,圆心C（a,b）到直线/的距离为d,则：

直线与圆相离。可求圆上动点到直线距离范围（最大最小）问题

2.d=r,直线与圆相切。依此可求过圆C：/上某点pa。,）,。）的切线方程：斯式+儿），=/；

一般地，过圆C：（无一〃丫+（y-b）2=/上某点尸（用,光）的切线方程：（&一一»二尸.

2

3.dvr,直线与圆相交。此时常用勾股定理产=d?+（年）（A8为相交弦）来求解相关问题.

【巩固训练】

题型一倾斜角与斜率

1.经过A（-2,0）,8（-5,3）两点的直线的斜率是,倾斜角是.

【答案】见解析

7

【解析】经过A(-2,0),B(-5,3)两点的直线的斜率攵=3"°=-1,故倾斜角为135。.

-5-(-2)

2.设点A(2,—3),8(—3,—2),直线/过点尸(1,1)且与线段AB相交，贝心的斜率攵的取值范围是()

333

A.攵2或AWTB.-4<k<C.-<k<4D,以上都不对

444

【答案】A

33

【解析】求得心A=-4,既8=，结合图像知我的范围为攵0-4或&2

44

3.直线/过点4(1,2),且不过第四象限，则直线/的斜率k的最大值是(

A.0B.1C.D.2

2

【答案】D

【解析】如图，M2,k『=。,只有当直线落在图中阴影部分才符合题意，故攵e[0,2].故直线/的斜率〃的最

大值为2.

题型二直线方程

1.过点4(3,1)且倾斜角为120。的直线方程为()

33

A.y——3x-4B.y――3x+4C.y——x—2D.y——x+2

【答案】B

【解析】倾斜角为120。的直线斜率为-3.

利用点斜式可得了一1二一31一3).整理得y=-3x+4.

2.直线/过点(-1,2)且与直线2x—3y+4=0垂直，则/的方程是()

A.3x+2y-l=OB.3x+2y+7=0C.2x-3y+5=0I).2x-3y+8=O

【答案】A

【解析】设/:3x+2y+f=0,代入(-1,2).得f=T

3.已知4(1,2),8(3,1),则线段A3的垂直平分线的方程是().

8

A.4A-2j'+5=0B.44一2y—5=0C.ji+2y-5=0D.A-2>-5=0

【答案】B

313

【解析】A8中点为M(2,1),心.则中垂线斜率火=2.方程为>一］=2。-2).化简得：

4x-2y-5=0

4.已知直线/过点(1,2),且在x轴截距是在)，轴截距的2倍，则直线/的方程()

A.x+2y-5=0B.x+2y+5=0

C.2x-y=0或x+2y-5=0I).2x-y=0或x-2y+3=0

【答案】C

【解析】当直线过原点时，又过点(1,2),.•.所求直线方程为2工-)：=0.

当直线不过原点时，由已知设直线方程为工+2=1,又过点(1,2),.•.所求直线方程为x+2y—5=0;选

2min

c

题型三直线位置关系的判断

1.已知直线工一y一2二0与直线m+)，=0垂直，那么沉的值是().

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【解析】利用垂直的条件：///1+1-(-1)=0,得，〃=1

2.若直线/［：+3)1+4y+3〃?-5=0与直线4：2x+(m+5)>一8=0平行，则加的值为().

13,一

A.—B.—1或一7C.—6I).—7

3

【答案】D

【解析】:/Jh，・・・(m+3>(m+5)=2x4,

解得〃?=一1或一7,又当阳二一1时，两条直线重合，故m二一7.

3.直线(石—石卜+y=3和直线x+(J5—石)>=2的位置关系是().

A.垂直B.相交不垂直C.平行D重合.

【答案】A

【解析】丁(上一石)x1+(五一6)xl=0,

9

，两条直线相互垂直.故选A.

题型四对称与过定点

1.直线2工一"7），+1-3m=0,当加变化时，所有直线都过定点（）

i31n

A.B.3）C.D.下一3

\-^对/Z

【答案】D

2x+l=01

【解析】直线2x-my+l—3"?=0,化为2x+l—/%（》+3）=0,令｛「八，解得工=—-,y=-3,当川变

y+3=02

动时，所有直线都通过定点（―工,-3],故选D.

I2）

2.直线/:（〃?+〃）工+（2〃7-〃）》一根+2〃=0,对任意"Z/ER直线/恒过定点

【答案】（T1）

【解析】（，〃+〃）工+（2团一〃）），一〃7+2力=0可化为：机（工+2、-1）+〃（工一）】+2）=0,若要让叫n“失去作用”，

则｛x”+2；y+-2l二=。0’解得｛x），==-]\'即定点为（.T、）.

3.已知直线/经过点尸（6,4）,斜率为k

（1）若/的纵截距是横截距的两倍，求直线/的方程;

（2）若攵二一1,一条光线从点M（6,0）出发，遇到直线/反射，反射光线遇到y轴再次反射回点M,求光线所经

过的路程.

【答案】（1）/:2%-3），=0或/:2E+y-16=0；（2）4后.

【解析】（1）由题意得女工0。

直线/的方程为），一4二%（工一6）,BPy=^（%-6）+4,

4

令x=0,得y=*k+4.令y=0.得工=一1+6

4]2

•・•/的纵截距是横截距的两倍「.—64+4=2--+6解得或女=-2

Ik3

9

・,•直线/的方程为y='（x-6）+4或y=-2（工一6）+4,即2x-3y=0或2K+y-16=0

3

D

(2)当&二-1时，直线/的方程为人+)，-10=0,设点M关丁/的对称点为"1(火"),

则｛"一6a=10

'解得｛旌4.,.点M的坐标为(10,4),

。+6，八八

—―+y-10=0

/.M(10,4)关于y轴的对称点为M(-10,4)

光线所经过的路程为IM2Ml=J(6+10)，(0的)2=4折

题型五圆的方程

LI员I与直线/:4%一3)，+6=0相切于点/1(3,6),且经过点3(5,2),求此圆的方程.

【答案】x2+y2-10x-9y+39=0.

【解析】设圆的方程为(x—婚+()」匕)2=/,则圆为C(4〃)，±|G4|=|CB|,CALI,

（4-3）2+0-6）2=（a-5）2+（八2）2=/

得

『33

\2

解得C7=5,b=3,尸=彳，・••圆的方程为(l一5)2+(y-苫25

4

2.求过三点2(0,5)，5(1,-2),C(-3,-4)的圆的方程.

【答案】?+/+6x-2y-15=0.

【解析】设圆的方程为f+j+m+Ey+/t。

5E+F+25=0

因为点在圆上所以点的坐标是方程的解•，把它们的坐标代入圆的方程得2E+尸+5=0

3Q+4E-尸-25=()

D=6,

解这个方程得£=-2,所求方程为x2+)『+6x-2y-\5=0.

F=-15,

此题亦可先求两条中垂线，其交点为圆心，则半径可求，得到方程

3.若火fAABC的斜边的两端点A,B的坐标分别为(-3,0)和(7,0),则直角顶点C的轨迹方程为()

n

A.』+J=25(),/0)B.x1+y2=25

C.(x-2)2+y2=25(y0)I),(x-2)2+y2=25

【答案】C

【解析】线段A8的中点为(2,0),因为A48C为直角三角形，C为直角顶点，所以。到点(2,0)的距离为:A5|=5,

所以点C(x,y)满足(x-2y+y2=5(yw。)，即(工一2丫+/=25(y工0).

求轨迹问题应注意变量的范围.

题型六直线、圆的综合问题

1.直线y=X+l与圆F+y2=i的位置关系为()

A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离

【答案】B

【解析】圆心(0,0)为到直线y=x+l,即x—y+l=0的距离d=T==«,而选B.

\222

2.已知圆/+),2+2..25，+。=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数。的值是()

A.—2B.—4C.—6D.—8

【答案】B

【解析】圆的标准方程为*+1)2+"-1)2=2-。，则圆心C(—1,1),半径厂满足产=2-。，则圆心C到直线

2

x+y+2=O的距离d石，所以尸=4+2=2—a,故a=T

x/i+7

3.若圆G：F+J=1与圆。2：『+『-6x-8y+/〃=0外切，则加=()

A.21B.19C.9D.-11

【答案】B

【解析】由题意得G(0,0)，G(3,4),4=1,7二025-6,

IGGI=4+,