相似三角形的判定（第一课时）分层作业【解析版】

27.2.1相似三角形的判定（第一课时）分层作业

基础训练

1.已知：在A8C中，点D为上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E,过点E作A8的平行线

交BC于点F,连接CD,交石产于点K,则下列说法不正确的是（)

DEAE八BDBFBFAD

(---=,D.----

~BC~~AC*FKFCBCAB

【答案】C

【分析】利用平行线分线段成比例，逐•进行判断即可;

AnA"

【详解】A、"E//BC,・・,7rm选项正确，不符合题意;

B、:BC,.噗嘿;选项正确,不符合题意;

•.器=吃;选项错误，符合题意;

C、'：EF〃AB,・'

FKCF

ADAE

D、VDE//BC,

~AB~~AC

.BFAE

EF//AB,：

BCAC

选项正确，不符合题意;

BCAB

故选C.

【点睛】本题考查平行线分线段成比例.熟练掌握平行线分线段对应成比例,是解题的关键.

2.如图，在4ABe中，点。，E,“分别在AB,AC,BC边上，DEHBC,EF//AB,则下列式子一定

正确的是（）

A

D^\E

BFC

ADDE八ADBF"二北=二

A.=B.-C.D,

DBBCDBFCDBBFDBBC

【答案】B

4/）AF

【分析】根据平行线分线段成比例定理,在两组平行线里面，通过­=笠西二正‘联系起来,得

DBEC

出结论.

【详解】七〃BC

ADAE

而一耘

•・•EFHAB

.AEBF

'~EC~~FC

.ADAEBF

15B~~EC~~FC

,AD_BF

故答案为：B.

【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题，解题的关键是找准对应线段，准确列出

比例式，科学推理论证.

3.如图，在△ABC中，DE〃BC,AE=4,EC=6,AB=5,则BD的长为（）

C.3D.4

【答案】C

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可.

【详解】解：DE//BC,

ADAE

~DB=~EC

5-BD4

即

BD6

解得：BD=3,

故选：C.

【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.

4.如图，已知A3〃CO〃EF,那么下列结论正确的是（）

A

CEADDFBC_ADBEADBC

A.—=B.=—C.=D.=

CBDFADCEAFBCDFCE

【答案】D

【分析】根据“两条直线被•组平行线所截，所得的对应线段成比例”进行判断即可.

【详解】解：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，

：BC和AD对应，CE和DF对应，BE和AF对应，

.CE一=-D-F--A-D-=-B-C-

‘CBAD'AFBE'

故D正确.

故选：D.

【点睛】本题主要考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，确定出对应线段是解题的关

键.

5.如图，AC//BD,人£)与8C交于点E,过点E作E尸〃BD,交线段/W于点尸，则下列各式错误的是

()

AFAE八BFBE厂AEBE，八AFCE

A----=-----B----=-----C----+-----=1D-----=-----

BFED•AFECADBC'BFED

【答案】D

【分析】根据平行线分线段成比例定理一一判断即可.

【详解】解：对A、B选项.•・・AC〃4。，EF//BD,

・•・EF/7AC,

・・・1f=W，北=箓，故AB正确，不符合题意；

BFEDAFEC

,,AEAFBEBF

,AD~AB'BC~AB'

・.・丝+空”+竺=此已丝=1故C正确，不符合题意;

ADBCABABABAB

AFCE丁

D.，而DEhEB,

BFEli

户CF

・・4•三故D错误，不符合题意.

BFED

故选：D.

【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属丁一

中考常考题型.

S

6.如图，在ABC+，AC,AB两边上的中线跳，C。相交于点。，则/—=()

【答案】D

【分析】因为BE、CD是△ABC中的两条中线，可知DE是△ABC的中位线，于是DE〃BC,

DE二BC,根据OE〃次，可得出空=拦=之，即可得出结论.

2OCBC2

【详解】解：••*£、CD是△ABC中的两条中线，

・・・口£是4ABC的中位线,

ADE//BC,DE=yBC,

,ODDE\

••---=---=一,

OCBC2

・:ADOE=累=；故D正确.

故选：D.

【点睛】本题主要考查的是三角形中位线的性质，平行线分线段成比例定理，根据题意得出

等=学=；，是解题的关键.

C/CoC2

7.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A,B,C都在横线

上.若线段A5=3,则线段8c的长是()

fA

'C

23

A.-B.1C.-D.2

32

【答案】C

【分析】过点A作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于。、E,根据题意得4）=2。石，然

后利用平行线分线段成比例定理即可求解.

【详解】解：过点A作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于。、E,

根据题意得=

,:BD〃CE,

.ABAD_

・・----=-----=Z，

BCDE

XVAB=3,

13

・•・BC=-AB=-

22

4

故选：c

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的应用，作出适当的辅助线是解题的关键.

晋=；/是的中点，连接班'并延长交于点

8.如图，在中，D是8c上一点，连接ADAOACE,

则兰的值为（）

A

【答案】B

【分析】做DG〃BE,交AC卜点G,得到AE二EG,丝=竺=?，问题得解.

【洋解】解：如图，做DG〃BE,交AC于点G9

TF为AD中点，

；・AF;DF,

AAE=EG,

BD1

:—=一，DG〃BE,

CD3

.叽空J

CDCG3

.金L

EC4

故选：B

BDC

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理，正确添加辅助线是解题关

键.

9.如图，AB//CDIIEF.若工=一，80=5,,则.

CE2

【分析】根据平行线分线段成比例得到祭=器’由条件即可算出DF的值.

【详解】解：vAB//CDHEF,

.ACBD

，，~CE~~DF，

又「弟=4，BO=5,

CE2

.51

..=—,

DF2

，DF=1(),

故答案为：10.

【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.

10.如图，在乂8C中，AO平分NB4C,交BC于点。,MDC=^BC,DE//AC,交A3于点E.若

【答案】6

【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得NE4D=N及M，根据等边对等角可得E4=切=3,然

后根据平行线分线段成比例定理，可得普二程结合。。=抑即可得出答案.

【详解】解：・.・A。平分N8AC,

・•・ZE4£)=ZC4D,

*/DE//AC,

/./七ZM=NCA/),

・•・/EAD=NEDA，

・•・EA=ED=3,

VDE//AC,DC=-BC,

3

.BE_BDBC_DCBCQBCj

**E4-DC-~DC一1~T'

3

・•・BE=2E4=2x3=6.

故答案为：6.

【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，平行线分线段成比例定理等知

识，理解并掌握平行线分线段成比例定理是解题关键.

11.如图，延长正方形ABCD的一边CB至E,ED与AB相交于点F,过F作FG〃BE交AE于点G,求

讦：GF=FB.

【答案】见解析

【分析】利用平行线分线段成比例，求出普=需，f=通过等量代换得到GF=FB.

【详解】证明：•・•四边形ABCD为正方形,

・・・BF〃CD,

.BFEF

,'CD~ED

VFG/7BE,

，GF〃AD,

,GFEF

'^D~~ED

.GF_BF

且AD=CD,

7D~CD

・・・GF=BF.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练运用平行线分线段成比例定理列出相关线段比例关系是解

题关键.

CD_CN

12.如图：△ABC中，MDAB,MNAE.求证:

CB-CE

【答案】证明见解析

【分析】根据平行线分线段成比例定理证明即可.

【详解】证明:VMDfAB,

.CDCM

••而~CA'

VMN./AE,

,CMCN

''~CA~~CE'

.CDCMCN

..---=----=----,

CBCACE

1JrICDCN

CBCE

【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握该知识点是解题关键.

13.如图，在△ABC中，DF〃AC,DE〃BC.

小卡丁BFCE

求证：记;百

(2)若AE=4,EC=2,BC=IO,求BF和CF长.

⑵T，V

nrnr\nr\「尸DC「尸

【分析】（1）由平行线分线段成匕例得出黑和黑=与，即推出芸=笠

FCADADAEFCAE

RFCE

（2）设BF=x'根据题意可求出b=再根据⑴结论五=益’即可求出x的大小，即可求出

BF和CF的长.

【详解】（1）证明：・・・DF〃AC,

.BFBD

*FC-7D,

:DE/7BC,

.BDCE

'~AD~~AE'

.BFCE

''FC~~AE'

(2)解：设BF=x,

/BC=10,

•・CF=10-x,

阻器且AE=4,EC=2,

x2

10-.r-4

解得：x=¥，

・・・g。旦型

33

【点睛】本题考查平行线分线段成比例.利用数形结合的思想是解答本题的关键.

能力提升

1.如图，在平面直角坐标系中，。为以08的边上一点，AC:OC=l:2,过C作CO〃OB交/小于点

D,C、。两点纵坐标分别为1、3,则4点的纵坐标为（）

【答案】C

ACrn\r\

【分析】根据CO〃OB得出々=/，根据4coe=1:2,得出三二彳，根据C、。两点纵坐标分别

AOOBAO3

为I、3,得出OB=6,即可得出答案.

【详解】解：

.ACCD

••=，

AOOB

VAC:OC=\:2,

.AC1

••=19

AO3

VC.Q两点纵坐标分别为1、3,

CD=3-1=2,

,21

•♦---=一，

OB3

解得：OB=6,

点的纵坐标为6,故C正确.

故答案为：6.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平面直角坐标系中点的坐标，根据题意得出A煞C=C胃D1=是解

AOOB3

题的关键.

2.如图，点D是△ABC中AB边上靠近A点的四等分点，即4AD=AB,连接CD,F是AC上一点，连

接BF与CD交于点E,点E恰好是CD的中点，若SAABC=8.则四边形ADEF的面积是（）

【答案】D

【分析】过D点作DG〃EF,连接AE,当=当=?,GF=FC,再计算△ADE和△AEF的面积即可.

AFAB4

【详解】过D点作DG〃EF,连接AE,

•・•点E恰好是CD的中点，4AD=AB,

设AG=k,则AF=4k,GF=3k,FC=3k,

.AF4

.•---=一

FC3

S&ACDAD1

SAABC=8,

SgBC~AB~4

S四边形ADEF=SgDE+SgEFi4=il

77

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握等高三角形面积之比等于底之比是解题的关键.

3.如图，点0是矩形ABCD的对角线AC的中点，OW〃A4交AD于点M,若OM=3,0B=4,则BC

的长为（）

A.5B.2x/7C.8D.10

【答案】B

【分析】利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可求出AC,再利用平行线分线段成比例求出

DC=2OM,则利用勾股定理即可求出AD,则答案得解.

【详解】根据矩形的性质可知AD=BC,ZABC=ZD=90°,

•・・O点为AC中点，

・•・在RIAABC中，有B0=gAC=AO=OC,

VBO=4,

AAC=8,OA=OC=4,

OM//AB,

.OMAO

••---=，

DCAC

.MACXOM8X3,

AO4

・••在RsADC中，利用勾股定理有，AD=4AC2-DC1=Vs2-62=277，

/.AD=BC=2\/7,

故选：B.

【点睛】本题考查了矩形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、平行线分线段成比例等知识，利用

平行分线段成比例求出DC的长是是解答本题的关键.

4.如图，正方形A8CQ中，E,尸分别在边ADCD上，AF,BE相交于点G,若AE=3ED,DF=CF,

则AG：G”的值是

【分析】作小〃AO,交ABHN,设OE=。，则AE=3a,利用平行线分线段成比例定理解决问题即

可.

【详解】解：如图所示，作QV〃AO,交.AB与N,

•.四边形ABCD是正方形,

：.AB//CD,

FN//AD,

，四边形ANFO是平行四边形，

ZD=90°,

••・四边形A?叶口是矩形，

设DE=a,则AE=3a,AD=AB=CD=FN=4a,AN=DF=2a,

,AN=BN,MN//AE,

3

:.MN='a,

2

；.FeM,=—5a,

2

AE//FM^

AG_AE_3«_6

—Cl

2

故答案为：6:5.

【点睛】本题考查了正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线等知识，解题的关键是学会

添加常用辅助线，构造平行线解戾问题.

5.如图，在平行四边形A8CD中，点E在边。。上，DE:EC=3:1,连接AE交于点尸，则的

面积与四边形BCEF的面积之比为

【答案】9:19

【分析】由DE：EC=3：1,可得DF：FB=3：4,根据在高相等的情况下三角形面积比等于底边的比，可

得SAEFD：SABEF=3：4,SABDE：SABEC=3：1,可求△DEF的面积与四边形BCEF的面积的比值.

【详解】解：连接BE

B

DE：EC=3：I

设DE=3k,EC=k,贝ijCD=4k

ABCD是平行四边形

AB〃CD,AB=CD=4k,

DE_DF_3

SAEFD：SABEF=3：4

DE：EC=3：I

SABDE：SABEC=3：1

设SABDE=3a,SABEC=a

nil_9a12d

则SAEFD=­，,SABEF=--，

77

・ay灯

••>BCEF-BEC+'ABEF———，

・•・则4DEF的面积与四边形BCEF的面积之比9：19

故答案为：9:19.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，平行四边形的性质，关键是运用在高相等的情况下三角形面积

比等于底边的比求三角形的面枳比值.

拔高拓展

1.如图，F为△BED的边BD上一点，过点B作K4〃所交DE的延长线于点A,过点力作DCJ/EF交

BE的延长线于点C.

⑵请找出Sw5皿S的）c之间的关系，并给出证明.

【答案】（1）见解析

（2）/—+/—=/—,证明见解析

MJ'MED

FFnFFFBF

【分析】⑴由平行线分线段成匕例可得布=而'-—.即可得出