浙教版九年级数学上册每日一题（46-50）几何新定义型问题（含解析）

每日一题46几何新定义型问题

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46.定义:有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线.

⑴如图1,在AABC中,AB=AC,AD是AABC的角平分线,E,F分别是BD,AD上的点.求证:四边形ABEF

是邻余四边形；

(2)如图2,在5X4的方格纸中,A,B在格点上,请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF,使AB是邻余

线,E,F在格点上；

(3)如图3,在(1)的条件下，取EF中点M,连接DM并延长交AB于点Q,延长EF交AC于点、.若N为

AC的中点.DE=2BE,QB=3,求邻余线AB的长.

A

每日一题47几何新定义型问题

班级小组姓名

47.如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

(1)概念理解：如图2,在四边形A8CD中，AB=AD,CB=CD,问四边形4BCD是垂美四边形

吗？请说明理由；

(2)性质探究：如图1,四边形A8CO的对角线AC、8。交于点O,ACLBD.

试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；

(3)解决问题：如图3,分别以RtZ\AC8的直角边4C和斜边/W为边向外作正方形AC/G和正

方形A8DE,连结CE、BG、GE.已知AC=4,AB=5,求GE的长.

每日一题48几何新定义型问题

班级小组姓名

48.若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形.

(1)已知AABC是比例三角形，AB=2,BC=3,请直接写出所有满足条件的AC的长;

(2)如图1在四边形ABCD中，AD〃BC,对角线BD平分NABC,ZBAC=ZADC.

求证：AABC是比例三角形；

(3)加图2,在(2)的条件下，当NADC=90。时，求&2的值

AC

图2

每日一题49几何新定义型问题

班级小组姓名

49.我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这

条边叫做这个三角形的“等底

（1）概念理解：

如图1,在aABC中，AC=6,BC=3,ZACB=30°,试判断AABC是否是“等高底”三角形，请说明

理由.

（2）问题探究：

如图2,AABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，作AABC关于BC所在直线的对称图形得到AABC,

AT

连结AA，交直线BC于点D.若点B是AAAC的重心，求，的值.

BC

（3）应用拓展：

如图3,已知h〃12,h马12之间的距离为2.“等高底”ZkABC的“等底”BC在直线h上，点A在直线

12上，有一边的长是BC的应倍.将AABC绕点C按顺时针方向旋转45。得到AABC,AC所在直

线交12于点D.求CD的值.

每日一题50几何新定义型问题

班级小组姓名

50.如果三角形的两个内角a与B满足2a+B=90"，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”。

(1)若4ABC是“准互余三角形"，ZC>90°,ZA=60°,则NB=:

(2)如图①，在RtZXABC中，ZACB=90o,AC=4,BC=5<,若AD是NBAC的平分线，不难证明

△ABD是“准互余三角形”。试问在边BC上是否存在点E(异于点D),使得aABE也是“准

互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由。

(3)如图②，在四边形ABCD中，AB=7,CD=12,BD1CD,ZABD=2ZBCD,且aABC是“准

互余三角形”，求对角线AC的长。

每日一题46答案

46.解：（1）:AB=AC,AD是△ABC的角平分线,・•・AD_LBC,，ZADB

=90°

,?.ZDAB+ZDBA=90°,

:.ZFAB与NEBA互余.工四边形ABEF是邻余四边形；

⑵如图所示.四边形ABEF即为所求.(答案不唯一)

(3)VAB=AC.AD是AABC的角平分线,・・・BD=CD,；DE=2BE,

・・・BD=CD=3BE,・・・CE=CD+DE=5BE.

•・・NEDF=90°,M为EF的中点,・・・DM=ME.

AZMDE=ZMED.

VAB=AC,，NB=ZC,ADBQ^AECN,

/VC15

■:QB=3,，NC=5,：AN=CN,:.AC=2CN=10,AAB=AC=10.

每日一题47答案

解：（1）四边形ABC。是垂美四边形.

证明：・・・48=4。，，点A在线段8。的垂直平分线上，

•・・C8=C。，・,•点C在线段8。的垂直平分线上，

・•・直线AC是线段BO的垂直平分线，・・・AC_L8。，即四边形ABC。是垂美四边形；

（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等.

如图2,已知四边形48C。中，ACLBD,垂足为E,

求证：AD2+BC2=AB2+CD1

证明：'CACLBD,；・NAED=NAEB=NBEC=NCED=90°,

由勾股定理得，AD1+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2,AB2+CD2=AE2+BEP+CE2+DE2,

/.AD2+BC2=AB2+CD2；故答案为：AD2+BC2=AB2+CDr.

（3）连接CG、BE,・・・/CAG=NBAE=90°,

AZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC,即NGA4=NC4E,

XVAG=AC,AB=AE,：./^GAB^/\CAE（SAS）,

AZABG=ZAEC,又N4EC+NAA/E=90°,AZABG+ZAM£=90°,即CE_L4G,

，四边形CGEB是垂美四边形，

由（2）得，CGUB/MC^+GE2,V4C=4,AB=5,:,BC=3,CG=4五,BE=5桓,

：,GU=CG2+BE2-CB2=73,/.GE=V73.

每日一题48答案

【解题过程】解：（1）士或2或6。

32

（2）VADZ/BC,/.ZACB=ZCAD

又VZBAC=ZADC,JAABC^ADCA

.BC_CA

即CA2=BC•AD

**C4-AD

.\ZADB=ZCBD

TBD平分NABC,

.\ZABD=ZCBD

AZADB=ZABD

AAB=AD

.\CA2=BC-AB,

」.△ABC是比例三角形

(3)如图，过点A作AHJ_BD于点H

VAB=AD,

ABH=-BD.

2

•・・AD〃BC,NADC=90°

・•・ZBCD=90°

.\ZBHA=ZBCD=90°

XVZABH=ZDBC,

/.△ABH-ADBC

.ABBH

AAB・BC=DB-BH,

AAB・BC=-BD2

2

XVAB・BC=AC2,

・•・-BD2=AC2

2

:幽=叵

AC

每日一题49答案

【解答过程】(1)如图1,过点A作AD上直线CD于点D,

•二△ADC为直角三角形，ZADC=90°

AZACB=30o,AC=6,AAD=-AC=3/.AD=BC=3

2

即AA3C是“等高底”二角形.

(2)如图2,••・△ABC是“等高底”三角形,BC是“等底”，AAD=BC

,/△AfBC与与^ABC关于直线BC对称，，ZADC=90°

•・•点B是AAAC的重心，ABC=2BDo设BD=x,则AD=BC=2x,.*.CD=3x

・•・由勾股定理得AC=>/百x,・・・46=，电=巫

BC2x2

(3)①当AB=&BC时，

I.如图3,作AE_Lh于点E,DFJLAC于点F,

•.•“等高底”AABC的“等底”为BC,h〃h.h与L之间的距离为2,AB=x/2BC

ABC=AE=2,AB=2夜ABE=2,即EC=4,AAC=2x/5

VAABC绕点C按顺时针方向旋转45。得到ZkABC,I.NCDF=45。设DF=CF=x

DFAF1

,/h〃12，A/ACE=/DAF.——=—=-.BP4F=2r.

AFCE2

AAC=3x=2x/5,可得x=g逐，Z.CD=V2.r=|>/10

II.如图4,此时aABC是等腰直角三角形，

,/△ABC绕点C按顺时针方向旋转45。得到△ABC,•••△ACD是等腰直角三角形，

.\CD=V2AC=2V2

②当AC=JiBC时，

I.如图5,此时AABC是等腰直角三角形，.二△ABC绕点C按顺时针方向旋转45。得到AAB匕时,

点A，在直线h上。・・・A匕〃卜，即直线A，C与」无交点

综上，CD的值为2夜，2加,2［其他不同解法，请酌情给分】

3

49题图3

49题图6

每日一题50答案

解：(1)由“准互余三角形”定义可知：若AABC是“准互余三角形"，又NC>9()。，则有2NA+

ZB=90°或2NB+NA=90°.又因NA=60。，则2ZA+ZB=90°不成立，

即代入2ZB+ZA=90°可得NB=15°.

Q

(2)存在，BE=—.

5

•・•点E在BC边上，ZAEB>90°

.\2ZBAE+ZB=90°或2ZB+ZBAE=90°

•・•点E(异于点D),.*.2ZBAE+ZB=90°不成立.

由图可知：在RtAABC中可得NBAE+/EAC+NB=90°,

又由“准互余三角形”定义可知：2NB+NBAE=9(T,AZB=ZEAC,

/.△ABC^AEAC(AA),—=—