2026年天津市北师大版七年级数学第四十五章专项训练题库

2026年天津市北师大版七年级数学第四十五章专项训练题库一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在数学第四十五章中，关于多项式\(2x^3-5x^2+3x-7\)的次数，下列说法正确的是（）A.3次，因为最高次项系数为2B.4次，因为常数项-7也参与次数计算C.3次，因为多项式的次数由最高次项决定D.7次，因为各项次数相加得到72.根据第四十五章内容，若多项式\(ax^2+bx+c\)在\(x=1\)时值为0，则下列结论正确的是（）A.\(a+b+c=0\)B.\(a-b+c=0\)C.\(a+b-c=0\)D.\(a-b-c=0\)3.在本章学习的因式分解方法中，下列哪个表达式最适合使用提公因式法（）A.\(x^2-4y^2\)B.\(3x^2-9x\)C.\(x^2+2x+1\)D.\(2x^2+3x-2\)4.根据第四十五章例题，若多项式\(x^2-mx+n\)可以分解为\((x-2)(x-3)\)，则\(m\)和\(n\)的值分别为（）A.\(m=5,n=6\)B.\(m=-5,n=-6\)C.\(m=5,n=-6\)D.\(m=-5,n=6\)5.在本章学习的分式运算中，下列哪个分式在\(x=0\)时无意义（）A.\(\frac{x+1}{x-1}\)B.\(\frac{x^2-1}{x}\)C.\(\frac{x-1}{x+1}\)D.\(\frac{1}{x^2+1}\)6.根据第四十五章内容，若分式\(\frac{3x-6}{x-2}\)约分后等于3，则\(x\)的取值范围是（）A.\(x\neq2\)B.\(x=2\)C.\(x\neq-2\)D.\(x\in\mathbb{R}\)7.在解分式方程时，若方程为\(\frac{2x}{x-1}=\frac{3}{x}\)，则下列说法正确的是（）A.解为\(x=1\)B.解为\(x=-1\)C.解为\(x=0\)D.无解8.根据第四十五章定理，若分式\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)，则下列等式成立的是（）A.\(ad=bc\)B.\(ab=cd\)C.\(a+d=b+c\)D.\(a-b=c-d\)9.在本章学习的分式化简中，下列哪个表达式化简后为整式（）A.\(\frac{x^2-4}{x-2}\)B.\(\frac{x^2+4}{x+2}\)C.\(\frac{x^2-1}{x-1}\)D.\(\frac{x^2+1}{x+1}\)10.根据第四十五章例题，若分式\(\frac{x^2-9}{x^2+6x+9}\)化简后为\(\frac{x-3}{x+3}\)，则下列说法正确的是（）A.化简过程正确，但结果错误B.化简过程错误，结果正确C.化简过程和结果均正确D.化简过程和结果均错误二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若多项式\(3x^2-7x+k\)可以分解为\((x-1)(3x-m)\)，则\(k\)的值为________。2.分式\(\frac{x^2-1}{x^2+x-2}\)约分后的结果为________。3.若分式\(\frac{2x-1}{x+3}\)的值为0，则\(x\)的值为________。4.多项式\(x^3-2x^2-5x+6\)的一个因式为\(x-1\)，则另一个因式为________。5.若分式\(\frac{3x}{x-2}\)与\(\frac{6}{x+2}\)相等，则\(x\)的值为________。6.分式\(\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}\)化简后的结果为________。7.若多项式\(x^2+px+q\)可以分解为\((x+2)(x+5)\)，则\(p+q\)的值为________。8.分式\(\frac{x^2-4}{x^2+2x+1}\)在\(x=2\)时的值为________。9.若分式\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)，且\(a=6,b=3,c=4\)，则\(d\)的值为________。10.分式方程\(\frac{x}{x-1}+\frac{1}{x+1}=1\)的解为________。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.多项式\(2x^2-3x+1\)的次数为2次。（）2.若多项式\(ax^2+bx+c\)在\(x=1\)时值为0，则\(a+b+c=0\)。（）3.任何多项式都可以用提公因式法分解。（）4.分式\(\frac{x^2-1}{x-1}\)在\(x=1\)时无意义。（）5.若分式\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)，则\(ad=bc\)。（）6.分式方程\(\frac{x}{x-1}=\frac{1}{x-1}\)的解为\(x=1\)。（）7.分式\(\frac{x^2+1}{x+1}\)可以化简为整式。（）8.若多项式\(x^2-mx+n\)可以分解为\((x-2)(x-3)\)，则\(m=5,n=6\)。（）9.分式\(\frac{2x}{x-1}\)在\(x=1\)时无意义。（）10.若分式\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)，则\(a=c,b=d\)。（）四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.请简述提公因式法分解因式的步骤。2.请解释为什么分式\(\frac{x^2-1}{x-1}\)在\(x=1\)时无意义。3.若多项式\(x^2-mx+n\)可以分解为\((x-2)(x-3)\)，请求\(m\)和\(n\)的值。4.请说明分式\(\frac{2x-1}{x+3}\)的值为0的条件。5.请解释分式方程\(\frac{x}{x-1}+\frac{1}{x+1}=1\)的解为\(x=0\)的步骤。6.请简述分式化简的基本步骤。7.请说明多项式\(x^3-2x^2-5x+6\)的一个因式为\(x-1\)的理由。8.请解释为什么分式\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)等价于\(ad=bc\)。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知多项式\(3x^2-9x+k\)可以分解为\((x-1)(3x-6)\)，请求\(k\)的值并验证分解正确性。2.若分式\(\frac{x^2-4}{x^2+2x+1}\)在\(x=-2\)时的值为0，请求\(x\)的值。3.已知分式\(\frac{2x-1}{x+3}\)与\(\frac{4}{2x+6}\)相等，请求\(x\)的值。4.若多项式\(x^2-mx+6\)可以分解为\((x-2)(x-3)\)，请求\(m\)的值并验证分解正确性。5.已知分式方程\(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{1}{2}\)，请求\(x\)的值并检验解是否正确。6.请将分式\(\frac{x^2+6x+9}{x^2-9}\)化简为最简形式，并说明化简步骤。7.若多项式\(x^3-px^2+qx-6\)可以分解为\((x-1)(x^2+2x+6)\)，请求\(p\)和\(q\)的值。8.请证明分式\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)等价于\(ad=bc\)，并举例说明。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C解析：多项式的次数由最高次项决定，\(2x^3\)的次数为3次，因此多项式\(2x^3-5x^2+3x-7\)的次数为3次。选项A错误，最高次项系数不影响次数；选项B错误，常数项不参与次数计算；选项D错误，次数不是各项次数相加。2.A解析：根据多项式在特定值时的性质，若\(ax^2+bx+c\)在\(x=1\)时值为0，则代入\(x=1\)得\(a+b+c=0\)。选项B、C、D均不符合该性质。3.B解析：提公因式法适用于提取多项式各项的公因式，\(3x^2-9x\)的公因式为\(3x\)，因此适合使用提公因式法分解。其他选项均不适合。4.A解析：将\((x-2)(x-3)\)展开得\(x^2-5x+6\)，与\(x^2-mx+n\)比较系数得\(m=5,n=6\)。选项A正确。5.B解析：分式\(\frac{x^2-1}{x}=\frac{(x-1)(x+1)}{x}\)在\(x=0\)时分母为0，因此无意义。其他分式在\(x=0\)时分母不为0。6.A解析：分式\(\frac{3x-6}{x-2}=\frac{3(x-2)}{x-2}=3\)（\(x\neq2\)），因此\(x\neq2\)。选项B、C、D均不符合。7.D解析：分式方程\(\frac{2x}{x-1}=\frac{3}{x}\)两边同乘\(x(x-1)\)得\(2x^2=3(x-1)\)，化简得\(2x^2-3x+3=0\)，判别式\(\Delta=(-3)^2-4\cdot2\cdot3=-15<0\)，无解。选项D正确。8.A解析：根据比例的基本性质，若\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)，则\(ad=bc\)。选项B、C、D均不符合比例性质。9.A解析：\(\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\)（\(x\neq2\)），为整式。其他分式化简后仍为分式。10.C解析：\(\frac{x^2-9}{x^2+6x+9}=\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)^2}=\frac{x-3}{x+3}\)（\(x\neq-3\)），化简过程和结果均正确。二、填空题1.2解析：将\((x-1)(3x-m)\)展开得\(3x^2-(m+3)x+m\)，与\(3x^2-7x+k\)比较系数得\(m+3=7,m=4\)，\(k=m=4\)。2.\(\frac{x+1}{x+2}\)解析：\(\frac{x^2-1}{x^2+x-2}=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+2)}=\frac{x+1}{x+2}\)（\(x\neq1,x\neq-2\)）。3.1解析：分式\(\frac{2x-1}{x+3}\)的值为0，则分子为0，即\(2x-1=0\)，解得\(x=\frac{1}{2}\)。4.\(x^2+x-6\)解析：\(x^3-2x^2-5x+6\)除以\(x-1\)得\(x^2+x-6\)，因此另一个因式为\(x^2+x-6\)。5.-2解析：分式\(\frac{3x}{x-2}=\frac{6}{x+2}\)两边同乘\((x-2)(x+2)\)得\(3x(x+2)=6(x-2)\)，化简得\(3x^2+6x=6x-12\)，即\(3x^2=-12\)，解得\(x=-2\)。6.\(\frac{x+1}{x-1}\)解析：\(\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}=\frac{(x+1)^2}{(x-1)(x+1)}=\frac{x+1}{x-1}\)（\(x\neq1,x\neq-1\)）。7.8解析：\(x^2+px+q=(x+2)(x+5)=x^2+7x+10\)，比较系数得\(p=7,q=10\)，\(p+q=17\)。8.0解析：\(\frac{x^2-4}{x^2+2x+1}=\frac{(x-2)(x+2)}{(x+1)^2}\)，当\(x=2\)时，分子为0，分母不为0，因此值为0。9.8解析：根据比例的基本性质，\(\frac{6}{3}=\frac{4}{d}\)，即\(2=d\)，因此\(d=8\)。10.0解析：分式方程\(\frac{x}{x-1}+\frac{1}{x+1}=1\)两边同乘\((x-1)(x+1)\)得\(x(x+1)+(x-1)=x^2-1\)，化简得\(x^2+x+x-1=x^2-1\)，即\(2x=0\)，解得\(x=0\)。检验：代入原方程，分母不为0，解正确。三、判断题1.正确解析：多项式\(2x^2-3x+1\)的最高次项为\(2x^2\)，次数为2次。2.正确解析：根据多项式在特定值时的性质，若\(ax^2+bx+c\)在\(x=1\)时值为0，则代入\(x=1\)得\(a+b+c=0\)。3.错误解析：提公因式法适用于提取多项式各项的公因式，并非所有多项式都可以用该方法分解，如\(x^2+1\)。4.错误解析：分式\(\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\)（\(x\neq1\)），在\(x=1\)时分母为0，但化简后分母不为0，因此原分式在\(x=1\)时分母为0，但化简后无意义。5.正确解析：根据比例的基本性质，若\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)，则\(ad=bc\)。6.错误解析：分式方程\(\frac{x}{x-1}=\frac{1}{x-1}\)两边同乘\(x-1\)得\(x=1\)，但代入原方程分母为0，因此无解。7.错误解析：分式\(\frac{x^2+1}{x+1}\)无法化简为整式，因为分子和分母无公因式。8.正确解析：将\((x-2)(x-3)\)展开得\(x^2-5x+6\)，与\(x^2-mx+6\)比较系数得\(m=5\)。9.正确解析：分式\(\frac{2x}{x-1}\)的分母为\(x-1\)，当\(x=1\)时分母为0，因此无意义。10.错误解析：若\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)，则\(ad=bc\)，但\(a=c,b=d\)不一定成立，如\(a=2,b=4,c=1,d=2\)。四、简答题1.提公因式法分解因式的步骤：（1）找出多项式各项的公因式；（2）将公因式提出来，写成公因式乘以一个多项式的形式。例如：\(6x^2-9x=3x(2x-3)\)。2.分式\(\frac{x^2-1}{x-1}\)在\(x=1\)时无意义的原因：分式\(\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}\)，当\(x=1\)时，分母为0，因此分式无意义。虽然化简后为\(x+1\)，但原分式在\(x=1\)时分母为0，因此无意义。3.若多项式\(x^2-mx+n=(x-2)(x-3)\)，则\(m\)和\(n\)的值：展开\((x-2)(x-3)\)得\(x^2-5x+6\)，与\(x^2-mx+n\)比较系数得\(m=5,n=6\)。4.分式\(\frac{2x-1}{x+3}\)的值为0的条件：分式\(\frac{2x-1}{x+3}\)的值为0，则分子为0，即\(2x-1=0\)，解得\(x=\frac{1}{2}\)。此时分母不为0，因此解为\(x=\frac{1}{2}\)。5.分式方程\(\frac{x}{x-1}+\frac{1}{x+1}=1\)的解为\(x=0\)的步骤：（1）两边同乘\((x-1)(x+1)\)得\(x(x+1)+(x-1)=(x-1)(x+1)\)；（2）化简得\(x^2+x+x-1=x^2-1\)；（3）整理得\(2x=0\)，解得\(x=0\)；（4）检验：代入原方程，分母不为0，解正确。6.分式化简的基本步骤：（1）分解分子和分母的多项式；（2）约去分子和分母的公因式；（3）化简为最简形式。例如：\(\frac{x^2-1}{x^2-2x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2}=\frac{x+1}{x-1}\)（\(x\neq1\)）。7.多项式\(x^3-2x^2-5x+6\)的一个因式为\(x-1\)的理由：根据因式定理，若多项式\(f(x)\)在\(x=a\)时值为0，则\(x-a\)是\(f(x)\)的因式。计算\(f(1)=1^3-2\cdot1^2-5\cdot1+6=0\)，因此\(x-1\)是因式。8.分式\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)等价于\(ad=bc\)的证明：根据比例的基本性质，若\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)，则\(ad=bc\)。反之，若\(ad=bc\)，且\(b,d\neq0\)，则\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)。因此等价。五、应用题1.已知多项式\(3x^2-9x+k\)可以分解为\((x-1)(3x-6)\)，请求\(k\)的值并验证分解正确性。解：（1）将\((x-1)(3x-6)\)展开得\(3x^2-15x+6\)；（2）与\(3x^2-9x+k\)比较系数得\(k=6\)；（3）验证：\(3x^2-9x+6=3(x-1)(x-2)\)，分解正确。2.若分式\(\frac{x^2-4}{x^2+2x+1}\)在\(x=-2\)时的值为0，请求\(x\)的值。解：（1）分式\(\frac{x^2-4}{x^2+2x+1}=\frac{(x-2)(x+2)}{(x+1)^2}\)；（2）当\(x=-2\)时，分子为0，分母不为0，因此值为0；（3）若分式值为0，则分子为0，即\(x^2-4=0\)，解得\(x=\pm2\)。3.已知分式\(\frac{2x-1}{x+3}\)与\(\frac{4}{2x+6}\)相等，请求\(x\)的值。解：（1）化简\(\frac{4}{2x+6}=\frac{4}{2(x+3)}=\frac{2}{x+3}\)；（2）分式相等得\(\frac{2x-1}{x+3}=\frac{2}{x+3}\)；（3）两边同乘\(x+3\)得\(2x-1=2\)，解得\(x=\frac{3}{2}\)。4.若多项式\(x^2-mx+6\)可以分解为\((x-2)(x-3)\)，请求\(m\)的值并验证分解正确性。解：（1）展开\((x-2)(x-3)\)得\(x^2-5x+6\)；（2）与\(x^2-mx+6\)比较系数得\(m=5