广东省广州市黄埔区2026年九年级下学期数学中考前模拟考试试卷附答案

九年级下学期数学中考前模拟考试试卷一、单选题1．-3的倒数是（）A．3 B． C． D．-32．如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（）A． B． C． D．3．下列计算正确的是()A． B．C． D．4．如图，，，，则的度数为（）A． B． C． D．5．不等式的解集是（）A． B． C． D．6．某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是（）A． B． C． D．7．一个正比例函数的图象经过点和点，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（）A． B． C． D．8．如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（）A． B． C． D．9．如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（）A．2 B．3 C． D．10．如图，在正方形中，点分别在上，，与相交于点．下列结论：①垂直平分；②当时，为等边三角形；③当时，；④当时，．其中正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题11．用科学记数法表示：．12．某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）的函数表达式为，当时，的值为．13．如果代数式有意义，那么的取值范围是．14．一个扇形的圆心角为，扇形的半径为6，则扇形面积是（结果用表示）．15．【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：．【应用体验】已知，则m的值为16．如图，在矩形中，点E，F，M分别在，，边上，分别交对角线、线段于点G，H，且是的中点．若，则的长为．三、解答题17．解方程组：．18．已知：如图，在平行四边形中，点E，F分别在和上，且．求证：．19．先化简，再求代数式的值，其中．20．某学校为了更好地开展学生体育活动，组织八年级学生进行体育测试（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，数据分为五组，下面给出了部分信息：a．抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下：组别成绩/分人数（频数）A1B5CmD16E20b．D组的数据：60，60，61，62，62，63，63，66，67，67，70，70，71，74，75，79请根据以上信息完成下列问题：（1）求随机抽取的学生人数；（2）统计表中的，扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为度；（3）抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为分；（4）若该校八年级共有800名学生参加了此次体育测试，请你估计该校八年级参加此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数．21．如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接．（1）求证：与相切；（2）若，，求的长．22．如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，判断四边形的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若，，求四边形的面积．23．如图1是一款订书机，其平面示意图如图2所示，其主体部分矩形由支撑杆垂直固定于底座上，其中，，压杆，，使用过程中矩形可以绕点E旋转．（1）订书机不使用时，如图2，，求压杆端点到底座的距离；（2）使用过程中，当点落在底座上时，如图3，测得，求压杆端点到底座的高度．（参考数据：，，结果精确到）24．我们约定：当满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题：（1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）：①函数（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；（）②函数一定不是“对偶函数”；（）③函数的图象上至少存在两对“对偶点”．（）（2）若关于x的一次函数与（都是常数，且）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和；（3）若关于x的二次函数是“对偶函数”，求实数a的取值范围．25．如图，在中，，，为线段上一点．（1）尺规作图，作点关于的对称点，连接，，并证明；（2）如图，当由点运动到点过程中，若线段与线段交于点，当取最大值时，求的值；在上取一点，使得，连接，，是否存在最小值，如存在请求出，若不存在请说明理由．

答案1．【答案】C【解析】【分析】乘积是1的两个数互为倒数．【解答】（-3)×（-)=1所以-3的倒数是-．

故答案为：C．【点评】此题主要考查倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数，据语言简单列出算式求解即可．2．【答案】C3．【答案】C【解析】【解答】解：A：，不能合并，不符合题意；

B：，错误，不符合题意；

C：，正确，符合题意；

D：，错误，不符合题意.故答案为：C【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法，除法，幂的乘方逐项进行判断即可求出答案.4．【答案】B【解析】【解答】，，，，，．故答案为：B．

【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，然后由两直线平行，内错角相等得的度数.5．【答案】D【解析】【解答】解：∵，

去括号得：2x-2≥6，

移项并合并同类项得：2x≥8，

系数化为1得：x≥4.故答案为：D.

【分析】按解一元一次不等式的步骤逐一计算解之即可.6．【答案】C【解析】【解答】解：如图，画出树状图

共有6中等可能的结果，其中两球上金额的和为50的结果有2中

∴两球上金额的和为50元的概率是故答案为：C【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出两球上金额的和为50的结果，再根据概率公式即可求出答案.7．【答案】A【解析】【解答】解：∵和点关于原点对称，

∴n=-2，m=6，

设正比例函数表达式为y=kx，将A(2，6)代入，

∴2k=6，解得k=3.

∴正比例函数的表达式为y=3x.故答案为：A.

【分析】由原点对称分析得出m，n值，后利用待定系数法解出正比例函数表达式即可.8．【答案】C【解析】【解答】∵AB=AC，∠A=34∘，三角形内角和为180∘，

∴∠ABC=∠ACB==73∘.

∵△BCD沿CD折叠得到△ECD，折叠前后对应角相等

∴∠CED=∠ABC=73∘，

∵∠CED是△ADE的外角，外角等于不相邻两个内角之和：

∴∠CED=∠A+∠ADE代入数值：

73∘=34∘+∠ADE，

∠ADE=73∘−34∘，

∠ADE=39∘.故答案为：C.【分析】先根据等腰三角形AB=AC和顶角∠A=34∘，利用三角形内角和，求出底角∠ABC的度数；由折叠的性质得到∠CED=∠ABC；利用三角形外角定理：∠CED是△ADE的外角，∠CED=∠A+∠ADE，变形求出∠ADE.9．【答案】B【解析】【解答】解：∵正方形，，∴，∵正方形，，∴，∴，由题意得，∴，∴，即，解得，故选：B．【分析】根据正方形性质可得，，根据边之间的关系可得DG，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.10．【答案】D【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，

∴∠CAD=∠CAB=45°，DC=CB=DA=BA，∠D=∠DCB=∠BAD=∠B=90°，

∴△FDA≌△EBA，

∴∠FAD=∠EAB，FD=EB，

∴∠CAF=∠CAE，

∴垂直平分，①正确；

∵，

∴∠FAE=60°，

∴为等边三角形，②正确；

∵，

∴∠FAD=∠EAB=∠CAF=∠CAE=22.5°，

∴∠AEB=67.5°，

∵DF=EB，CD=BC，

∴EC=FC，

∴∠FEC=45°，

∴，③正确；

∵，

∴，

∴，

由勾股定理得，

∴，④正确；

∴其中正确的结论有4个，

故答案为：D

【分析】先根据正方形的性质得到∠CAD=∠CAB=45°，DC=CB=DA=BA，∠D=∠DCB=∠BAD=∠B=90°，进而根据三角形全等的判定与性质即可得到∠FAD=∠EAB，FD=EB，进而根据等腰三角形的性质即可判断①；根据题意求出∠FAE=60°，进而即可根据等边三角形的判定判断②；根据题意结合三角形内角和公式即可判断③；先根据题意得到，进而根据勾股定理得到，从而即可判断④。11．【答案】【解析】【解答】确定a的值：将0.000035保留一位整数，得到a=3.5.

确定负指数n：原数0.000035，小数点往后数，到3一共移动了5位，因此n=5.

写成科学记数法：0.000035=3.5×10−5.

故答案为：.

【分析】明确绝对值小于1的小数用科学记数法的形式：a×10−n（1≤a<10，n为原数小数点后到第一个非零数字的位数）；把0.000035写成a，a要满足1≤a<10，得到a=3.5；数原数中小数点到数字3之间有5个0，确定n=5；写成3.5×10−5.12．【答案】4【解析】【解答】已知I=，将R=12代入式子：

I==4.故答案为：4.【分析】明确函数关系式I=，这是反比例函数；把已知电阻值R=12代入解析式；进行分数除法计算，求出电流I的数值。13．【答案】且【解析】【解答】保证二次根式有意义：x+3≥0解得：x≥−3。

保证分式分母不为0：x−1≠0解得：x≠1。

综合两个条件，得到最终取值范围：x≥−3且x≠1.故答案为：且.【分析】该代数式同时包含二次根式和分式，要使式子有意义，需要同时满足两个条件：①二次根式的被开方数必须是非负数（大于或等于0）；②分式的分母不能等于0。根据两条约束条件，分别列出不等式；联立两个不等式，求出x的取值范围.14．【答案】【解析】【解答】将n=120，r=6代入扇形面积公式：

S==12π.故答案为：.【分析】回忆扇形面积公式：S扇形=，n是圆心角度数，r为扇形半径；确定题目中n=120∘，r=6；把数值代入公式进行计算，化简求出扇形面积.15．【答案】8【解析】【解答】解：，，，故答案为：．【分析】本题根据条件中的展开式，将中的x=x、b=2找到规律并对应，即可得出答案。16．【答案】【解析】【解答】已知CF=2，BE=2CF，

∴BE=4.

过H作HN∥AB，交AD于N.

∵H为DE中点，

∴HN是△ADE的中位线，

∴HN=AE，DN=AN.

∵HN∥DC，

可证△HNM≌△FDM(AAS)，

∴HN=DF.

设矩形AD=y，在Rt△ABD中，∠ABD=30∘，

∴BD=2y，AB=y.

AE=AB−BE=y−4，DF=DC−CF=AB−CF=y−2.

∵HN=AE=DF，列方程：

(y−4)=y−2；

y−2=y−2；

y=.

∴AD=，AB=×=6.

AE=6−4=2，

DF=6−2=4.

以D为原点，DC为x轴，DA为y轴：

D(0，0)，A(0，)，B(6，)，C(6，0)，

E在AB上：E(2，)，F在DC上：F(4，0).

H是DE中点，由中点坐标公式：

，即H(1，).

①直线FM经过H(1，)、F(4，0)，设解析式y=k1x+b1，

代入两点：，

解得：k1=−，b1=，

∴直线FM：y=−x+，

②直线BD经过D(0，0)、B(6，)，

斜率k2=，

解析式：y=x.

联立，

解得：x=2，y=，

得G（2，）.

两点距离公式：d=，

H(1，)，G（2，），

∴HG==.故答案为：【分析】先根据CF的长度，求出BE，再利用“H是DE中点、M、H、F三点共线”，构造全等三角形，结合矩形性质，解含30∘的直角三角形，求出矩形AB、AD边长；建立平面直角坐标系，写出D、E、F、H的坐标，求出直线FM、直线BD的函数解析式；联立两个一次函数解析式，求得交点G的坐标；利用两点间距离公式，计算HG的长度.17．【答案】由①+②，消去y：x+2x−3y+3y=4+(−1)；

3x=3

x=1.

把x=1代入①式：1−3y=4；

−3y=4−1

−3y=3

y=−1.

∴方程组的解为.【解析】【分析】观察二元一次方程组，两个方程里−3y和+3y互为相反数，适合用加减消元法；把两个方程左右两边分别相加，消去未知数y，得到只含x的一元一次方程；解一元一次方程，求出x的值；再将x的值代入任意一个原方程，求出y的值，得到方程组的解.18．【答案】证明：平行四边形中，，，，，四边形是平行四边形，，，．【解析】【分析】根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质得到，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明得到四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质得到，等量代换即可得出，解答即可．19．【答案】解原式=

=

=

=.

其中

.

将x代入

=

=.【解析】【分析】先对括号里第二个分式的分母因式分解，将除法运算转化为乘法运算；对括号内两个分式通分，进行分式减法运算，再约分，把原式化简成最简分式；利用特殊锐角三角函数值，算出x的数值；将x代入最简分式，求出最终结果.20．【答案】（1）解：（人）即随机抽取的学生人数为50人；（2）8；144（3）70（4）解：（人）即估计此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数为576人．【解析】【解答】解：（2）解：，扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为：，故答案为：8，144；（3）解：将50人成绩从低到高排序，第25和26人的平均分为中位数，，，第25和26人在D组，结合D组数据可得第25和26人成绩均为70分，抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为70分，故答案为：70；

【分析】（1）根据B组人数及B组所占的百分比，即可列式计算，得出抽取的总人数；

（2）从抽取的综合人数里边减去其他各组人数，即可得出C组人数，即m的值；并用360°乘以B组所占的百分比，即可得出扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角；

（3）根据中位数的定义及各组的人数，首先确定中位数在D，然后根据A，B，C组的人数及D组的具体成绩排序，找到第25和26人成绩即可得出中位数；

（4）体育测试成绩达到60分及以上的学生，也就是D组和E组的学生，首先根据抽取的学生，求出这两组所占的百分比，进而即可估计该校八年级800名学生中体育测试成绩达到60分及以上的学生人数．21．【答案】（1）证明：如图，连接，，，，，，，在和中，，，，与相切；（2）解：如图，连接交于点D，，，，垂直平分，，，，，，，，是的直径，，，．【解析】【分析】（1）连接，利用等边对等角和“两直线平行、同位角相等、内错角相等”，综合推出，进而利用SAS证明，对应角相等从而得出，此时结合切线的判定即可证明与相切；（2）由（1）的全等三角形的性质得出，，从而推出垂直平分，接着利用勾股定理列式计算出BP=4，然后利用等面积法求出=，进而求出=，由圆周角定理得，最后放到中，用勾股定理即可求出AC。（1）证明：如图，连接，，，，，，，在和中，，，，与相切；（2）解：如图，连接交于点D，，，，垂直平分，，，，，，，，是的直径，，，．22．【答案】（1）∵E、G分别是AB、AC的中点，

∴EG是△ABC的中位线，

∴EG∥BC，EG=BC。

∵F、H分别是CD、BD的中点，

∴FH是△DBC的中位线，

∴FH∥BC，FH=BC。

∴EG∥FH，EG=FH。

∴四边形EGFH是平行四边形.（2）菱形，理由：点G、F分别为AC、CD中点，

∴GF是△ACD的中位线，

∴GF=AD。

已知AD=BC，又EG=BC，

∴GF=EG。

又∵四边形EGFH是平行四边形，

∴平行四边形EGFH是菱形.（3）由（2）得：EG=BC=×8=4，

∵四边形EGFH是菱形，

∴EG=EH=4.

∵EG=EH，∠GEH=60∘，

∴△EGH是等边三角形，GH=EG=4.

设对角线EF、GH交于点O，菱形对角线互相垂直平分：GO=GH=2，EO⊥GO.

在Rt△EOG中：EO===.

对角线EF=2EO=.

S菱形EGFH=×GH×EF=×4×=.【解析】【分析】（1）由E、G分别为AB、AC中点，F、H分别为CD、BD中点，利用三角形中位线定理，得到EG∥BC、EG=BC，FH∥BC、FH=BC，推出EG∥FH且EG=FH，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

（2）再取另一组中位线GF，由G、F为AC、CD中点，得GF=AD；结合AD=BC，得到GF=EG；平行四边形有一组邻边相等，即为菱形。

（3）先由中位线求出菱形边长EG=BC=4；菱形邻边相等，加上夹角∠GEH=60∘，可判定△EGH为等边三角形，得到一条对角线GH=4；利用勾股定理求出另一条对角线的一半，得到完整对角线长；用菱形面积公式：S=×对角线乘积，计算面积。23．【答案】（1）解：过F作FH⊥CH，

∵矩形ABCD，BC=2cm，GE=1.5cm，CF=6cm，∠FCD=150∘.

∴∠FCH=180∘−150∘=30∘，

在Rt△FHC中，FH=CF=×6=3cm.

F到底座MN总距离：GE+BC+FH=1.5+2+3=6.5cm.

压杆端点到底座的距离为.（2）过点C作CH⊥MN，垂足为H。

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB⊥BC，∠ABC=90∘。

∵∠GBE=15∘，即直线AB与底座MN的夹角为15∘，

∴直角边BC与MN的夹角为90∘−15∘=75∘。

在Rt△BCH中，BC=2cm，∠CBH=75∘：

CH=BC⋅sin75∘=BC⋅cos15∘≈2×0.97=1.94cm

过点C作CK∥MN（水平向右），

∵CD∥AB，

∴CD与水平向左方向的夹角为15∘，即∠DCK=180∘−15∘=165∘。

又∵∠FCD=150∘，

∴∠FCK=∠DCK−∠FCD=165∘−150∘=15∘。

过点F作FP⊥CK，垂足为P，

在Rt△CPF中，CF=6cm，∠FCP=15∘：

FP=CF⋅sin15∘≈6×0.26=1.56cm

即点F比点C竖直高出1.56cm。

因此：F的高度=CH+FP≈1.94+1.56=3.5cm

​​​​​​即压杆端点到底座的高度为.【解析】【分析】（1）过F作FH⊥CK延长线于H；由矩形ABCD得BC⊥AB，AB∥MN，GE⊥MN，所以BC、GE都是竖直高度；∠FCD=150∘，则∠FCH=180∘−150∘=30∘，在Rt△CHF中用30∘直角三角形性质求FH；总高度=GE+BC+FH.

（2）由∠GBE=15∘结合矩形邻边垂直，推导出BC边与底座MN的夹角为75∘，利用三角函数求出点C相对于点B的竖直高度；过C作MN的平行线，结合CD∥AB、∠FCD=150∘，推导出CF与水平线的夹角为15∘，利用三角函数求出F相对于C点的竖直上升高度；点B在MN上（高度为0），将两段竖直高度相加，得到F到底座的总高度.24．【答案】（1）①√；②√；③×（2）设一次函数y=kx+b为对偶函数，则存在点(x，kx+b)，其对偶点(−kx−b，−x)也在直线上，

代入得：−x=k(−kx−b)+b，

整理：(k2−1)x+b(k−1)=0，即(k−1)[(k+1)x+b]=0.

若k≠1，方程仅有唯一解x=，代入验证得x+y=0，为无效解，不构成对偶函数；

若k=1，方程恒成立，存在无数满足x+y≠0的点，构成对偶函数.

因此两个一次函数斜率均为1，即y=x+b1、y=x+b2，

对y=x+b1：

与x轴交点：(−b1，0)；

与y轴交点：(0，b1)

面积S1=⋅|b1|⋅|−b1|=b12

同理S2=b22，

总面积：S=S1+S2=.（3）由题意，点(x，y)与对偶点均在抛物线上，

因此：y=2ax2−1(1)−x=2ay2−1(2)

(1)−(2)得：y+x=2a(x2−y2)，因式分解：(x+y)−2a(x−y)(x+y)=0(x+y)⋅[1−2a(x−y)]=0

由对偶点要求x+y≠0，因此只能1−2a(x−y)=0，即y=x−12a。

将y=x−12a代入抛物线解析式：2ax2−1=x−12a整理为一元二次方程：2ax2−x+12a−1=0

函数为对偶函数，要求方程有实根，且对应点满足x+y≠0。计算判别式：

△=(−1)2−4⋅2a⋅12a−1=1−4+8a=8a−3

当△=0即a=38时，方程有唯一解，验证得该解满足x+y=0，为无效解，舍去；

当△>0即a>38时，方程有两个不同实根，均满足x+y≠0，为有效对偶点。

最终结论

a的取值范围：a>38【解析】【解答】①函数y=（k是非零常数），

任取反比例函数上一点（x1，），其对偶点为（-，-x1）。

将对偶点横坐标代入函数：y==−x1，与对偶点纵坐标完全一致，说明对偶点一定在图象上。

只要满足x1+≠0（即x12≠−k），

就构成有效对偶点，这样的点有无数个。

结论：①正确（√）

②函数y=−2x+1，

假设存在对偶点，取点(x1，−2x1+1)，其对偶点为(2x1−1，−x1)，

代入直线方程：−x1=−2(2x1−1)+1

解得x1=1，对应点为(1，−1)，

此时x1+y1=1+(−1)=0，不符合x1+y1≠0的要求，无有效对偶点。

结论：②正确（√）

③函数y=x2+x−1，

设抛物线上一点(x，x2+x−1)，对偶点(−x2−x+1，−x)

也在抛物线上，代入得：−x=(−x2−x+1)2+(−x2−x+1)−1

整理后因式分解可得仅一对有效对偶点(1，1)与(−1，−1)，其余解均满足x+y=0，为无效解。

因此仅存在一对有效对偶点，不满足“至少两对”。

结论：③错误（×）

故答案为：①√；②√；③×

【分析】（1）对每个函数，任取图象上一点(x，y)，求出其对偶点(−y，−x)，验证对偶点是否也在函数图象上；结合x+y≠0的条件，判断有效对偶点的数量，进而判断说法正误.

（2）由一次函数是“对偶