广东中山市2026年九年级下学期限时训练数学试卷附答案

九年级下学期限时训练数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．2026的相反数是()A．-2026 B．2026 C． D．2．下列几何体的俯视图是三角形的是（）A． B．C． D．3．清代·袁枚的一首诗苔中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为（）A． B． C． D．4．若，则下列式子中正确的是（）A． B．C． D．5．抛物线的对称轴是直线（）A． B． C． D．6．下列计算正确的是（）A．2x+3y=5xy B．C． D．7．已知某产品的利润为元件，每天销量为件，通过市场调研，发现该产品在此基础上售价每上升元件时，每天销量下降件．设某天的售价上升元件时，该天的利润达元，则可列方程()A． B．C． D．8．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式的解集，某同学绘制了与（m，n为常数，）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（）A． B．C． D．9．将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（）A． B．C． D．10．如图，二次函数的图像过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中，错误的结论是（）A．① B．② C．③ D．④二、填空题（每小题3分，共15分）11．使式子有意义的的取值范围是．12．分解因式：3x2-6x=.13．正比例函数的图象过二、四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是．14．如图，在平面直角坐标系中，和是以O为位似中心的位似图形，A，B两点的坐标分别为，．点A的对应点C的坐标是，则点D的坐标是．15．“温室大棚春意浓，花果飘香醉眼瞳”．近年来，邳州市通过大棚种植技术（如图1），大力推进农业现代化转型．小华家有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足，现测得A，B两墙体之间的水平距离为8米，则大棚的最高处到地面的距离为米．三、解答题（一）（每小题7分，共21分）16．计算：17．解不等式组：并写出该不等式组的最大整数解．18．下面是小李化简分式的过程：解：原式…………第一步……………第二步……………第三步……………第四步（1）小李的化简过程中，涉及分式的通分的步骤是第__步，涉及分式约分后得到结果的步骤是第___步；（2）小李的化简过程从第____步开始出现错误；（3）请你写出正确的化简过程，并从，，中选择一个合适的数代入求值．四、解答题（二）（每小题9分，共27分）19．如图，在矩形中，E为边上的一点，于点F．（1）证明：；（2）若，求的长．20．【活动背景】如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为．【问题解决】（1）请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，）（2）请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪）21．【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．【素材呈现】素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高；素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个；素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的．【问题解决】（1）问题一：求出两种书架的单价；（2）问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案；（3）问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值．五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共24分）22．【问题背景】随着智能家电的普及，扫地机器人进入我们的视野．如图为某品牌的圆形扫地机器人，其主要由电源、充电设备、电机、机械结构、传感设备等构成．【数学建模】某兴趣小组发现，该圆形扫地机器人的运动路径满足反比例函数关系．因此，将该扫地机器人视作半径为2的圆，圆心为P，该小组以充电设备为原点，建立如图的平面直角坐标系，图中的曲线即为该扫地机器人圆心P的运动路径（）．【问题解决】（1）若在扫地机器人的运动路径上，圆心会经过一污迹，求该运动曲线的函数解析式；（2）在（1）的条件下，已知在扫地机器人运动轨迹的不远处有一障碍物，求当点，，在一条直线上时，扫地机器人是否会触碰到障碍物；（3）若以，，为顶点的三角形的面积为，求此时机器人的圆心的坐标．23．如图①已知抛物线的图象与轴交于、两点（在的左侧），与轴的正半轴交于点，连接，二次函数的对称轴与轴的交点为．（1）抛物线的对称轴与轴的交点坐标为____，点的坐标为____，点的坐标为____；（2）若点到轴的距离与它到直线的距离相等，试求出抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，如图②是轴的正半轴上一点，过点作轴的平行线，与直线交于点，与抛物线交于点，连接，将沿翻折，的对应点为．在图②中探究：是否存在点，使得恰好落在轴上？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由．

答案1．【答案】A【解析】【解答】解：2026的相反数是，故选：A．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可．2．【答案】D【解析】【解答】解：A、该几何体俯视图是四边形，此选项不符合题意；B、该几何体俯视图是圆，此选项不符合题意；C、该几何体俯视图是带圆心的圆，此选项不符合题意；D、该几何体俯视图是三角形，此选项符合题意．故选：D．【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.3．【答案】B【解析】【解答】解：∵将转化为时，需满足，可得，∵原数小数点向右移动6位得到，∴，即．

故答案为：B【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数.4．【答案】C【解析】【解答】解：∵，A、，原选项错误，不符合题意；B、，原选项错误，不符合题意；C、，原选项正确，符合题意；D、，原选项错误，不符合题意；故选：C．【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.5．【答案】A【解析】【解答】解：，∴对称轴为直线，故选：A．【分析】根据二次函数的对称轴公式即可求出答案.6．【答案】D【解析】【解答】解：A：左边不是同类项，不能合并，所以A计算不正确；

B：，所以B计算不正确；

C：，所以C计算不正确；

D：，所以D计算正确故答案为：D.【分析】根据合并同类项法则，可得出A不正确；根据同底数幂的乘法，可得出B不正确；根据积的乘方和幂的乘方可得出C不正确；根据完全平方公式可得出D正确。7．【答案】D【解析】【解答】解：设某天的售价上升元件，依题意，每件利润为元．上升元后，日销量下降件，此时日销量为件．可列方程为．

故答案为：D

【分析】本题考查一元二次方程的销售利润应用，总利润=单件利润×销售量，售价上升元后单件利润为，销量随售价上升每2元降4件，上升元销量降件，此时销量为，据此列方程。8．【答案】C【解析】【解答】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的下方，∴关于的不等式的解集是．在数轴上表示的解集，只有选项C符合，故答案为：C．【分析】当图象在图象上方时，有，结合函数图象即可求出答案.9．【答案】D【解析】【解答】解：由折叠可得：，，∴，故A正确，不符合题意；∴，∴，，∴，，∴，∴，故B正确，不符合题意；∵，∴，，∴，，∴，故C正确，不符合题意；∵，∴，，，∴，故D错误，符合题意，故选：D．【分析】根据折叠性质可得，，根据直线平行判定定理可判断A，根据新相似三角形判定定理及性质，结合边之间的关系逐项进行判断即可求出答案.10．【答案】C【解析】【解答】解：由题意知，，，∴，∴，①正确，故不符合要求；由题意知，关于对称轴对称的点坐标为，∴当时，，②正确，故不符合要求；∵，∴，将代入得，，③错误，故符合要求；∵，∴、关于对称轴对称，则，④正确，故不符合要求；故选：C．【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系，二次函数的对称性逐项进行判断即可求出答案.11．【答案】【解析】【解答】解：式子有意义，∴，解得，．

故答案为：

【分析】本题以二次根式为背景，考查了二次根式有意义的条件。根据被开方数非负，即x-20260，解不等式得到x的取值范围。12．【答案】3x（x-2）【解析】【解答】解：3x2-6x=3x（x-2）.

故答案为：3x（x-2）.

【分析】观察多项式可知每一项都有公因式3x，所以可用提公因式法分解因式.13．【答案】有两个不相等的实数根【解析】【解答】解：∵正比例函数的图象经过第二，四象限，∴．在一元二次方程中，则，∵，∴，所以一元二次方程有两个不相等的实数根．

故答案为：有两个不相等的实数根【分析】根据正比例图象与系数的关系可得，再根据二次方程判别式，可得方程有两个不相等的实数根.14．【答案】【解析】【解答】解：∵和是以O为位似中心的位似图形，A点的坐标为，点A的对应点C的坐标是，∴．∴相似比为．∵B点的坐标为，∴，．∴点D的坐标为．故答案为：．【分析】根据位似图形性质即可求出答案.15．【答案】【解析】【解答】解：根据题意，点A的坐标为，点B的坐标为，将A，B两点坐标代入，则，解得：，，∵，∴当时，y有最大值为，则大棚的最高处到地面的距离为米，故答案为：．【分析】根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式可得，再根据二次函数性质即可求出答案.16．【答案】解：原式=.【解析】【分析】由特殊角的三角函数值可得sin60°=，由0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（）0=1，由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（）-1=4，然后根据二次根式的混合运算法则计算即可求解.17．【答案】解：，

解不等式①得，

解不等式②得，

∴不等式组的解集为，

∴不等式组的最大整数解是-3．【解析】【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点，分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不了（无解）”确定不等式组的解集，最后在不等式解集范围内确定不等式组的最大整数解即可．18．【答案】（1）一，四（2）二（3）解：原式．∵∴，∴，当时，原式．【解析】【解答】（1）小李的化简过程中，涉及分式的通分的步骤是第一步，涉及分式约分后得到结果的步骤是第四步；

故答案为：一，四（2）小李的化简过程从第二步开始出现错误；

故答案为：二【分析】（1）根据分式通分及约分的方法即可求出答案.（2）根据化简过程即可得出开始出现错误的步骤；（3）根据分式的混合运算，结合平方差公式化简，结合分式有意义的条件择值计算即可求出答案.（1）小李的化简过程中，涉及分式的通分的步骤是第一步，涉及分式约分后得到结果的步骤是第四步；（2）小李的化简过程从第二步开始出现错误；（3）解：原式．∵∴，∴，当时，原式．19．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形；，，，于点，，，．（2）解：，，，，，，的长是．【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得，，则，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.

（2）根据勾股定理可得EA，再根据相似三角形性质可得，代值计算即可求出答案.（1）证明：∵四边形是矩形；，，，于点，，，．（2）解：，，，，，，的长是．20．【答案】（1）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形，由题意可知，，，，，，在中，，，在中，，，，，答：建筑物的高度约为，建筑物的高度约为；（2）解：平面示意图如下：用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为．在中，，在中，，【解析】【分析】（1）过点作于点，则四边形是矩形，由题意可知，，，，则，，解直角三角形可得AC，CE，再根据边之间的关系即可求出答案.

（2）解直角三角形即可求出答案.（1）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形，由题意可知，，，，，，在中，，，在中，，，，，答：建筑物的高度约为，建筑物的高度约为；（2）解：平面示意图如下：用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为．在中，，在中，，21．【答案】（1）解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元．由题意得，解得，经检验，是分式方程的解，且符合题意，．答：两种书架的单价分别为1200元，1000元．（2）解：购买a个A种书架时，购买总费用，即，

由题意得，a应满足：，解得．

，

∴w随着a的增大而增大，

当时，w的值最小，最小值为，

费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个．（3）解：由题意得，解得．【解析】【分析】（1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元，由相等关系“用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个”列出方程并求解即可；（2）先利用不等关系“A种书架数量不少于B种书架数量的”列不等式可求出a的取值范围，再根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用即可得出总费用是关于的一次函数，再根据一次函数的增减性即可求出总费用的最小值；（3）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用列出一元一次方程并求解即可．（1）解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元．由题意得，解得，经检验，是分式方程的解，且符合题意，．答：两种书架的单价分别为1200元，1000元．（2）解：购买a个A种书架时，购买总费用，即，由题意得，a应满足：，解得．，∴w随着a的增大而增大，当时，w的值最小，最小值为，费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个．（3）解：由题意得，解得．22．【答案】（1）解：设，∵过∴，∴；（2）解：设直线为，∵在上，∴，∴，∴直线为，联立，解得或（舍去），∴∴∴扫地机器人不会触碰到障碍物；（3）解：分别过、作轴，轴于，设，∵，∴，∴，当点在点的右侧时，，，解得或（舍去），当时，，∴，当点在点的左侧时，，，解得或（舍去），当时，，∴，综上，机器人的圆心的坐标为或．【解析】【分析】（1）设，根据待定系数法将点A坐标代入解析式即可求出答案.

（2）设直线为，根据待定系数法将点B坐标代入解析式可得直线为，再联立反比例函数解析式可得点P坐标，再根据两点间距离可得PB，再比较大小即可求出答案.

（3）分别过、作轴，轴于，设，根据割补法可得，结合三角形，梯形面积建立方程，解方程即可求出答案.（1）解