湖南省长沙市宁乡市2026年中考数学一模试卷附答案

中考数学一模试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．2026的倒数是（）A．2026 B． C． D．-20262．蟠纹盛行于春秋晚期至战国，象征着生命和智慧.下列与蟠纹相关的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A． B．C． D．3．2026年2月10日，小行星2026CS飞掠地球时，与地球最近距离约为1087000千米，将数据1087000用科学记数法表示正确的是()A． B．C． D．4．下列运算正确的是()A．2a-a=2 B．C． D．5．在宁乡某中学第二届校园歌手大赛中，某组参赛选手得分如下(单位：分)：9，7，7，8，6，9，7，则该组参赛选手得分的中位数是()A．6 B．8 C．7 D．96．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=56°，则∠ACB等于()A．56° B．28° C．20° D．18°7．若关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为()A．k≥1 B．k>1 C．k≤1 D．k<18．若反比例函数的图象经过点(-2，3)，则该函数图象还经过点()A．(6，1) B．(-1，-6)C．(-3，-2) D．(2，-3)9．如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB=∠FOB=23.5°.夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角∠IFH(即平行于GD的光线HF与⊙O的切线FI所成的锐角)的大小为()A．23.5° B．43° C．47° D．66.5°10．如图，在同一平面内放置的Rt△EFG和矩形ABCD，EG与AB重合，FG=3cm，AB=4cm，BC=5cm，Rt△EFG以1cm/s的速度沿BC方向匀速运动，当点F与点C重合时停止，在运动过程中，Rt△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积S(cm2)与运动时间t(s)之间的函数关系图象大致是()A． B．C． D．二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.12．不等式组的解集是.13．若分式的值为0，则x的值为．14．宁乡炭河里遗址博物馆计划制作一个圆锥模型，底面半径为3cm，母线长为5cm，则该圆锥的侧面积为cm2(结果保留π).15．如图，已知线段AB=8cm，分别以点A，B为圆心，以5cm为半径画弧，两弧相交于点C，D，连接AC，BC，AD，BD，则四边形ACBD的面积为.16．在数学游艺会上，小宁负责一个游戏项目，他准备了50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，…，49，50.游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下，按逆时针方向围成一圈，放置在桌上(如图)，将这五张卡片分别记为A，B，C，D，E.小宁依次将每张卡片与它逆时针方向每隔一张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大.如表是小宁抽取的五张卡片中按游戏规则得到的两张卡片上的数的和.卡片组合B，DC，ED，AE，BA，C两数的和7570655977则这五张卡片上数字最大的是(填A，B，C，D，E).三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．计算：18．先化简，再求值：3a-a(a+1)+(a+2)(a-2)，其中a=-1.19．我国生产的无人机畅销世界，在长沙某跨江大桥修建过程中，需要测量湘江某段河面宽度MN，工作人员操控无人机在P处测得M，N两处的俯角分别为α=45°，β=30°，测得无人机离水平地面的高度PQ为300米，且Q，M，N三点在同一条水平直线上，求这条河的宽度MN为多少米?(参考数据：≈1.73，结果保留整数).20．第十五届全运会落幕，湖南接过会旗，全运会进入“湖南周期”，体育湘军在赛场上的拼搏精神点燃了校园运动热潮.学校体育组针对4类全运会湖南热门优势项目A，B，C，D，随机抽取部分学生调查统计，绘制成两幅不完整的统计图.请根据图中信息，完成下列问题：（1）本次调查共抽取名学生；扇形统计图中C类项目所占圆心角为度；（2）补全条形统计图；（3）学校从关注热度较高的学生中选拔出4名“校园体育推广员”，其中3人关注A类项目，1人关注B类项目，现从这4人中随机选择2人在校体育节开幕式上分享运动心得，求恰好抽到关注A，B两类项目各1人的概率.21．如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，AB=CD，E是CD的中点，连结AE.（1）求证：四边形ABCE是平行四边形.（2）若AD=6，AC=6，求四边形ABCE的面积.22．为满足学生的运动需求，充分发挥课间15分钟的价值，学校计划购置一批羽毛球拍和跳绳若干套.已知购买1副羽毛球拍和4根跳绳共需140元，购买2副羽毛球拍和3根跳绳共需205元.（1）求每副羽毛球拍、每根跳绳的单价；（2）商家活动：羽毛球拍打八折，跳绳不打折.根据学校需求，计划购买两种器材共60件，且羽毛球拍数量不少于跳绳数量的.应如何购买才能使总费用最少?最少费用是多少?23．如图，△ABC的三个顶点都在以BD为直径的半圆上，AB=AC，连接DA并延长至点E，交BC于点F，且AE=AF，连接BE.（1）求证：BE是该半圆的切线；（2）若BD=12，∠AFB=60°，求CF的长.24．在矩形ABCD中，E是边AB上一点(不与端点重合)，以BE为边在矩形ABCD内部构造矩形BEGF，使得连接DG.（1）如图1，当m=1时，求的值；（2）如图2，将矩形BEGF绕点B顺时针旋转θ(0°<θ<30°)，连接AE，当时，求的值；（3）如图3，矩形BEGF在旋转的过程中，当点G落在BC边上时，D，G，F三点共线.若求AE的长.25．我们约定：如果一个函数的图象与y轴交于点(0，c)，我们就说该函数是“c点函数”.例如：函数y=x+2026与y轴相交于点(0，2026)，我们就说函数y=x+2026是“2026点函数”.根据约定，解答下列问题：（1）判断下列函数是否一定是“3点函数”(填“√”或“×”).①；②y=2x-3；③.（2）若一次函数(其中x是自变量，y是x的函数)是“t点函数”，求证：无论t取何值，该函数的图象一定经过第三象限.（3）已知二次函数是“2点函数”，该函数的图象与x轴相交于点A(-m，0)，B(2m，0)两点，与y轴相交于点C，且点P是该函数图象在第一象限内的动点，线段AP与线段BC相交于点Q，当点P运动时，若满足时，试求点P的坐标.

答案1．【答案】C【解析】【解答】解：2026的倒数是

故选：C.

【分析】利用倒数的定义求解即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：选项A、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

选项B、该图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

选项C、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；

选项D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意.故答案为：D.【分析】轴对称图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合；中心对称图形绕着某点旋转180°后，能与原来的图形完全重合，据此逐项判断即可.3．【答案】A【解析】【解答】解：1087000=1.087×106，故答案为：A.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.4．【答案】C【解析】【解答】解：选项A、2a-a=a≠2，则选项A错误；

选项B、、不是同类二次根式，不能合并，则选项B错误；

选项C、a6÷a4=a6-4=a2，则选项C正确；

选项D、(a-b)2=a2-2ab+b2≠a2-b2，则选项D错误；故答案为：C.【分析】根据合并同类项法则、二次根式的减法法则、同底数幂的除法法则以及完全平方公式对各选项进行分析.5．【答案】C【解析】【解答】解：将这组数据从小到大排列得：6、7，7、7，8，9，9

则该组数据的中位数为7，故答案为：C.【分析】将数据按从小到大排序后，根据数据个数的奇偶性确定中间位置的数，得到中位数.6．【答案】B【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形

∴OB=OC.

∴∠OBC=∠ACB，

∵∠AOB是△OBC的外角，∠AOB=56°

∴∠AOB=∠ACB+∠OBC=2∠ACB=56°

∴∠ACB=28°故答案为：B.【分析】首先根据矩形的对角线相等且互相平分可得OB=OC，根据等边对等角可得∠OBC=∠ACB，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠AOB=∠ACB+∠OBC=2∠ACB=56°，即可解答.7．【答案】D【解析】【解答】解：由条件可知∆=(-2)2-4k>0

∴k<1.故答案为：D.【分析】根据方程有2个不相等的实数根，得到∆>0，进行求解即可.8．【答案】D【解析】【解答】解：将点(-2，3)代入反比例函数(k≠0)得：

解得：k=-6，

则该反比例函数图象上的点满足xy=-6，

A选项：6×1=6≠-6，不符合要求；

B选项：(-1)×(-6)=6≠-6，不符合要求；

C选项：(-3)×(-2)=6≠-6，不符合要求；

D选项：2×(-3)=-6，符合要求.故答案为：D.【分析】先根据反比例函数图象经过的点P(-2，3)，求出反比例函数的表达式，再将各选项中的点代入函数表达式，看是否满足函数关系，从而判断该点：是否在函数图象上.9．【答案】B【解析】【解答】解：∵∠DOB=∠BOF=23.5°，

∴∠DOF=∠DOB+∠FOB=47°，

∵GD//FH，

∴∠OFH=180°-∠DOF=133°，

∵FI是⊙O的切线，

∴FI⊥OF，

∴∠OFI=90°，

∴∠IFH=∠OFH-∠OFI=43°.故答案为：B.【分析】先求∠DOF的度数，再利用平行线的性质得∠OFH，最后计算∠IFH.10．【答案】B【解析】【解答】解：当0≤t≤3时，如图所示，此时，

当3<t≤5时，如图所示，

此时

当5<t≤8时，如图所示，

此时

故答案为：B.【分析】观察四个选项，可以看出四个函数图象在0≤t≤3范围内对应的函数图象各不相同，所以只需得到当0≤t≤3时，S与t之间的函数关系式，即可作出判断.11．【答案】x≥-2【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义，

∴2x+4≥0，

∴x≥-2.故答案为：x≥-2.【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出一元一次不等式求解即可.12．【答案】-2≤x<3【解析】【解答】解：

解不等式①得：x<3

解不等式②得：x≥-2

因此，原不等式组的解集为-2≤x<3.故答案为：-2≤x<3.【分析】分别求解不等式组中两个一元一次不等式，取两个解集的公共部分，即可得到该不等式组的解集.13．【答案】3【解析】【解答】解：由x2-9=0，得x=±3．又∵x+3≠0，∴x≠-3，因此x=3．故答案为3．【分析】根据分式值为0的条件，结合分式有意义的条件即可求出答案.14．【答案】15π【解析】【解答】解：由题意得：这个圆锥的侧面积是

3×5×π=15πcm2故答案为：15π.【分析】根据圆锥的侧面积公式S=πrl进行计算即可.15．【答案】【解析】【解答】解：连接CD交AB于点O，如图，由作法AC=BC=AD=BD=5cm，

∴四边形ACBD为菱形，

∴AB⊥CD，，OC=OD

在Rt△AOC中，(cm)

∴CD=2OC=6cm，

∴四边形ACBD的面积(cm2)

故答案为：.【分析】利用基本作图得到AC=BC=AD=BD=5cm，则可判断四边形ACBD为菱形，根据菱形的性质得到AB⊥CD，，OC=OD，接着利用勾股定理计算出OC的长，然后根据菱形的面积公式计算.16．【答案】C【解析】【解答】解：设A，B，C，D，E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e，

则

∵由①+②+③+④+⑤得2(a+b+c+d+e)=75+70+65+59+77，

则a+b+c+d+e=173，

∴a=173-(①+②)=173-(75+70)=28，

b=173-(②+③)=173-(70+65)=38，

c=173-(③+④)=173-(65+59)=49，

d=173-(④+⑤)=173-(59+77)=37，

e=173-(①+⑤)=173-(75+77)=21，

∵21<28<37<38<49，

∴这五张卡片上数字最大的是C.故答案为：C.【分析】设A，B，C，D，E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e，由题意得到关于a，b，c，d，e的方程组，求出a+b+c+d+e=173，然后作差表示出a，b，c，d，e即可得结论.17．【答案】解：原式=3-1+1-1

=2【解析】【分析】分别计算算术平方根、特殊三角函数值、零指数幂和负整数指数幂，再进行加减运算.18．【答案】解：3a-a(a+1)+(a+2)(a-2)

=3a-a2-a+a2-4

=2a-4

当a=-1时，原式=2×(-1)-4=-6【解析】【分析】利用平方差公式、单项式与多项式相乘的运算法则化简式子，再将a=-1代入化简后的式子计算即可.19．【答案】解：∵PA//QN，

∴∠PNQ=β=30°，∠PMQ=α=45°

∴在Rt△PMQ中，

(米).

在Rt△PQN中，

(米)

∴(米).

答：这条河的宽度MN为219米.【解析】【分析】在Rt△PMQ和Rt△PQN中，利用锐角三角函数，求出QN和QM的长，然后计算出MN的长即可.20．【答案】（1）200；36（2）解：B类项目的人数为200-80-20-40=60(人)

补全条形图为：

（3）解：画树状图如下，

共有12种等可能的结果，其中恰好抽到使用A、B两类项目各1人的结果有6种

∴恰好抽到使用A、B两类项目各1人的概率为【解析】【解答】解：(1)本次调查抽取的学生人数为40÷20%=200(人)

C类项目所占圆心角为

故答案为：200，36.

【分析】(1)通过D类的人数与占比求总人数，再由C类人数与总人数的比求圆心角；

(2)计算B类人数后补全条形图；

(3)画树状图列举所有可能结果，计算符合条件的概率.21．【答案】（1）证明：∵∠BAC=∠ACD=90°，∴AB∥EC，∵点E是CD的中点，∴AB=EC，∴四边形ABCE是平行四边形（2）解：∵∠ACD=90°，AC=6，

∴，

∵，

∴AB=3

∴S平行四边形ABCE=AB·AC=3×6=18【解析】【分析】(1)根据平行线的判定定理得到AB//EC，推出AB=EC，于是得到结论；

(2)根据勾股定理得到CD=6，求得AB=3，根据平行四边形的面积公式即可得到结论.22．【答案】（1）解：设每副羽毛球拍单价为x元，每根跳绳单价为y元，

根据题意得

解得

答：每副羽毛球拍单价为80元，每根跳绳单价为15元（2）解：设购买羽毛球拍m副，总费用为W元，则购买跳绳(60-m)根

根据优惠规则可得W=80×0.8·m+15(60-m)=64m+900-15m=49m+900

∵羽毛球拍数量不少于跳绳数量的，

∴

解得m≥20

∵49>0

∴W随m的增大而增大

∴当m取最小值20时，取得最小值，此时W=49×20+900=1880(元)，60-m=60-20=40(根)

答：购买20副羽毛球拍，40根跳绳时总费用最少，最少费用为1880元【解析】【分析】(1)设每副羽毛球拍单价为x元，每根跳绳单价为y元，根据题干给出的两种购买总价列出二元一次方程组，求解得到单价；

(2)设购买羽毛球拍m副，总费用为W元，根据优惠规则列出总费用的一次函数解析式，再结合数量限制得到自变量的取值范围，利用一次函数的增减性求出最小总费用和对应的购买方案.23．【答案】（1）证明：∵BD是半圆的直径，∴∠BAD=90°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB

∵∠ACB=∠ADB，

∴∠ABC=∠ADB，

∵∠EAB=180°-∠BAD=180°-90°=90°，

∴∠EAB=∠FAB，在△ABE和△ABF中，∴△ABE≌△ABF(SAS)，

∴∠EBA=∠FBA，

∴∠EBA=∠ADB，

∵∠ABD+∠ADB=90°，

∴∠ABD+∠EBA=90°，即∠EBD=90°，

∴BE⊥BD，∴BE是该半圆的切线（2）解：在Rt△BAF中，∠AFB=60°，

∴∠ABF=90°-∠AFB=90°-60°=30°，

由(1)知，∠ADB=∠ABF=∠EAB，

∴∠ADB=∠EBA=30°，

在Rt△BAD中，∠ADB=30°，

∴，

在Rt△BAF中，，

∵∠CBD=∠EBD-∠EBA-∠ABF=90°-30°-30°=30°，∠ACB=∠ADB=30°

∴∠ACB=∠CBD

∴AC//BD，

∴∠CAD=∠ADB=30°，

∴∠CAD=∠BCA，

∴​​​​​​​【解析】【分析】(1)根据圆周角定理得到∠BAD=90°，利用等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，进而得到∠ABC=∠ADB，易证明△ABE≌△ABF(SAS)，进而得到∠EBA=∠FBA，从而得到∠EBD=90°，进而得到结论；

(2)根据直角三角形的性质得到∠ABF=30°，由(1)知∠ADB=∠ABF=∠EAB=30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出AB、AF长，根据∠ACB=∠CBD证明AC//BD，进而得到∠CAD=∠BCA，从而得到CF=AF.24．【答案】（1）解：如图，连接BG、BD，延长FG交AD于点H，

当m=1时，

∴AB=BC，BE=BF，

∴矩形ABCD和矩形BEGF是正方形，

∴BE//FG，AD//BC//EG，∠A=90°

∴四边形AEGH是矩形，

∴AE=HG

∵BG、BD是正方形ABCD和正方形BEGF的对角线，

∴∠GBC=∠DBC=45°

∴B、G、D三点共线，

∴∠ADB=45°，

在Rt△DHG中，（2）解：如图，连接BG、BD，

∵矩形ABCD和矩形BEGF，

∴∠BAD=∠BEG=90°，AD=BC，EG=BF，EG//BF

∵

∴，，

∴∠ADB=∠EGB=30°

∴∠ABD=∠EBG=60°

∴∠ABE=∠DBG=60°-∠EBD，

∵，

∴

又∵∠ABE=∠DBG，

∴△ABE∽△DBG

∴（3）解：∵，BF=4，

∴BE=3

设AB=3a，BC=4a，

∵矩形ABCD和矩形BEGF，

∴∠BEG=∠FGE=∠C=90°，FG=BE=3，EG=BF=4，AB=CD=3a，

∴，，

∵∠BGF=∠DGC，

∴∠EGB=90°-∠BGF=90°-∠DGC=∠CDG，

∴△BEG∽△GCD，

∴

∴

∴，

∵BC=BG+CG，

∴

解得：

∴，，，

∴

∴cos∠ABD=cos∠EBG

∴∠ABD=∠EBG

∴∠ABE=∠DBG，

∴△ABE∽△DBG，

∴

∴

∴【解析】【分析】(1)连接BG、BD，延长FG交AD于点H，证明矩形ABCD和矩形BEGF是正方形，从而得出B、G、D三点共线，再利用特殊角的正弦值求解即可；

(2)连接BG、BD，利用特殊角的三角函数值得出∠ABE=∠DBG，，从而证明△ABE∽△DBG，即可得解；

(3)设AB=3a，BC=4a，利用矩形的性质求出BG=5，BD=5a，证明△BEG∽△GCD，得出，，再结合BC=BG+CG求出a的值，利用锐角三角雨数，推出△ABE∽△DBG，利用对应边成比例求解即可.25．【答案】（1）解：√；×；×（2）解：若一次函数是“t点函数”，则k=t，整理得，令解得x=-3，此时y=-1，∴无论t取何值，该函数一定经过点(-3，-1)，又∵点(-3，-1)在第三象限，∴无论t取何值，该函数的图象一定经过第三象限（3）解：∵二次函数y=ax2+bx+c是“2点函数”

∴c=2，

∴y=ax2+bx+2，tan∠AQC=2，

∵该函数的图象与x轴相交于点A(-m，0)，B(2m，0)两点，

则y=a(x+m)(x-2m)=a(x2-mx-2m2)=ax2-amx-2am2=ax2+bx+2，

∴b=-am，-2am2=2，

∵m=b2+a+1，

∴m=(-am)2+a+1=a2m2+a+1=-a+a+1=1，

∴点A(-1，0)，B(2，0)，am2=a=-1，

∴b=-am=-(-1)×1=1，

∴函数解析式为y=-x2+x+2，

连接AC，过点C作CE⊥AQ于点E，过点E作EF⊥x轴于点F，过点C作CD⊥EF，交FE的延长线于点D，如图所示：

则OC=OB，∠COB=90°

∴∠CBO=45°，

又∠AOC=90°，OA=1，OC=2，

∴，

∵tan∠AQC=2，