2027年高考数学一轮复习(创新设计)第1节 平面向量的概念及线性运算

课标要求1.了解向量的实际背景.2.掌握平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量的数乘运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.1.向量的有关概念(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量AB的大小就是向量的长度(或称模)，记作|AB|.(2)零向量:长度为0的向量，记作0.(3)单位向量:长度等于1个单位长度的向量.(4)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，记作a∥b.规定:0与任一向量平行.(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律:a＋b＝b＋a(2)结合律:(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求两个向量差的运算三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa(1)|λa|＝|λ||a|;(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同;当λ<0时，λa的方向与a的方向相反;当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa;(λ＋μ)a＝λa＋μa;λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ，使b＝λa.1.中点公式的向量形式:若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝122.OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1.3.解决向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑向量的大小，更要考虑向量的方向;二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)|a|与|b|是否相等和a，b的方向无关.()(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.()(3)向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.()(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.()答案(1)√(2)×(3)×(4)√解析(2)若b＝0，则a与c不一定平行.(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上.2.(人教A必修二P5T3改编)(多选)下列说法错误的是()A.非零向量AB与BA是两平行向量B.若a＝b，b＝c，则a＝cC.若a与b都是单位向量，则a＝bD.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等答案CD解析易知A，B正确;单位向量a与b的方向均不确定，故C错误;两个单位向量平行，它们的方向可能相反，两个向量不相等，故D错误.3.(苏教必修二P47T17改编)已知a，b是两个不共线向量，向量b－ta与12a－32b共线，则实数t＝答案1解析由题意知，存在实数λ，使得b－ta＝λ12则−t＝12λ4.(北师大必修二P89例6改编)如图，点O是▱ABCD外一点，用OA，OB，OC表示OD答案OA解析由于OD＝因此只需将CD用OA而CD＝故OD＝OC＋CD＝OC＋考点一平面向量的概念例1(1)(多选)下列命题正确的有()A.方向相反的两个非零向量一定共线B.零向量是唯一没有方向的向量C.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同D.“若A，B，C，D是不共线的四点，且AB＝DC”⇔“四边形ABCD(2)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使aaA.a＝－b B.a∥bC.a＝2b D.a∥b且|a|＝|b|答案(1)AD(2)C解析(1)方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故A正确;零向量是有方向的，其方向是任意的，故B错误;两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等;但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故C错误;A，B，C，D是不共线的四点，AB＝DC，即模相等且方向相同，即四边形ABCD是平行四边形，反之也成立，故D(2)因为向量aa的方向与向量a方向相同，向量bb的方向与向量b方向相同，且所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a＝2b时，aa故a＝2b是aa＝感悟提升平行向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.(4)非零向量a与aa的关系:aa是与训练1(1)下列命题中正确的是()A.向量AB的长度与向量BA的长度相等B.向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反C.a与b同向，且|a|>|b|，则a>bD.两个终点相同的向量，一定是共线向量(2)如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与BC相等的向量为()A.BA B.CDC.AD D.OD答案(1)A(2)D解析(1)对于A，向量AB与向量BA的长度相等，方向相反，故A对于B，向量a与b平行，且a或b为零向量时，不满足条件，故B错误;对于C，因为向量是既有大小又有方向的量，所以任意两个向量都不能比较大小，故C错误;对于D，两个终点相同的向量，不一定是共线向量，故D错误.(2)A，B选项均与BC方向不同，C选项与BC长度不相等，D选项与BC方向相同，长度相等.考点二平面向量的线性运算例2(1)(多选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且BC＝3EC，F为AE的中点，则()A.BC＝－1B.AFC.BF＝－2D.CF(2)在△ABC中，点D是线段BC上一点，若BD＝λBC，AD＝14AB＋答案(1)ABC(2)3解析(1)∵AB∥CD，AB＝2DC，∴BC＝BA＋AD＋DC＝－AB＋∵BC＝3EC，∴BE＝23∴AE＝23又F为AE的中点，∴AF＝12AE＝∴BF＝BA＝－23AB＋13∴CF＝CB＋BF＝故D错误.(2)因为BD＝λBC，所以AD＝AB＋＝AB＋λ(－AB＋AC)＝(1－λ)AB＋λ因为AD＝14AB＋3感悟提升平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则;求差用向量减法的几何意义.(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.训练2(1)(2026·嘉兴模拟)在△OAB所在平面内，点C满足AB＝3BC，记OA＝a，OB＝b，则OC＝(用向量a，b表示).

(2)(2026·郑州模拟)在△ABC中，D在BC上，且BD＝2DC，E在AD上，且AD＝4AE.若BE＝xAB＋yAC，则x＋y＝.

答案(1)－13a＋43b(2)解析(1)由AB＝3BC，可得AC＝又OA＝a，OB＝b，所以OC＝OA＋AC＝OA＋＝－13OA＋43OB＝－(2)因为BD＝2DC，所以BD＝则AD＝AB＋BD＝AB又AD＝4AE，所以AE＝则BE＝AE－又BE＝xAB＋yAC，所以x＝－1112，y＝1则x＋y＝－1112＋1考点三共线向量定理的应用例3(1)(2026·西安质检)已知a，b不共线，且AB＝λa－b，BC＝a＋μb，那么A，B，C三点共线的充要条件为()A.λ＋μ＝2 B.λ－μ＝2C.λμ＝1 D.λμ＝－1(2)在△ABC中，点O满足CO＝OB，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点E，F，设AB＝xAE，AC＝yAF，则x＋y答案(1)D(2)2解析(1)A，B，C三点共线⇔AB∥BC，设AB＝kBC，即λa－b＝k(a＋μb)，由于a，b不共线，则λ消去k可得λμ＝－1.因此A，B，C三点共线的充要条件为λμ＝－1.故选D.(2)在△ABC中，因为CO＝OB，即O为BC所以AO＝又因为AB＝xAE，AC＝y所以AO＝12xAE因为E，O，F三点共线，可得12x＋12y＝所以x＋y＝2.感悟提升利用共线向量定理解题的策略(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔AB，(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(4)OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1.训练3(1)(2026·广州模拟)已知向量a，b不共线，λa＋b与3a＋2b共线，则实数λ的值为()A.32 C.6 D.－2(2)(2026·泰安调研)在△ABC中，AD＝34DC，P是直线BD上一点.若AP＝mAB＋35答案(1)A(2)－2解析(1)因为λa＋b与3a＋2b共线，所以λ3＝12，解得(2)如图所示，因为AD＝所以AC＝所以AP＝mAB＋35AC因为B，P，D三点共线，所以m＋75＝1解得m＝－25等和线等和(高)线定理(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理:如图，由三点共线结论可知，若OP＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k，使得OP'＝kOP，则OP'＝kOP＝kλOA＋kμOB，又OP'＝xOA＋yOB(x，y∈R)，∴x＋y＝k(λ＋μ)＝k;反之也成立.(2)平面内一组基底OA，OB及任一向量OP'，OP'＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，若点P'在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值);反之也成立，我们把直线典例给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为2π3，如图，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是.答案2解析法一由已知以OA为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系(图略).其中A(1，0)，B−12，32，C(cosθ，其中∠AOC则有OC＝(cosθ，sinθ)＝x(1，0)＋y−1即x得x＝33sinθ＋cosθ，y＝233sinx＋y＝33sinθ＋cosθ＋233＝3sinθ＋cosθ＝2sinθ＋其中0≤θ≤2π3所以(x＋y)max＝2，当且仅当θ＝π3时取得法二如图，连接AB交OC于点D，设OD＝tOC，由于OC＝xOA＋yOB，所以OD＝t(xOA＋yOB).因为D，A，B三点在同一直线上，所以tx＋ty＝1，x＋y＝1t由于|OD|＝t|OC|＝t，当OD⊥AB时t取到最小值12当点D与点A或点B重合时，t取到最大值1，故1≤x＋y≤2.故x＋y的最大值为2.法三(等和线法)连接AB，过C作直线l∥AB，则直线l为以OA，OB为基底的平面向量基本定理系数的等和线，显然当l与圆弧相切于C1时，因为∠AOB＝2π3所以OC所以x＋y的最大值为2.训练(1)如图，在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若AM＝λAB＋μAC，则λ＋μ＝.

(2)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若BE＝λBA＋μBD(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于.

答案(1)12(2)解析(1)BC为值是1的等和线，过M作BC的平行线，设λ＋μ＝k，则k＝|AM由等和线定理可知λ＋μ＝AMAH(2)法一(常规方法)∵E为线段AO的中点，∴BE＝12(BA＋BO)＝12BA＋14BD＝∴λ＝12，μ＝14，则λ＋μ＝法二(等和线法)如图，AD为值是1的等和线，过点E作AD的平行线，设λ＋μ＝k，则k＝BEBF由图易知，BEBF＝34，即λ＋μ＝一、单选题1.已知向量a，b不共线，向量c＝a＋6b，d＝－2a＋xb，c∥d，则x＝()A.13 B.－C.－13 答案B解析由题意，设c＝λd，则a＋6b＝λ(－2a＋xb)＝－2λa＋λxb，则−2λ＝1，λx＝6，2.在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则()A.AB与AC共线B.DE与CB共线C.CD与AE相等D.AD与BD相等答案B解析由题意可知，AB与AC不共线，A因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC，故DE与CB共线，B因为CD与AE不平行，所以CD与AE不相等，C因为AD＝DB＝－BD，D3.如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，向量a＋b＋c可表示为()A.2e1－3e2B.3e1－2e2C.2e1＋3e2D.3e1＋2e2答案D解析由题意得a＝e1＋2e2，b＝e1－2e2，c＝e1＋2e2，所以a＋b＋c＝e1＋2e2＋e1－2e2＋e1＋2e2＝3e1＋2e2.4.(2026·无锡质检)在平行四边形ABCD中，点E是BC边上的点，BC＝4EC，点F是线段DE的中点，若AF＝λAB＋μAD，则μ＝()A.54 C.78 D.答案C解析由题意可得AF＝12＝12(AD＋AB＝12又AF＝λAB＋μAD，所以μ＝785.若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形答案B解析OB＋OC－2OA＝(OB－OA)＋(OC∴|AB＋AC|＝|AB故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形.6.(2025·新高考Ⅰ卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.如表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图(风速的大小和向量的大小相同，单位:m/s)，则真风为()等级风速大小(单位:m/s)名称21.1~3.3轻风33.4~5.4微风45.5~7.9和风58.0~10.1劲风A.轻风 B.微风C.和风 D.劲风答案A解析真风风速对应的向量＝视风风速对应的向量－船行风速对应的向量＝视风风速对应的向量＋船速对应的向量＝AB，如图，|AB|＝22∈[1.1，3.3]，故选A.7.(2026·重庆调研)在平行四边形ABCD中，AE＝14AB，AF＝13AD，CE与BF相交于点G.若AB＝A.25a＋15b B.25aC.37a＋17b D.47a答案A解析如图所示，连接AC，因为B，G，F三点共线，所以可设AG＝xAB＋(1－x)AF，所以AG＝xa＋1−x3因为C，G，E三点共线，所以可设AG＝yAE＋(1－y)AC.因为AB＝a，AD＝b，所以AC＝AB＋AD＝所以AG＝y4a＋(1－y)(a＝1−34ya＋(1－y所以xa＋1−x3b＝1−34ya＋(1即x解得x＝25，y＝4所以AG＝25a＋15二、多选题8.下列结论中正确的为()A.两个有共同起点的单位向量，其终点未必相同B.若A，B，C，D四点在同一条直线上，且AB＝CD，则ABC.对任意向量a(a≠0)，aaD.如果非零向量a，b的方向相同或相反，那么a＋b的方向与a，b之一的方向一定相同答案AC解析对于A，由单位向量的方向不一定相同，故两个有共同起点的单位向量，其终点也不一定相同，故A正确;对于B，如图，A，B，C，D四点满足条件，但AB≠CD，故B错误;对于C，对于任意非零向量a，aa表示与a同向的单位向量，故C正确对于D，当a＋b＝0时，零向量的方向是任意的，故D错误.9.在△ABC中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为△ABC的重心，则下述结论中正确的是()A.EF＝B.AD＝12C.AF＋BD＋D.GA＋GB答案BCD解析如图，对于A，因为E，F分别是边CA，AB的中点，则EF＝12CB对于B，因为D为BC中点，则AD＝12(AB＋AC对于C，AF＋BD＋CE＝12AB＋对于D，GA＝－2GD＝－2×12(GB＋－GB＋GC，即GA＋GB＋GC三、填空题10.在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|AB＋FE＋CD|答案2解析法一如图，连接AD，BE，CF，正六边形ABCDEF由6个全等的等边三角形构成，且AB＝1，所以|AD|＝2，所以|AB＋FE＋CD|＝|AB＋BC＋法二连接AD，易知AD＝2，则|AB＋FE＋CD|＝|AF＋FE＋ED|＝|AE＋ED|11.(2025·长春二模)在△ABC中，AD＝23AC，点E在BD上，若AE＝xBA＋13答案－5解析因为AD＝23AC则AE＝xBA＋13BC＝x(－AB)＋13＝13×＝12因为B，E，D三点共线，所以12－x解得x＝－5612.若点M是△ABC所