第一章《三角形的初步知识》培优卷-浙教版数学八年级上册单元分层测

第一章《三角形的初步知识》培优卷—浙教版数学八年级上册单元分层测一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列命题中，真命题的是（）A．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等B．周长相等的两个三角形全等C．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等D．全等三角形的面积相等，面积相等的两个三角形全等2．如图，在△ABC中，AB=5，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为5，则DE的长为（）A．1 B．2 C．3 D．53．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，点M，交AB于点E，交AC于点F，若BC=4，则△ADM的周长为（）A．4 B．6 C．8 D．104．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,AB=10，BD平分∠ABC，如果M、N分别为BD、BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（）A．2.4 B．3 C．4 D．4.85．如图，在3×3的正方形网格中，点A，B，C，D均为格点，顺次连接AB，BC，CD，DA，则下列说法正确的是（）A．∠BAD=∠BCD B．∠BAD+∠BCD=45°C．∠ADC=120° D．∠ABC−∠BCD=90°6．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在距地面1.5m高的C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.2m和1.6m，∠BOC=90°，妈妈在B处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（）A．1m B．1.1m C．1.2m D．1.3m7．两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”.如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB.小明在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO=12AC；③A．0个 B．1个 C．2个 D．3个8．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，BC=10，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面结论：①△ABE的面积=△BCE的面积；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF其中正确的结论是（）A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④9．如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC，∠ACB的平分线分别交AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点F，连接DE．下列结论：①AB=BC；②∠BFE=60°；③CE⊥AB；④点F到△ABC三边的距离相等；⑤BE+CD=BC．其中错误的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（）A．① B．①② C．①②③ D．①②④二、填空题（每小题3分，共18分）11．在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是.12．如图，在锐角△ABC中，AC＝10，S△ABC=2513．如图，AE、BD分别是△ABC的高线和角平分线，交于点F，∠BDC＝135°,△ABC的面积是10，CE=5，则线段AB的长度为14．如图，在△ABC中，AB=AC=24厘米，∠ABC=∠ACB，BC=16厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．15．如图，点O在直线m上，在m的同侧有A，B两点，∠AOB=90°，OA=10cm，OB=8cm，点P以2cm/s的速度从点A出发沿A—O—B路径向终点B运动，同时点Q以1cm/s的速度从点B出发沿B—O—A路径向终点A运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过点P，Q作PC⊥m于点C，QD⊥m于点C，QD⊥m于点D．若△OPC与△OQD全等，则点Q运动的时间是秒．16．如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按图中标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S=三、解答题（共8小题，共72分）17．综合实践与探究已知∠MON，如图．请按要求完成下列任务：任务一：按要求画图：（1）点A、C是射线OM上的任意两点（不重合），在射线ON上截取OB=OA，OD=OC；（2）连结AD、BC，线段AD与BC交于点E；（3）作射线OE．任务二：判断OE是否为∠MON的平分线?若OE是∠MON的平分线，请证明；若OE不是∠MON的平分线，请说明理由．18．按要求画出图形.（1）如图1，已知△ABC，按要求作图：①作△ABC的角平分线BD；②作BC边上的高线AF.（2）有公路l1同侧，l2异侧的两个城镇A,B，如图2.电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等，到两条公路l1,l19．（1）【问题情境】

我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图①，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M,N重合，则过角尺顶点C的射线OC是（2）【拓展实践】

某公园的两条小路AB和AC，汇聚形成了一个岔路口A（如图②），现要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到休息椅M和N的距离相等．问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的备用图中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）20．若三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么这样的三角形是“准互余三角形”．（1）关于“准互余三角形”，下列说法中正确的是____________（填写所有正确说法的序号）；①在△ABC中，若∠A=100°，∠B=70°，∠C=10°，则△ABC是“准余三角形”；②若△ABC是“准互余三角形”，∠C>90°，∠A=60°，则∠B=20°；③“准互余三角形”一定是钝角三角形．（2）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，BD是△ABC的角平分线，求证：△ABD是“准互余三角形”；（3）如图2，B，C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC=50°．若P是直线l上一点，且△ABP是“准互余三角形”，请直接写出∠APB的度数．21．【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”.（1）【问题解决】如图②，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，求∠BDC的度数；（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC=140°，求∠A的度数；（3）【延伸推广】在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°（m＞54），直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）22．（1）如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°．E、F分别是BC，CD上的点，且小王同学探究此问题的方法：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG．先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是（2）如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，仍然满足EF=BE+FD，请写出∠EAF23．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．24．我们把从一个角的顶点引出把这个角分成两个完全相同的角的射线叫做这个角的平分线．如图①，在∠ABC中，若∠ABD=∠DBE=∠EBC，则BD或BE叫做∠ABC的“三等分线”．【基础运用】（1）已知△ABC，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，若∠BAC=α，则BM、CN所在直线的夹角的度数为______．（用含α的代数式表示）【概念提升】（2）在△ABC中，∠A=70°，∠B=45°，若∠B的三等分线与∠C的外角的三等分线交于点D，则∠BDC的度数为______．【问题解决】∠EAB是四边形ABCD的外角，设∠B=α、∠C=β．（3）如图②，∠ADC和∠EAB的三等分线DN、AN相交于点N（∠CDN=13∠ADC，∠BAN=（4）如图③，∠ADC和∠EAB的n等分线分别相交于点P1、P2、P3、…、Pn−1，则∠P1

参考答案1．A2．B3．A4．D5．B6．B7．D8．D9．B10．D11．9＜AB＜1912．513．414．4或615．2或6或1616．5017．任务一：解：如图，即为所求；

任务二：OE是否为∠MON平分线．

证明：在△OAD和△OBC中，

∵OA=OB∠AOD=∠BOCOC=OD，

∴△OAD≌△OBCSAS

∴∠OCB=∠ODA，

∵OC=OD，OA=OB，

∴OC−OA=OD−OB，

∴AC=BD，

在△AEC和△BED中，

∵∠AEC=∠BED∠OCB=∠ODAAC=BD，

∴△AEC≌△BEDAAS，

∴AE=BE，

在△AOE和△BOE中，

∵AE=BEOA=OBOE=OE，

∴△AOE≅△BOESSS，

∴18．（1）解：①△ABC的角平分线BD如图1；

②如图1，线段AF即为所求.（2）解：①作两条公路夹角的平分线OD或OE.②作线段AB的垂直平分线FG，则射线OD、OE与直线FG的交点C119．（1）解：理由：由题意得CM=CN, OM=ON,OC=OC∴∠AOC=∠BOC，

∴OC是∠AOB的平分线.（2）解：如图，点E即为所求20．（1）①③（2）证明：∵BD是△ABC的角平分线，

∴∠ABC=2∠ABD，

∵在△ABC中，∠ACB=90°，

∴∠ABC+∠A=90°，

∴2∠ABD+∠A=90°，

∴△ABD是“准互余三角形”.（3）解：如图所示，按点P的位置分两种情况讨论：

①当点P在点B右侧时：当∠ABC+12∠APB=90°时，∠APB=20°，

当∠ABC+12∠BAP=90°时，∠BAP=20°，

∴∠APB=180°−50°−20°=110°

②当点P在点B左侧时：∵∠ABC=50°，

∴∠APB+∠PAB=50°，

∴当2∠APB+∠PAB=90°时，∠APB=40°；

当∠APB+2∠PAB=90°时，∠APB=10°；

综上所述：∠AP1B=10°，21．（1）解：分两种情况：①如图，当BD是“邻AB三分线”时，∠BD′C＝80°+15°＝95°；②如图，当BD是“邻BC三分线”时，∠BD″C＝80°+30°＝110°.

综上所述，∠BDC的度数为95°或110°.（2）解：在△BPC中，∵∠BPC＝140°，∴∠PBC+∠PCB＝40°.∵BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，∴∠PBC＝13∠ABC，∠PCB＝1∴13∠ABC+1∴∠ABC+∠ACB＝120°.在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝60°；（3）解：∠BPC的度数为23m°或13m°或2322．（1）∠BAE+∠FAD=∠EAF；（2）上述结论仍然成立，理由如下：如图2，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，∵∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°，∴∠B=∠ADG，在△ABE和△ADG中，AB=AD∠B=∠ADG∴△ABE≌△ADGSAS∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，在△AEF和△AGF中，AE=AGAF=AF∴△AEF≌△AGFSSS∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF=180°−1图3，在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ADC=∠ABE，在△ABE和△ADG中，AB=AD∠ABE=∠ADC∴△ABE≌△ADGSAS∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，在△AEF和△AGF中，AE=AGAF=AF∴△AEF≌△AGFSSS∴∠FAE=∠FAG，∵∠FAE+∠FAG+