2026-2027学年八年级数学上册 2.3 等腰三角形的性质 同步练习 浙教版

2026-2027学年八年级数学上册2.3等腰三角形的性质同步练习浙教版一、选择题1．（2026八上·祁东期末）如图，已知△ABC中，AB=3，AC=5，BC=7，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）

A．5条 B．4条 C．3条 D．2条2．（2025八上·镇原县期中）如图，CD是△ABC的角平分线.按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB相交于点E，与边AC相交于点F；②以点B为圆心，AE长为半径画弧，与边BC相交于点G；③以点G为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点H；④作射线BH，与CD相交于点M，与边AC相交于点N.则下列结论一定正确的是（）A．∠ABN=∠A B．BN⊥AC C．CM=AD D．BM=BD3．（2025八上·石林期末）大观公园是国家4A级旅游景区，始建于明朝洪武元年（公元1368年），位于昆明市以西约2公里的滇池湖畔，完好保存着许多古典园林建筑群，既反映中国清代古建筑的风格，又具有云南地方民族建筑的特色，是云南清代园林建筑的博览苑．如图，建筑的顶端可看作等腰三角形ABC，AB=AC，D是BC的中点．下列结论不一定正确的是（）A．∠B=∠C B．AD⊥BC C．∠BAD=∠CAD D．AB=2AD4．（2026八上·嘉兴期末）将一张等边三角形纸片沿图中虚线剪开，则∠α的度数可能是（）A．56° B．58° C．60° D．62°5．（2026八上·黔南期末）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在AB，BC上，且BD=CE，AE与A．30° B．60° C．45° D．50°6．（2026八上·宽城期末）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠EDC=（）A．20° B．25° C．30° D．35°7．如图，一束太阳光线平行照射在垂直放置于水平地面的等边三角形ABC上，若∠1=24°，则∠2的度数为()A．24° B．36° C．48° D．56°8．定义：若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为“优美三角形”，这条角平分线叫做这个三角形的“优美线”．下列四个三角形中，BD平分∠ABC，其中BD是“优美线”的是（）A． B．C． D．二、填空题9．（2026八上·潮南期末）若等腰三角形的一边长为4cm，周长为18cm，则此等腰三角形的底边长是．10．（2026八上·涪城期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC延长线上一点，连接AD，过A作AE=AD，且∠DAE=∠BAC，连接CE交AD于点F．若∠FCD=α，则∠B的大小是（用含α的代数式表示）．11．（2026八上·越秀期末）如图，OC为∠AOB的角平分线，点P为OC上一点，点D，E分别为射线OA，OB上的点，且∠PEO=120°，若PD=PE，则∠PDO的度数为．12．（2025八上·长春期中）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为．三、解答题13．（2026八上·番禺期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BA延长线上一点．（1）尺规作图并在图中标出相应的字母：在射线BD的右侧，过点A作射线AM∥BC，并在射线AM上截取AE=BC，连接BE交AC于点F（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，求证：点F为线段AC的中点．14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB，连接AE．（1）证明：∠AEC＝2∠B．（2）若∠BAC＝60°，EC＝3，求BE的长．15．（2025八下·建德月考）如图1所示的云梯是古代攻城用的器械，传说由鲁班发明．云梯底架以木为床，下置六轮，梯身以一定角度固定装置于底盘上，并在主梯之外增设了一具可以活动的副梯，主、副梯长度相等，立柱、底板、主梯构成一个三角形．如图2为其平面示意图，∠ABC=90°，BC=5米，AD可以绕点A旋转，以便调节云梯的高．（1）若AD∥BC，∠ACB=40°，求∠ADC的度数；（2）当∠DAC=∠CAB时，计算出点D到AC的距离．16．（2026八上·门头沟期末）已知：如图△ABC与△BDE都是等边三角形，点E、B、C在一条直线上，连接DC、EA．求证：AE=DC在分析此题目时，老师和同学们一起梳理了证明思路，如下：（1）请问老师的提示中①是，②是．（2）请根据以上思路写出完整的证明过程．17．（2025八上·衢州期中）如图，等腰△ABC中，AB=AC，点P是边BC上的一个动点(不与B，C重合)，连接AP，在边AB上取一点Q，使得AQ=AP，连接PQ.（1）若∠C=70°，∠CAP=20°，求∠BPQ的度数；（2）若∠C=60°，∠CAP=x°，请用含x的代数式表示∠BPQ的度数；（3）由(1)(2)的结论，请猜想∠CAP与∠BPQ的数量关系，并证明你的猜想.

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：如图所示，当AB=AF=3，BA=BD=3，AB=AE=3，BG=AG时，都能得到符合题意的等腰三角形，共计有4条.

故选：B.

【分析】运用等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形.2．【答案】D【解析】【解答】如图，

根据尺规作图得：∠CBN=∠A，

∵CD是△ABC的角平分线，

∴∠ACD=∠BCD，

∴∠BMD=∠BCD+∠CBN，∠BDM=∠ACD+∠A，

∴∠BMD=∠BDM，

∴BM=BD，故Ｄ正确.

∵根据已知不能得∠CBN=∠ABN，故∠ABN≠∠A，故A错误.

∵∠ANB=180°−∠A−∠ABN，∠CNB=180°−∠CBN−∠ACB=180°−∠A−∠ACB，

又∵无法证明∠ABN=∠ACB，

∴无法证明∠ANB=∠CNB，即无法证明BN⊥AC，故Ｂ错误.

∵根据条件无法证明CM=AD，故Ｃ错误.

故答案为：Ｄ.

【分析】根据尺规作图得∠CBN、∠A相等，根据角平分线定义得∠ACD、∠BCD相等，再根据三角形外角性质得∠BMD=∠BCD+∠CBN，∠BDM=∠ACD+∠A，进一步推理得∠BMD=∠BDM，再根据等角对等边即可得BM=BD，而根据已知条件无法得∠CBN=∠ABN，故∠ABN≠∠A，故A错误，无法证明∠ANB=∠CNB，即无法证明BN⊥AC，根据条件无法证明CM=AD，故Ｃ错误，即可得答案.3．【答案】D【解析】【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，故选项A正确；∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，故选项B、C正确．由已知得不到AB=2AD，故D不正确；故答案为：D.

【分析】利用等腰三角形“三线合一”的性质（等腰三角形顶角的角平分线，底边上的中点和底边上的高线是同一条线）分析求解即可.4．【答案】D【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=∠C=60°．

∵∠α是下方小三角形的外角，

∴∠α=∠B+剪开处的小角，

∴∠α>60°.

同时，剪开的虚线在三角形内部，因此∠α<120°．

在选项中，只有62°>60°，故∠α的度数可能是62°．

故答案为：D.

【分析】先利用等边三角形性质得出∠B=60°；再根据三角形外角和定理，判断∠α一定大于60°；最后在选项中筛选出大于60°小于120°的答案，即62°．5．【答案】B【解析】【解答】解：在等边△ABC中，三条边相等（AB=BC=AC），三个内角均为60°，（∠ABC=∠ACB=60°）。已知BD=CE，结合等边三角形的性质AC=CB，且∠ACE=∠CBD=60°，满足SAS（边角边）判定条件，可证得△AEC≌△CDB。

由此可得对应角相等：∠CAE=∠BCD。∠AFD是△ACF的一个外角，根据外角定理，它等于不相邻的两个内角之和，即：∠AFD=将∠CAE替换为∠BCD，可得：∠AFD=而∠BCD+∠ACD就是等边△ABC的内角∠ACB，其度数为60°，因此：∠AFD=故答案为：B。【分析】这道题的核心是利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，再结合三角形外角定理来求解角度。首先通过已知条件证明两个三角形全等，得到角相等的关系，再利用外角定理将目标角转化为等边三角形的内角，从而得出结果6．【答案】C【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，

∴∠ABC=60°，BD平分∠ABC，∠BDC=90°，∴∠CBD=1∵BD=ED，∴∠DEC=∠CBD=30°，

∴∠BDE=180°-∠DBE-∠E=120°，∴∠EDC=∠BDE−∠BDC=30°故答案为：C．

【分析】由等边三角形三个内角都为60°得∠ABC=60°，由等边三角形三线合一得∠CBD=30°，由垂直的定义得∠BDC=90°，再由等边对等角得出∠DBC=∠E=30°，然后根据三角形内角和定理求出∠BDE的度数，最后根据角的构成可求出∠CDE的度数.7．【答案】B【解析】【解答】解：如图.因为等边三角形ABC中，∠ACF=60°，所以∠ACD=120°.因为∠1=∠CBD=24°，所以∠BDC=180°-120°-24°=36°.因为太阳光线平行，所以DB∥EF，所以∠2=∠BDC=36°.故答案为：B.【分析】先求出三角形是等边三角形利用外角的定义可求得∠ABD=120∘,再利用三角形内角和求出∠BDG=38．【答案】D【解析】【解答】解：A.在直角三角形ABC中，∠C=90°,∠A=30°∴∠ABC=60°又BD平分∠ABC∴∠DBC=∠ABD=∴∠ABD=∠BAD=30°∴∠ADB=150°∴BD<AB又∠C=90°,∴∠BDC=60°∴BD>BC，即BD不是“优美线”故选项A不符合题意，A错误；B.在ΔABC中，∴ΔABC∴∠ABC=60°，BA=BC∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=30°∴∠ADB=∠CDB=90°∴BD<AB，BD<BC，即BD不是“优美线”故选项B不符合题意，B错误；C.在ΔABC中，∴∠ABC=45°又BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD=∴∠ADB=67.5°,∠BDC=112.5°∴BD>AB,BD<BC，即BD不是“优美线”故选项C不符合题意，C错误；D.在ΔABC中，∴∠ABC=180°−36°−72°=72°又BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD=∴∠BDC=180°−36°−72°=72°∴BD=BC，即BD是“优美线”故选项D符合题意，D正确；故答案为：D

【分析】本题考查“优美线”的定义，角平分线的定义，三角形的边角关系.A，先利用三角形的内角和定理可求出∠ABC=60°，再根据BD平分∠ABC，利用角平分线的定义可得：∠DBC=∠ABD=12∠ABC=30°，进而可求出∠ADB=150°，利用三角形的边角关系可推出BD<AB，BD>BC，根据“优美线”的定义可判断A选项；利用等边三角形的性质可得：∠ABC=60°，BA=BC，再根据BD平分∠ABC，利用角平分线定义和角的运算可得：∠ADB=∠CDB=90°根据三角形的边角关系可得：BD<AB，BD<BC，根据“优美线”的定义可判断B选项；先利用三角形的内角和定理可求出∠ABC=45°，根据BD平分∠ABC，利用角平分线的定义和三角形的内角和定理可得：∠ADB=67.5°,∠BDC=112.5°，利用三角形的边角关系可得：BD>AB,BD<BC，根据“优美线”的定义可判断C选项；先利用三角形的内角和定理可得：∠ABC=72°，根据BD平分∠ABC，利用角平分线的定义可得：∠ABD=∠CBD=129．【答案】4cm【解析】【解答】解：当腰为4cm时，底边长为18−4×2=10cm，∵4+4=8<10，∴不满足三角形三边关系；当底边为4cm时，腰长为18−4÷2=7cm∵7+4>7，7-7＜4，满足三角形三边关系，因此底边长为4cm．故答案为：4cm．【分析】本题先根据等腰三角形的性质，分腰为4cm和底边为4cm两种情况，分别计算出对应的底边长度和腰长；最后结合三角形的三边关系“两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”进行验证，即可得出答案。10．【答案】90°−α【解析】【解答】解：∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∵∠DAE=∠BAC，

∴∠DAE+∠DAC=∠BAC+∠DAC，即∠EAC=∠DAB，

在△ABD和△ACE中，

AB=AC∠DAB=∠EACAD=AE

∴△ABD≌△ACE(SAS)，

∴∠B=∠ACB=∠ACE，

∵∠ACB+∠ACE+∠FCD=180°，

∴∠B+∠B+α=180°，

故答案为：90°−α【分析】先由等腰三角形的性质得出∠B=∠ACB，再证△ABD≌△ACE(SAS)，得出∠B=∠ACB=∠ACE，即可得出结果.11．【答案】60°或120°【解析】【解答】解：如图，

过点P作PN⊥OA交OB于点M，过点P作OM⊥OB交OA于点N，

∵∠PEO=120°，∴∠PEB=180°−∠PEO=60°，

①当点D在点D1∵OC为∠AOB的角平分线，PN⊥OA，OM⊥OB∴PM=PN，∠PN∵PD∴Rt△PND∴∠N∴∠PD②当点D在点D2∵P∴∠P综上所述，∠PDO的度数为60°或120°．故答案为：60°或120°．【分析】过点P作PN⊥OA交OB于点M，过点P作OM⊥OB交OA于点N，根据条件求出∠PEB=60°，当点D在点D1时，根据角平分线的性质得到PM与PN相等，根据条件证明证明出Rt△PND1和Rt△PME全等，根据全等性质得得到∠ND1P=∠PEM=60°，即可得∠PDO的度数，同理得当点D在点D212．【答案】6【解析】【解答】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°∴∠BCD=∠DBC=30°∵△ABC是边长为3的等边三角形∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°∴∠DBA=∠DCA=90°延长AB至F，使BF=CN，连接DF，在Rt△BDF和Rt△CND中，BF=CN，DB=DC∴△BDF≌△CND∴∠BDF=∠CDN，DF=DN∵∠MDN=60°∴∠BDM+∠CDN=60°∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM为公共边∴△DMN≌△DMF，∴MN=MF∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6．

故答案为：6【分析】根据等腰三角形性质及三角形内角和定理可得∠BCD=∠DBC=30°，根据等边三角形性质可得∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，根据全等三角形判定定理可得△BDF≌△CND，则∠BDF=∠CDN，DF=DN，再根据全等三角形判定定理可得△DMN≌△DMF，则MN=MF，再根据三角形周长即可求出答案.13．【答案】（1）解：如下图，过点A作∠CAD的平分线AM，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠CAD=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，且AM平分∠CAD，∴∠DAE=1∴AM∥BC，在AM上截取AE=BC，连接BE交AC于点F，即可完成作图；（2）解：∵AM∥BC，∴∠FAE=∠C,∠FEA=∠FBC，又∵AE=BC，∴△AEF≌△CBFASA∴AF=CF，即点F为线段AC的中点．【解析】【分析】（1）过点A作∠CAD的平分线AM，再在AM上截取AE=BC，连接BE交AC于点F即可.

（2）根据直线平行性质可得∠FAE=∠C,∠FEA=∠FBC，再根据全等三角形判定定理可得△AEF≌△CBFASA，则AF=CF14．【答案】（1）解：∵DE垂直平分AB，

∴EB=EA

∴∠B=∠EAB

∵∠AEC=∠B+∠EAC

∴∠AEC=2∠B；

（2）解：∵∠BAC=60°，∠ACB=90°

∴∠B=180°−∠BAC−∠C=30°

∴∠B=∠EAB=30°

∴∠EAC=∠BAC−∠EAB=30°

∵∠ACB=90°，EC=3

∴AE=2EC=6

∴EB=EA=6．【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质、等腰三角形的性质求证。先利用垂直平分线的性质得到EB=EA，再利用等边对等角得到∠B=∠EAB，然后利用三角形外角的性质得到∠AEC=∠B+∠EAC，即可证明出∠AEC=2∠B；（2）根据30度直角三角形的性质求解。先利用三角形内角和定理求出∠B=30°，再求出∠EAC=∠BAC−∠EAB=30°，最后利用含30°角直角三角形的性质求出AE=2EC=6，进而求解即可．15．【答案】（1）解：∵AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC=40°．∵主、副梯长度相等，∴AC=AD，∴∠ADC=∠ACD．∴∠ADC=（2）解：过点D作DF⊥AC于F，∴∠DFA=90°，∴∠DFA=∠ABC=90°．∵AD=AC，∠DAC=∠CAB，∴△DAF≌△CAB，∴DF=BC=5米即点D到AC的距离为5米【解析】【分析】(1)根据平行线的性质得到∠ACB=∠DAC=40°，再由等边对等角和三角形内角和定理即可得到答案；

(2)过点D作DF⊥AC于F，可证明△DAF≌△CAB，则DF=BC=5米.16．【答案】（1）∠1+∠2=∠3+∠2；BA=BC（2）证明：∵△ABC与△BED是等边三角形，∴∠1=∠2，BA=BC，BD=BE，∴∠1+∠2=∠3+∠2即：∠ABE=∠CBD在△CBD与△ABE中，BA=BC,∴△CBD≌△ABE(SAS).∴CD=AE.【解析】【解答】

解：（1）∵∠1=∠3，∠2=∠2

∴∠1+∠2=∠3+∠2

∴∠EAB=∠DBC

故答案为：∠1+∠2=∠3+∠2

∵△ABC是等边三角形

∴BA=BC

故答案为：BA=BC

【分析】

（1）根据角度的和差运算可得∠1+∠2=∠3+∠2；根据等边三角形的性质得到BA=BC，解答即可；

（2）先根据等边三角形的性质得到∠1=∠2，BA=BC，BD=BE，再计算角度的和差运算得到∠ABE=∠CBD，即可利用