第1课时 有理数的乘方

2.3有理数的乘方2.3.1乘方第1课时有理数的乘方教学目标课题2.3.1第1课时有理数的乘方授课人素养目标1.理解有理数乘方的意义，知道幂、底数、指数的概念.2.已知一个数，会求它的乘方，提高运算能力.3.知道有理数乘方的符号规律.4.会利用计算器进行乘方运算，进一步提高运用计算工具的能力.教学重点幂、底数、指数的概念及其表示，理解有理数乘法运算与乘方间的联系，处理好负数的乘方运算.教学难点准确理解底数、指数和幂三个概念，并能求负数的正整数次幂.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，导入新课【情境导入】某种细胞每30min便由一个分裂成两个，经过3`h这种细胞由1个能分裂成多少个？分裂方式如下所示.以后会遇到很多类似的问题，这涉及数学中的乘方运算，今天我们就来学习这方面的内容.【教学建议】鼓励学生交流讨论，列式计算，引出本节课要学习的内容.设计意图巧妙地借助科学情境，引发学生的好奇心和求知欲，调动学生的学习积极性，让学生知道数学无处不在，激发学生解决问题的强烈欲望.活动二：问题引入，合作探究探究点乘方的意义及算法问题1（1）完成下列填空，并说一说这两个式子有什么相同点？（2）这两个过程有什么简单的写法吗？（类比单位的写法）【教学建议】让学生观察算式特点，使学生明确乘方是乘法的特殊情况.设计意图以问题串的形式，采用从具体到抽象的方法，引导学生理解有理数乘方的意义，并通过例题和练习使学生熟练乘方运算，提高运算能力.教学步骤师生活动问题2类比以上研究，填写下面的表格：（－2）×（－2）×（－2）×（－2）（－2）4－2的4次方（－eq\f(2,5)）×（－eq\f(2,5)）×（－eq\f(2,5)）×（－eq\f(2,5)）×（－eq\f(2,5)）（－eq\f(2,5)）5－eq\f(2,5)的5次方【教学建议】教师酌情解释中“…”再加上“n个”的标示，整体表示“n个a相乘”.【教学建议】提醒学生：乘方是一种运算，幂是乘方的结果.【教学建议】对于一个数的情况，可给学生提供一种角度：指数就是指相同乘数的个数，指数是1，就是指只有一个乘数.这种规定可为以后整式次数的讲解做铺垫.【教学建议】引导学生用多个有理数相乘的符号法则来发现负数的幂的符号规律，用有理数的乘法法则得出正数和0的幂的符号规律，最后总结出有理数乘方的符号规律.问题3（－2）4与－24一样吗？为什么？不一样，（－2）4表示－2的4次方，－（2×2×2×2）记作－24，－24表示2的4次方的相反数.一般地，n个相同的乘数a相乘，即，记作an，读作“a的n次方”.概念引入：求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂.在an中，a叫作底数，n叫作指数.当an看作a的n次方的结果时，也可读作“a的n次幂”.试一试：填一填下面图示中的空.注意：一个数可以看作这个数本身的1次方.例如，5就是51.指数1通常省略不写.例1（教材P51例1）计算：（1）（－4）3；（2）（－2）4；（3）（－eq\f(2,3)）3.解：（1）（－4）3＝（－4）×（－4）×（－4）＝－64；（2）（－2）4＝（－2）×（－2）×（－2）×（－2）＝16；（3）（－eq\f(2,3)）3＝（－eq\f(2,3)）×（－eq\f(2,3)）×（－eq\f(2,3)）＝－eq\f(8,27).例1变式计算：（1）（－1）5；（2）（－0.5）2；（3）（－eq\f(1,3)）4.解：（1）（－1）5＝（－1）×（－1）×（－1）×（－1）×（－1）＝－1；（2）（－0.5）2＝（－0.5）×（－0.5）＝0.25；（3）（－eq\f(1,3)）4＝（－eq\f(1,3)）×（－eq\f(1,3)）×（－eq\f(1,3)）×（－eq\f(1,3)）＝eq\f(1,81).思考：（1）结合例1和例1变式，你发现负数的幂的正负与指数有什么关系？当指数是奇数时，负数的幂是负数；当指数是偶数时，负数的幂是正数.教学步骤师生活动设计意图（2）如果幂的底数是正数，那么这个幂有可能是负数吗？不可能，正数的任何次幂都是正数.归纳总结：根据有理数的乘法法则可以得出：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.例2（教材P52例2）用计算器计算（－8）5和（－3）6.解：用带符号键的计算器，有显示结果为－32768；显示结果为729.因此，（－8）5＝－32`768，（－3）6＝729.【对应训练】教材P52练习.,让学生了解如何用计算器进行乘方运算，进一步培养学生使用计算工具的意识与能力.活动三：知识延伸，巩固升华例3计算：（1）－（－eq\f(3,2)）2；（2）－（－3）3；（3）－（－1Ａeq\f(1,4)）3；（4）（－4）2×（－2）3.解：（1）－（－eq\f(3,2)）2＝－［（－eq\f(3,2)）×（－eq\f(3,2)）］＝－eq\f(9,4)；（2）－（－3）3＝－［（－3）×（－3）×（－3）］＝－（－27）＝27；（3）－（－1eq\f(1,4)）3＝－［（－eq\f(5,4)）×（－eq\f(5,4)）×（－eq\f(5,4)）］＝－（－eq\f(125,64)）＝eq\f(125,64)；（4）（－4）2×（－2）3＝16×（－8）＝－128.【对应训练】计算：（1）－（－eq\f(2,7)）2；（2）－（－6）3；（3）－（－1eq\f(1,3)）4；（4）（－22）×（－3）3.解：（1）－（－eq\f(2,7)）2＝－［（－eq\f(2,7)）×（－eq\f(2,7)）］＝－eq\f(4,49)；（2）－（－6）3＝－［（－6）×（－6）×（－6）］＝－（－216）＝216；（3）－（－1Ａeq\f(1,3)）4＝－［（－eq\f(4,3)）×（－eq\f(4,3)）×（－eq\f(4,3)）×（－eq\f(4,3)）］＝－eq\f(256,81)；（4）（－22）×（－3）3＝（－4）×（－27）＝108.【教学建议】选取学生代表上台板演，其他学生在纸上作答，提醒学生：（1）底数是带分数时可先将带分数化成假分数再计算；（2）对于例3（4）和对应训练的第（4）问，可将幂看作单独的一个数，先算出幂后再来计算乘法.设计意图通过例题和练习帮助学生进一步掌握乘方运算，熟悉负数的幂的符号规律，并为后续的混合运算做铺垫.活动四：【随堂训练】，【课堂总结】【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是乘方？在乘方中，幂、底数、指数分别指的是什么？2.怎样计算一个有理数的乘方？3.有理数的乘方的符号规律是怎样的？【知识结构】【作业布置】1.教材P56习题2.3第1，2，7，11，12题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.)教学步骤师生活动板书设计2.3有理数的乘方2.3.1乘方第1课时有理数的乘方1.乘方的意义及相关概念2.有理数乘方的计算3.有理数乘方的符号规律教学反思本节课从一个科学情境出发，激发学生学习兴趣，通过具体的例子，逐步引入乘方的概念，使学生体会到乘方与乘法的关系，进而理解乘方运算，同时体会幂、底数、指数之间的关系.接着通过例题和练习进一步理解乘方的意义，并归纳总结有理数乘方的符号规律，掌握乘方运算，提高推理能力和运算能力.同时学习用计算器计算乘方的操作，进一步培养学生利用计算工具的意识和能力.然后巩固加强学生对于负数的幂的符号规律的理解，并为后续的混合运算做一点铺垫，整体效果较好.解题大招一利用偶次幂的非负性解决问题（1）一个数的偶次幂和绝对值都是非负数.（2）若几个非负数的和为0，则每个非负数都是0.（3）若一个数的正整数次幂为0，则这个数为0.例1（1）若（x－4）2＋|y＋1|＝0，则x的值为4，y的值为－1.（2）如果（a＋3）2＋|b－2|＝0，那么（a＋b）2025＝－1.解析：（1）因为（x－4）2＋|y＋1|＝0，（x－4）2是非负数，|y＋1|是非负数，所以（x－4）2＝|y＋1|＝0，所以x＝4，y＝－1.（2）因为（a＋3）2＋|b－2|＝0，（a＋3）2是非负数，|b－2|是非负数，所以（a＋3）2＝|b－2|＝0，所以a＝－3，b＝2.所以（a＋b）2025＝［（－3）＋2］2025＝（－1）2025＝－1.解题大招二互为相反数的两个数的幂与几个特殊值的幂互为相反数的两个数的幂①互为相反数的两个数的奇次幂仍互为相反数，即－am＝（－a）m（m为奇数）；②互为相反数的两个数的偶次幂相等，即an＝（－a）n（n为偶数）几个特殊值的幂①0的任何正整数次幂都是0；②1的任何正整数次幂都是1；③－1的奇次幂都是－1，－1的偶次幂都是1注意如果一个数的偶次幂是正数，那么这个幂的底数有两个，且互为相反数例2（1）下列各组数中，互为相反数的有（B）①（－3）3和33；②（－1）4和－14；③23和32；④（－2）3和－23.A.④B.①②C.①②③D.①②④（2）计算：（－1）2n＋（－1）2n＋1＝0（n为正整数）.培优点有理数乘方的应用例一根1m长的铜丝，第一次剪去铜丝的eq\f(1,4)，第二次剪去剩下铜丝的eq\f(1,4)，如此剪下去，第2025次剪完后剩下铜丝的长度是（CA.（eq\f(1,4)）2025mB.（eq\f(1,4)）2024mC.（eq\f(3,4)）2025mD.（eq\f(3,4)）2024m解析：第一次剪去铜丝的eq\f(1,4)，剩下铜丝的长度是1×（1－eq\f(1,4)）＝eq\f(3,4)m，第二次剪去剩下铜丝的eq\f(1,4)，剩下铜丝的长度是eq\f(3,4)×（1－eq\f(1,4)）＝（eq\f(3,4)）2，……，依次类推，第2025次剪完后剩下铜丝的长度是（eq\f(3,4)）2025m.故答案为C.综合训练一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.2024的倒数是()A.12024 B.-12024 C.2.某水库4月份的最高水位超过标准水位5cm,记为+5cm,最低水位低于标准水位3cm,记为-3cm,则4月份该水库的水位差是()A.8cm B.3cm C.5cm D.-8cm3.将数据3395000用科学记数法表示为()A.33.95×105 B.3.395×105C.3.395×106 D.0.3395×1074.计算(-1)÷3×(-13)的结果是(A.-1 B.1 C.19 D.5.下列说法正确的是()A.近似数0.0158精确到0.001 B.近似数304.35精确到百分位C.近似数1.804精确到万分位 D.近似数6.237×106精确到0.0016.运用分配律计算1357×7A.(13+57)×716 B.(14-27C.(10+357)×716 D.(16-2277.下列算式中可运用分配律带来简便的是()A.60÷(13−14+112)C.(13−14+112)÷160 8.小丽利用业余时间练字,以每天写30个字为数量标准,超过30的个数记作正数,不足的个数记作负数.根据周一到周五的统计表,计算小丽这五天共写了多少个字()星期一二三四五字数+15-8+10-2+13A.28个 B.185个C.178个 D.198个9.根据下面的运算程序,若输入x的值为-1,则输出y的值为()A.1 B.3 C.6 D.2410.我们常用的数是十进制数,计算机程序使用的是二进制数(只有数码0和1),二进制是逢2进1的计数制,两者之间可以互相换算,如将(101)2,(1011)2换算成十进制数为:(101)2=1×22+0×21+1×20=4+0+1=5,(1011)2=1×23+0×22+1×21+1×20=8+0+2+1=11按此方式,则(1111)2=()A.8 B.4 C.16 D.15二、填空题(将结果填在题中横线上)11.计算:-3+|-5|=.

12.一辆公交车上原有14人,经过3个站点时乘客上、下车情况如下(上车人数记为正,下车人数记为负,单位:人):-3,+4,-5,+7,-11,+5,此时公交车上有人.

13.计算:-30×(12−23+14.用四舍五入法把3.1415926精确到千分位是;近似数3.0×106精确到位.

15.计算:(-81)÷214×49÷16.已知a是有理数,[a]表示不超过a的最大整数,如[3.2]=3,[-1.5]=-2,[0.8]=0,[2]=2等,那么[3.14]÷[3]×[-512]=.三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.计算:(1)12-16+(-5)-9;(2)(-3)×2+|-4|-(-1)2024.18.在横线上填写每一步的运算依据:22+(-4)+(-2)+4.解:原式=22+4+(-4)+(-2),

=(22+4)+[(-4)+(-2)],

=26+(-6),

=20.19.计算:(-202156)+(-202023)+404223+(-120.已知|x|=2,|y|=3,且xy>0,求x-y的值.21.定义一种新运算:a△b=(a+1)÷b,求2△(-3△4)的值.22.数学老师布置了一道思考题:“计算(-160)÷(13−3小红的解法:原式的倒数为(13−310+112−15)÷(-160)=(13−310+112−15)×(小明的解法:原式=(-160)÷[(13+112)-(310+15)]=(-160)÷(5请你分别用小红和小明的方法计算:(-124)÷(1623.小明有5张写着不同数字的卡片,请你按要求抽出卡片,完成下列问题:(-3)(-5)0+3+4(1)从中取出2张卡片,使这2张卡片上数字的乘积最小,乘积的最小值为;

(2)从中取出4张卡片,用学过的运算方法,使结果为24.写出运算式子.(写出一种即可)计算结果为24的式子为.

综合训练1.A2.A3.C4.C5.B6.D7.C解析:A项中,60÷13-14+B项中,13-14+112÷60=1C项中,13-14+112÷160=13-14+112×60=13×60-1D项中,13-14+112故选C.8.C9.D解析:根据题意,得(-1)2×3-3=0,02×3-3=-3<0,(-3)2×3-3=24>0,输出y的值为24,故选D.10.D解析:(1111