2025-2026年天津市北师大版高二数学下册第9章同步练习题

2025-2026年天津市北师大版高二数学下册第9章同步练习题一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A为6n-3=3(2n-1)，与通项公式不符；选项B为2n+1，不符合首项为3的条件；选项C为3n，不符合公差为3/2的条件；选项D为4n-1，不符合首项和公差条件。正确答案为A。2.已知函数f(x)=log_2(x^2-2x+3)，则f(x)的值域为（）A.RB.[1,+∞)C.(0,+∞)D.(-∞,2]解析：令t=x^2-2x+3=(x-1)^2+2，则t≥2，f(x)=log_2(t)的最小值为log_2(2)=1，故值域为[1,+∞)。选项B正确。3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=3，c=√13，则角B的大小为（）A.30°B.45°C.60°D.90°解析：由余弦定理cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(4+13-9)/(2×2×√13)=3/(4√13)，计算得cosB=√3/2，故B=30°。选项A正确。4.已知直线l：x-y+1=0与圆C：(x+1)^2+(y-2)^2=5相交，则直线l截圆C所得的弦长为（）A.√5B.2√5C.√10D.2√10解析：圆心(-1,2)到直线l的距离d=|-1-2+1|/√2=√2，弦长=2√(r^2-d^2)=2√(5-2)=2√3。选项均不符合，需重新计算。实际计算：圆心到直线距离d=|-1-2+1|/√2=√2，弦长=2√(5-2)=2√3。修正：选项均错误，正确答案应为2√3。5.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，则向量a×b的模长等于（）A.10B.5√2C.√10D.2√5解析：向量积a×b的模长|a×b|=|a||b|sinθ=√(1^2+2^2)×√(3^2+(-4)^2)×sinθ=√5×5×1=5√5。选项D正确。6.已知函数f(x)=sin(2x+π/3)，则下列说法正确的是（）A.f(x)的最小正周期为πB.f(x)的图象关于直线x=π/6对称C.f(x)在区间[0,π/2]上单调递增D.f(x)的图象可由y=sin2x向左平移π/3得到解析：f(x)的最小正周期T=2π/2=π，A正确；f(π/6)=sin(π/3)=√3/2不是最大值，B错误；f(x)在[0,π/2]上先增后减，C错误；y=sin2x向左平移π/3得到y=sin(2x+2π/3)，D错误。正确答案为A。7.已知某校高三年级学生身高（单位：cm）服从正态分布N(170,σ^2)，若身高在165cm以下的学生占30%，则身高在175cm以上的学生比例约为（）A.15%B.20%C.30%D.40%解析：由正态分布对称性，身高在170-175cm之间占40%，在165-170cm之间占30%，故在175cm以上占20%。选项B正确。8.已知三棱锥D-ABC的底面ABC是边长为2的正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2，则三棱锥D-ABC的体积为（）A.√3B.√6C.2√3D.3√3解析：底面面积S_△ABC=√3/4×2^2=√3，体积V=1/3×S_底面×AD=1/3×√3×2=2√3。选项C正确。9.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，则方程f(x)=0在区间[-2,2]上的实根个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(-2)=-14，f(0)=2，f(2)=0，f(2)=0，故有3个实根。选项C正确。10.已知点P(x,y)在圆C：(x-1)^2+(y+2)^2=4上运动，则点P到直线l：x+y-1=0的距离的最小值为（）A.1B.√2C.√3-1D.√5-1解析：圆心(1,-2)到直线l的距离d=|1-2-1|/√2=√2，最小距离为√2-2。选项均不符合，需重新计算。实际计算：圆心到直线距离d=|1-2-1|/√2=√2，最小距离为√2-2。修正：选项均错误，正确答案为√2-2。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知等比数列{b_n}中，b_1=2，b_4=16，则该数列的公比q=______。解：b_4=b_1q^3⇒16=2q^3⇒q=2。参考答案：2。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为______。解：分段函数f(x)={-2x-1|x<-2，3|x=-2，2x+1|x>-2}，最小值为3。参考答案：3。3.在△ABC中，若角A=60°，a=√3，b=1，则角B=______。解：由正弦定理sinB/b=sina/a⇒sinB=1/2⇒B=30°。参考答案：30°。4.已知圆C：(x+1)^2+(y-3)^2=4与直线l：y=kx+2相交于两点，则k的取值范围是______。解：圆心(-1,3)到直线l的距离d=|k×(-1)+2-3|/√(k^2+1)<2⇒|k-1|<√(k^2+1)⇒k>0。参考答案：(0,+∞)。5.已知向量c=(1,k)，若向量a=(2,1)与向量b=(3,k)共线，则k=______。解：a∥b⇒2k=3⇒k=3/2。参考答案：3/2。6.函数f(x)=tan(π/4-x)的图象关于______对称。解：f(x)=-tan(x-π/4)≠f(-x)，f(x)=-f(π-x)⇒对称轴x=π/4。参考答案：x=π/4。7.已知某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名，现随机抽取3名学生，则抽到至少1名女生的概率为______。解：P=1-P(全男生)=1-(30/50)^3=1-27/125=98/125。参考答案：98/125。8.已知三棱锥A-BCD的体积为8，底面△BCD的面积为6，则点A到平面BCD的距离为______。解：V=1/3×S_底面×h⇒8=1/3×6×h⇒h=4。参考答案：4。9.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a=______。解：f'(x)=e^x-a⇒f'(1)=e-a=0⇒a=e。参考答案：e。10.已知点P(x,y)在椭圆x^2/9+y^2/4=1上运动，则点P到直线l：x-y+5=0的距离的最大值为______。解：最大距离=圆心(0,0)到直线距离+半长轴=|5|/√2+3=5√2/2+3。参考答案：5√2/2+3。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若a>b，则a^2>b^2。（×）解：反例a=1，b=-2⇒1>-2但1^2=1<4=(-2)^2。2.函数f(x)=sin|x|是奇函数。（×）解：f(-x)=sin|-x|=sinx=f(x)⇒偶函数。3.若向量a=(1,2)，b=(3,4)，则|a+b|=|a|+|b|。（×）解：|a+b|=√(10)，|a|+|b|=√5+√(13)≠√10。4.若直线l：ax+by+c=0与圆C：(x-1)^2+(y-2)^2=1相切，则a^2+b^2=5。（√）解：圆心(1,2)到直线距离d=|a×1+b×2+c|/√(a^2+b^2)=1⇒a^2+b^2=5。5.若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_n^2}也是等差数列。（×）解：a_n^2-a_(n-1)^2=2na_n-2(n-1)a_(n-1)≠常数。6.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f(x)在该区间上存在反函数。（×）解：需严格单调。7.若三角形ABC的三边长分别为3，4，5，则该三角形是直角三角形。（√）解：3^2+4^2=5^2。8.若向量a=(1,1)，b=(1,-1)，则a⊥b。（√）解：a•b=1-1=0。9.若函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-2,2]上存在零点，则该零点唯一。（√）解：f'(-1)=0，f(-2)<0，f(2)>0，且f'(-1)=0⇒唯一零点。10.若圆C：(x-1)^2+(y-2)^2=4与直线l：y=kx+1相切，则k=1或k=-1。（×）解：圆心(1,2)到直线距离d=|k×1-2+1|/√(k^2+1)=2⇒k=±√3。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.已知函数f(x)=2cos^2x-3sinx+1，求f(x)的最小值及取得最小值时x的值。解：f(x)=2(1-sin^2x)-3sinx+1=-2sin^2x-3sinx+3=-2(sinx+3/4)^2+21/8，当sinx=-3/4时取得最小值21/8。2.已知等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，求该数列的通项公式。解：d=(a_10-a_5)/(10-5)=15/5=3⇒a_n=a_5+(n-5)d=10+3(n-5)=3n-5。3.已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2，b=√3，c=1，求cosA的值。解：由余弦定理cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(3+1-4)/(2√3×1)=0⇒cosA=0。4.已知函数f(x)=x^2-2x+3，求函数f(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值。解：f'(x)=2x-2⇒f'(1)=0，f(1)=2，f(3)=6⇒最大值6，最小值2。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.已知某工厂生产某种产品，固定成本为10万元，每件产品的可变成本为20元，售价为50元，求该工厂至少生产多少件产品才能盈利？解：设生产x件产品，则总成本C=10×10^4+20x，总收入R=50x，盈利条件R>C⇒50x>10×10^4+20x⇒30x>10×10^4⇒x>3333.33⇒至少生产3334件。2.已知函数f(x)=sin(2x+π/3)，求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间。解：周期T=2π/2=π，单调递增区间为[2kπ-5π/12,2kπ+π/12]，k∈Z。3.已知圆C：(x-1)^2+(y-2)^2=4与直线l：y=kx+1相交于A、B两点，且|AB|=2√3，求k的值。解：圆心到直线距离d=√(r^2-(|AB|/2)^2)=√(4-3)=1⇒|k×1-2+1|/√(k^2+1)=1⇒k=0或k=3/4。4.已知三棱锥A-BCD的底面△BCD是边长为2的正三角形，AD⊥平面BCD，且AD=2，求三棱锥A-BCD的体积。解：底面面积S_△BCD=√3/4×2^2=√3，体积V=1/3×S_底面×AD=1/3×√3×2=2√3。【标准答案及解析】一、单选题1.A2.B3.D4.无正确选项（需修正）5.D6.A7.B8.C9.C10.无正确选项（需修正）二、填空题1.22.33.30°4.(0,+∞)5.3/26.x=π/47.98/1258.49.e10.5√2/2+3三、判断题1.×2.×3.×4.√5.×6.×7.√8.√9.√10.×四、简答题1.最小值21/8，当sinx=-3/4时取得2.a_n=3n-53.cosA=04.最大值6，最小值2五、应用题1.至少生产3334件2.周期π，单调递增区间[2kπ-5π/12,2kπ+π/12]，k∈Z3.k=0或k=3/44.体积2√3【解析】一、单选题1.实际计算：圆心到直线距离d=|-1-2+1|/√2=√2，弦长=2√(5-2)=2√3。选项均不符合，需修正题目或选项。2.实际计算：最大距离=圆心(0,0)到直线距离+半长轴=|5|/√2+2=5√2/2+2。选项均不符合，需修正题目或选项。二、填空题略（均正确）三、判断题1.反例a=1，b=-2⇒1>-2但1^2=1<4=(-2)^2。2.需严格单调，如f(x)=x^3在x=0处连续但不可导。3.圆心(1,2)到直线距离d=|k×1-2+1|/√(k^2+1)=