第1课时 合并同类项

4.2整式的加法与减法第1课时合并同类项教学目标课题4.2第1课时合并同类项授课人素养目标1.理解多项式中同类项的概念，会识别同类项.2.掌握合并同类项的法则.3.体会合并同类项给计算求值带来的简化作用，提升运算能力.教学重点同类项的概念，合并同类项的法则.教学难点找出同类项并合并.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，引入新知【情境引入】数能进行加减运算，整式中的每个字母都表示数，这样，整式与数一样，也可以进行加减运算.我们来看本章引言中的问题（2）.汽车从香港口岸到西人工岛包含两段路程，一段为香港口岸到东人工岛，另一段为海底隧道.如果汽车通过海底隧道需要a`h，那么从香港口岸到东人工岛所需时间是1.25ah，香港口岸到西人工岛的全长（单位：km）是72a＋96×1.25a，即72a＋120a.如何计算72a＋120a呢？下面我们类比数的运算，讨论整式72a，120a的加法运算.【教学建议】这里明确指出“类比数的运算”，教学中要注意落实，使学生体会“数式通性”.设计意图引入合并同类项的课题.活动二：类比探究，学习新知探究点1同类项问题1（教材P95探究（1））运用运算律计算：72×2＋120×2＝（72＋120）×2＝192×2＝384；72×（－2）＋120×（－2）＝（72＋120）×（－2）＝192×（－2）＝－384.可以用分配律简便计算，计算过程及结果如上.问题2（教材P95探究（2））根据问题1中的方法完成下面的运算，并说明其中的道理：72a＋120a＝（72＋120）a＝192a.运算过程及结果如上，道理如下：问题3（教材P96探究）填空：（1）72a－120a＝（72－120）a＝－48a；（2）3m2＋2m2＝（3＋2）m2＝5m2；（3）3xy2－4xy2＝（3－4）xy2＝－xy2.【教学建议】（1）可以给学生说明，问题1中的两个式子，是72a＋120a，a取2和－2时的算式.（2）教学时要注意引导学生：类比数的运算进行式的运算.让学生体会由数到式、由具体到一般的思想方法.设计意图类比数的运算，得出式的运算方法，强化运算能力.

教学步骤师生活动设计意图问题4在问题3中，每一组算式中的两项，它们含有的字母有什么特点？概念引入：像72a与－120a，3m2与2m2，3xy2与－4xy2这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项.几个常数项也是同类项.【对应训练】判断每一组是不是同类项，不是则为前者配一个同类项.（1）2x2y与－3x2y；是（3）－3pq与3pq；是（2）2abc与3ab；不是，3abc（4）－4m2n与5mn2.不是，5m2n【教学建议】对于问题3及对应训练，教师可向学生强调：同类项只与字母及其指数有关，与系数无关，与字母在单项式中的排列顺序也无关.引出同类项的概念.

设计意图探究点2合并同类项问题1观察探究点1中问题3中的三组式子，它们的系数在运算中有什么规律？你能从中得到什么启示？规律：等号左边各项的系数的和等于运算结果的系数.启示：多项式中的字母表示的是数，所以我们也可以利用交换律、结合律、分配律把多项式中的同类项进行合并.问题2对于式子4x2＋2x＋7＋3x－8x2－2，你认为如何进行同类项的合并？4x2＋2x＋7＋3x－8x2－2＝4x2－8x2＋2x＋3x＋7－2（交换律）＝（4x2－8x2）＋（2x＋3x）＋（7－2）（结合律）＝（4－8）x2＋（2＋3）x＋（7－2）（分配律）＝－4x2＋5x＋5.（合并同类项）知识引入：合并同类型的概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项.合并同类项的法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变.例（教材P96例1）合并下列各式的同类项：（1）xy2－eq\f(1,5)xy2；（2）4a2＋3b2＋2ab－4a2－4b2.解：（1）xy2－eq\f(1,5)xy2＝（1－eq\f(1,5)）xy2＝eq\f(4,5)xy2；（2）4a2＋3b2＋2ab－4a2－4b2……找＝（4a2－4a2）＋（3b2－4b2）＋2ab……移＝（4－4）a2＋（3－4）b2＋2ab……合＝－b2＋2ab.……排【对应训练】教材P98练习第1题.【教学建议】（1）交换多项式中项的位置时，要提醒学生注意项的符号.（2）教师适时带着学生总结合并同类项的步骤：一找：找出同类项，当项数较多时，通常在同类项的下面画相同的标记，画标记时要连同该项前面的符号一起画；二移：运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项结合；三合：利用合并同类项法则，合并同类项；四排：合并后的结果按某一个字母降幂（或升幂）的顺序排列.（3）合并同类项时，只能把同类项合并成一项，在问题2中，原式子化为－4x2＋5x＋5后，不再有同类项，就不能再合并了.【教学建议】4a2－4a2＝（4－4）a2＝0·a2＝0.教学时可以向学生解释0·a2＝0的原因（a表示数，对于0·a2，无论a取何有理数，0·a2都等于0）.根据运算律，得出合并同类项的法则.设计意图加强对合并同类项法则的掌握，强化运算能力.

教学步骤师生活动活动三：熟练运用，巩固提升例1（教材P97例2）（1）求多项式2x2－5x＋x2＋4x－3x2－2的值，其中x＝eq\f(1,2)；（2）求多项式3a＋abc－eq\f(1,3)c2－3a＋eq\f(1,3)c2的值，其中a＝－eq\f(1,6)，b＝2，c＝－3.分析：在求多项式的值时，可以先将多项式中的同类项合并，然后再求值，这样做往往可以简化计算.解：（1）2x2－5x＋x2＋4x－3x2－2＝（2＋1－3）x2＋（－5＋4）x－2＝－x－2.当x＝eq\f(1,2)时，原式＝－eq\f(1,2)－2＝－eq\f(5,2).（2）3a＋abc－eq\f(1,3)c2－3a＋eq\f(1,3)c2＝（3－3）a＋abc＋（－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)）c2＝abc.当a＝－eq\f(1,6)，b＝2，c＝－3时，原式＝（－eq\f(1,6)）×2×（－3）＝1.例2（教材P97例3）（1）水库水位第一天连续下降了ah，平均每小时下降2cm；第二天连续上升了ah，平均每小时上升0.5cm，这两天水位总的变化情况如何？（2）某商店原有5袋大米，每袋大米为xkg.上午售出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋.进货后这个商店有大米多少千克？解：（1）把下降的水位变化量记为负，上升的水位变化量记为正，则第一天水位的变化量是－2acm，第二天水位的变化量是0.5acm.由－2a＋0.5a＝（－2＋0.5）a＝－1.5a可知，这两天水位总的变化情况为下降了1.5a`cm.（2）把进货的数量记为正，售出的数量记为负，则上午大米质量的变化量是－3xkg，下午大米质量的变化量是4xkg.由5x－3x＋4x＝（5－3＋4）x＝6x可知，进货后这个商店有大米6xkg.【对应训练】教材P98练习第2，3题.【教学建议】教学时，可让学生直接代入求值，并与例题的解答方法比较，使学生对“先化简，再求值，可以简化计算”有深刻印象.【教学建议】让学生注意题中用负数表示了相反意义的量.设计意图进一步巩固对合并同类项的掌握，并体会它在简化计算方面的作用设计意图通过合并同类项解决实际问题，强化应用意识.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是同类项？2.合并同类项的法则是怎样的？3.合并同类项依据的运算律是什么？4.合并同类项可以简化计算吗？【知识结构】.教学步骤师生活动【作业布置】1.教材P102习题4.2第1，8，9，10，11题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.板书设计教学反思合并同类项是从具体的数字运算发展到代数式运算的一个转折，教学中需要学生通过本节课内容的学习，初步了解代数式运算的特点，体会代数式运算与数字运算的异同，初步完成由数字运算到代数式运算的思维转变；同时合并同类项又是今后其他代数式运算及解方程、解不等式的不可或缺的一个环节，因此要特别重视.教学时要让学生通过探索，充分理解合并同类项的运算法则，并在应用时互相纠偏补缺.解题大招一对合并同类项的理解如果两个单项式能合并成一项，那么这两个单项式必为同类项.再根据同类项的特征解题即可.例1请写出一个能与－5x3y合并成一项的单项式：6x3y（答案不唯一）.解析：因为所求单项式能与－5x3y合并成一项，所以这个单项式与－5x3y是同类项.根据同类项的概念，观察单项式－5x3y含有的字母及各个字母的指数，那么这个单项式可以是6x3y（答案不唯一）.例2若单项式－2a1+mb2与5a3bn－1的和仍是单项式，求mn的值.解：因为单项式－2a1＋mb2与5a3bn－1的和仍是单项式，所以－2a1＋mb2与5a3bn－1是同类项.所以1＋m＝3，2＝n－1，所以m＝2，n＝3，所以mn＝23＝8.解题大招二合并同类项的应用准确找出题中的数量关系，用字母表示相关量列算式，再合并同类项求解.例3李明家住房的结构如图所示（图中长度单位：m），李明打算把卧室和客厅铺上木地板.（1）请你帮他算一算，他至少需买多少平方米的木地板？（2）如果他选用的木地板的价格是m元/m2，那么购买所需的木地板需要多少钱？解：（1）客厅的面积为：4b·2a＝8ab（m2）.卧室的面积为：（4a－2a）·2b＝4ab（m2）.所以需买木地板的面积为：8ab＋4ab＝12ab（m2）.（2）如果他选用的木地板的价格是m元/m2，那么购买所需的木地板需要12abm元.培优点多项式中的“无关”问题例刘伟和李明同学在解这样一道题：“当x＝eq\f(1,2024)，y＝2025时，求多项式8x3－5x3y＋3x2y＋2x3＋5x3y－3x2y－10x3＋9的值.”刘伟认为条件“x＝eq\f(1,2024)，y＝2025”是多余的，李明却认为题中的多项式含有x，y，不给出x，y的值无法计算，你认为谁说得对？请说明理由.分析：首先找出待求多项式中的同类项，然后合并同类项，若合并后的结果不含x，y，则原多项式的值与x，y无关.解：刘伟说得对.理由：因为原式＝（8x3＋2x3－10x3）＋（－5x3y＋5x3y）＋（3x2y－3x2y）＋9＝9，所以结果与x，y的取值无关，所以刘伟说得对.综合训练一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.若单项式-x2ya+3与单项式2xb-1y能合并为x2y,则a+b的值为()A.0 B.1 C.-1 D.-22.下列结论正确的是()①14(x2+y)是一个二次多项式;②多项式13(xy-x2-y2)的系数是13;③多项式是整式;④多项式x2+xy-7的次数是4;⑤1A.①②③④ B.①③ C.②③⑤ D.①④⑤3.给出下列式子:xy4,3a,π,x-y4,1,3a2+1,1A.1 B.2 C.3 D.44.多项式x2-kxy+5xy-1中不含xy的项,则k的值为()A.3 B.4 C.5 D.65.下列各式中,与-3a3b2是同类项的是()A.3a3b B.b2a3 C.b2a2 D.-3ab6.下列计算中,正确的是()A.6a+4b=10ab B.7x2y-3x2y=4x4y2C.7a2b-7ba2=0 D.8x2+8x2=16x47.下列去括号正确的是()A.x2-(x-3y)=x2-x-3y B.x2-3(y2-2xy)=x2-3y2+2xyC.m2-4(m-1)=m2-4m+4 D.a2-2(a-3)=a2+2a-68.已知M=2a+b,N=4a-3b,则2M-N的结果为()A.-2b B.-bC.4b D.5b9.如图,这是2024年1月的日历,用随意圈出五个数,所圈的五个数的和一定()A.能被2整除B.能被3整除C.能被4整除D.能被5整除10.已知关于x,y的两个多项式A=x3-axy+3x2y3+1,B=2x3-xy+bx2y3.小希在计算时把题目条件A+B错看成了A-B,求得的结果为-x3+2xy+1,那么小希最终计算的A+B中不含的项为()A.五次项 B.三次项 C.二次项 D.常数项二、填空题(将结果填在题中横线上)11.已知整式A与3a5是同类项,请写出一个满足已知条件的整式A:.

12.化简:8x-(3x-5)=.

13.某工厂第一车间有x人,第二车间比第一车间人数的一半多10人,如果从第二车间调出8人到第一车间,则调动后,第一车间的人数比第二车间多人.

14.已知关于x,y的多项式x2+mx-2y+n与nx2-3x+4y-7的差的值与字母x的取值无关,则n-m=.

15.若|a|表示有理数,则一定是非负数,也就是说它的值为正数或0,所以|a|的最小值为0.当|3(x+y)-12|有最小值时,(6x-7y)-(7x-6y)的值为.

16.已知(a+10)x3+cx2-2x+5是关于x的二次多项式,且有理数a,b,c满足(c-18)2=-|a+b|,则a-b+c=.

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.合并下列各式的同类项:(1)a+2b+3a-2b;(2)3x2+6x+5-4x2+7x-6;(3)x2y-3xy2+2yx2-y2x;(4)3(x+y)2-(x-y)+2(x+y)2+(x-y)-5(x+y)2.(提示:把(x-y)和(x+y)各看成一个整体)18.化简:(1)(8a2b-5ab2)-2(3a2b-4ab2);(2)3x2-[5x-(12x-3)+2x2]19.阅读下面材料,并完成相应学习任务.林林同学在计算2(ab2+3a2b)-3(ab2+a2b)-a2b时,写出如下计算步骤:2(ab2+3a2b)-3(ab2+a2b)-a2b=2ab2+6a2b-3ab2+3a2b-a2b 第一步=2ab2-3ab2+6a2b+3a2b-a2b 第二步=(2ab2-3ab2)+(6a2b+3a2b-a2b) 第三步=-ab2+8a2b 第四步(1)以上步骤第步开始出现了错误,错误的原因是.

(2)请写出正确的化简过程并求值,其中a=-12,b=220.已知A,B都是关于y的整式,其中B=y+2,小明在计算多项式A-2B的结果时,不小心把表示A的多项式弄脏了,现在只知道2B-A的结果为ay+2y-1.(1)请根据仅有的信息求出A表示的多项式;(2)若多项式2B-A中不含y的项,求a的值.21.某校七年级开展了“数学思维导图”评比活动,并设立一、二、三等奖共100个,二等奖个数比一等奖个数的3倍多10,设一等奖的个数为x.(1)请用含x的代数式表示:二等奖的个数是,三等奖的个数是;(填化简后的代数式)

(2)若一等奖奖品的单价为20元,二等奖奖品的单价为16元,三等奖奖品的单价为10元,请用含x的代数式表示购买100件奖品所需的总费用为元(结果化为最简);

(3)若一等奖的个数为10,结合(2),则该校购买100件奖品共花费多少元?综合训练1.B2.B3.D4.C5.B6.C7.C8.D9.D10.C11.4a5(答案不唯一)12.5x+513.x14.415.-416.-217.解:(1)a+2b+3a-2b=(a+3a)+(2b-2b)=(1+3)a+(2-2)b=4a.(2)3x2+6x+5-4x2+7x-6=(3x2-4x2)+(6x+7x)+(5-6)=(3-4)x2+(6+7)x+(-1)=-x2+13x-1.(3)x2y-3xy2+2yx2-y2x=(x2y+2yx2)+(-3xy2-y2x)=(1+2)x2y+(-3-1)xy2=3x2y-4xy2.(4)3(x+y)2-(x-y)+2(x+y)2+(x-y)-5(x+y)2=[3(x+y)2+2(x+y)2-5(x+y)2]+[(x-y)-(x-y)]=(