第3课时 反比例关系

第3课时反比例关系教学目标课题3.1第3课时反比例关系授课人素养目标1.探索简单实例中的数量关系和变化规律，结合具体情境体会反比例关系.2.初步了解反比例关系的表现形式，并能在实际问题中识别反比例关系，发展学生的抽象能力和应用意识.教学重点反比例关系的概念及识别.教学难点在实际问题中识别反比例关系.教学活动教学步骤师生活动活动一：悬疑激趣，新课导入设计意图类比正比例关系，对实例进行演变，引发学生思考，为引入反比例关系的概念做铺垫.【类比引入】1.回忆：小学我们已经学过的成正比例的量的概念是什么？如果两个变化的量的比值保持不变，或用符号表示为yx=k（k是一个确定的值，且k≠0），这时称这两个量y和x为成正比例的量.2.复习：第1课时活动二中的问题1：3.猜想我们不难回答上面“猜想”中的特点，但该怎样进一步表述这两个量之间的关系呢？让我们赶快进入新的学习吧！【教学建议】进入本节课之前先引导学生回顾正比例关系，再通过对问题进行演变使学生对反比例关系有一个初步感知，重点在于类比正比例关系使学生发现新问题中量和量之间存在共性（乘积为定值）.活动二：交流合作，探究新知设计意图通过实例引入反比例关系的概念，并与正比例关系进行比较，帮助学生更深刻地理解.探究点反比例关系问题（教材P73问题）北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市.在冬季奥运会前，某赛场计划造雪260000m3.解答下列问题：（1）根据每天造雪量，计算所需的造雪天数，填写下表.（2）每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的？它们之间有什么关系？（续表）概念引入：像这样，两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系.如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k是一个确定的值，且k≠0），反比例关系可以用xy=k来表示.想一想：正比例关系与反比例关系有什么区别和联系？思考生活中，成反比例关系的例子是很常见的.例如，在购买某种商品时，总价一定，购物的数量与商品的单价成反比例关系.你还能举出一些例子吗？①泳池里水的体积一定，将水放完，排水的速度与所用时间成反比例关系；②路程一定，行驶速度与行完全程所需时间成反比例关系等.【对应训练】教材P75练习第1，2题.【教学建议】这部分教学应采用启发式教学的方法，教师抛出问题，鼓励学生小组合作，共同探讨、交流，引导学生通过观察和对问题的探究，说出工作时间与工作效率的乘积为定值，再一次印证学生在活动一中已经得出的结论.教师提醒学生特别注意比例系数k在当前学情下虽不做过多探讨，但k≠0仍需明确知晓，必要时可适当解释不为0的原因.【教学建议】将反比例关系与正比例关系进行对比，分析它们的异同点，这点是很有必要的，学生能借助正比例关系的探究方法进行参照学习，有助于学生更好地理解反比例关系的实质.以后这样的类比学习会经常出现，学生初学会比较困难，教师可直接讲述.而后面的“思考”是为了帮助学生更进一步巩固对反比例关系的认识.活动三：实际应用，巩固新知设计意图设计实际问题引导学生解决，进一步强化学生对于反比例关系的理解，并培养学生的应用能力和一定的计算能力.例（教材P74例5）如图，四个圆柱形容器内部的底面积分别为10cm2，20cm2，30cm2，60cm2.分别往这四个容器中注入300cm3的水.（1）四个容器中水的高度分别是多少厘米？（2）分别用x（单位：cm2）和y（单位：cm）表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示y与x的关系，y与x成什么比例关系？分析：题中涉及圆柱的体积、底面积及高三个量，它们之间具有关系：圆柱的体积=底面积×高，高=eq\f(圆柱的体积,底面积).解：（1）四个容器中水的高度分别为eq\f(300,10)=30（cm），eq\f(300,20)=15（cm），eq\f(300,30)=10（cm），eq\f(300,60)=5（cm）.（2）xy=300.y与x成反比例关系.【对应训练】1.给一间教室铺地砖，每块地砖的面积（单位：cm2）与所需地砖的数量（单位：块）如下表所示.（1）这间教室的地面面积是多少平方米？（2）所需地砖的数量是怎样随着每块地砖的面积的变化而变化的？（3）若用n表示所需地砖的数量，m表示每块地砖的面积，用式子表示n与m的关系.n与m成什么比例关系？解：（1）这间教室的地面面积是300×1600=480000（cm2）=48m2.（2）由表可知所需地砖的数量随着每块地砖的面积的增大而减小，但它们的乘积一定，都为480000.（3）mn=480000.n与m成反比例关系.2.教材P75练习第3题.【教学建议】这里涉及的运算要让学生自主动手进行，一方面是加强理解，另一方面也是为后面学习代数式求值进行预演.可倡导按照自己所想的方法进行求值（不必硬套公式），学力稍强的学生可能已经运用代值求解的方法去解决问题了，应对这种思维超前、灵活运用的学生予以认可，对于其他学生也应当鼓励，营造积极的学习氛围，使学生在自主学习中获得成就感.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：什么是反比例关系？两个相关联的量何时满足反比例关系，你能举例说明吗？【知识结构】【作业布置】1.教材P76习题3.1第4,5,9题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.板书设计第3课时反比例关系1.反比例关系的概念2.反比例关系的识别3.反比例关系的应用教学反思本节课先由小学已经学过的正比例关系引入，通过实例使学生认识到反比例关系，再联系实际使学生能够从具体情境中准确识别反比例关系，让学生感受到生活中处处有数学.本节课的教学从实际出发，通过实例构建数学模型，是以后学习反比例函数的基础.为达到更好的学习效果，应尽可能多举实例，也可让学生尽情发挥想象，从身边的事例中找出这种关系，学以致用.解题大招一识别反比例关系的方法识别两个量是否成反比例关系，主要从以下两个方面进行判断：（1）观察这两个量之间的乘积是否始终为一个非零定值，若是，则成反比例关系，否则不成反比例关系；（2）当题目中只给出了用式子表示的两个量（x与y）之间的关系，则看是否符合xy=k（k是一个固定的值，且k≠0）的形式，若符合，则成反比例关系，否则不成反比例关系.例1下列选项中y与x的关系是反比例关系的是（B）A.xy=0B.2xy=5C.eq\f(y,x)=32D.x2y=1例2下列数量关系中，成反比例关系的是（C）A.橘子的单价一定，购买橘子的总价与购买数量B.学校计划种植500棵树，已种的棵数与未种的棵数C.两地之间铺设全长一定的铁轨，每日铺设长度与所需天数D.一个人的体重与他的年龄解析：选项判断理由是否成反比例关系A橘子的单价一定，购买橘子的总价与购买数量成正比例关系否B已种的棵数与未种的棵数的和是定值500，而乘积不是定值否C两地之间铺设全长一定的铁轨，每日铺设长度与所需天数的乘积是定值，即为铁轨全长是D一个人的体重与他的年龄的乘积不为定值否培优点判断实际问题中的反比例关系例某兴趣小组通过对固定输出功率的发动机进行实验，得到对应的扭矩M（使物体发生转动的力矩，单位：N·m)和转速n（发动机曲轴的转动速度，单位：kr/min)的数据如表：（1）用式子表示M与n的关系，M与n成什么比例关系？（2）当转速为2.4kr/min时，扭矩是多大？当转速为5kr/min时呢？解：（1）由表可知，表中所有扭矩与对应转速的乘积为定值600，所以Mn=600.M与n成反比例关系.（2）当转速为2.4kr/min时，扭矩为eq\f(600,2.4)=250（N·m）；当转速为5kr/min时，扭矩为eq\f(600,5)=120（N·m）.综合训练一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.下列是代数式的是()A.0<2 B.x2-1≠0 C.-3 D.x+y=12.已知语句“b比a的3倍多1”,下列关于甲、乙的判断正确的是()甲:用a表示b的代数式是3a+1;乙:用b表示a的代数式是b+1A.甲、乙都对 B.甲、乙都错 C.甲对,乙错 D.甲错,乙对3.一个三位数,百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,则这个三位数为()A.abc B.a+b+c C.100a+10b+c D.100abc4.已知甲、乙两数的和为30,若甲数为x,则甲数的3倍与乙数的23的和用含有x的式子表示正确的是(A.3(30-x)+23 B.23(3x+30C.3x+23(30-x) D.3(30-x)+5.代数式a2+b2可以表示不同实际问题中的数量关系,下列举例恰当的是()A.长是a,宽是b的长方形的周长B.购买(a+b)本单价为(a+b)元的笔记本的总价钱C.买a支单价为a元的钢笔和b支单价为b元的铅笔的总价钱D.边长是a+b的正方形的面积6.下列四个说法:①书的总页数一定,未读的页数与已读的页数成正比例;②如果圆的半径不变,圆的周长与圆周率成正比例;③小麦的总产量一定,每公顷产量与公顷数成反比例;④圆柱的体积一定,圆柱的底面积与高成反比例.其中正确说法的个数是()A.1 B.2 C.3 D.47.规定新运算:x◎y=xy-y2,则12◎(-2)=(A.-5 B.3 C.-3 D.18.若2024×7=x,则下列代数式可以表示2024×5的是()A.x+4048 B.x-2024 C.x-2 D.579.某商场针对一款服装给出两个调价方案:①先提价10%,再降价10%;②先降价20%,再提价20%.下列说法正确的是()A.①②两种方案的调价结果相同B.方案①的售价比方案②的售价低C.方案①的售价比方案②的售价高D.无法比较,调整后的售价高低取决于服装原售价10.某窗户的形状如图所示,其上部是半圆形,下部是由两个相同的长方形和一个正方形构成.已知半圆的半径为acm,长方形的长和宽分别为bcm和ccm.给出下面四个结论:①窗户外围的周长是(πa+3b+2c)cm;②窗户的面积是(πa2+2bc+b2)cm2;③b+2c=2a;④b=3c.上述结论中,所有正确结论的序号是()A.①② B.①③ C.②④ D.③④二、填空题(将结果填在题中横线上)11.一支铅笔的价格是a元,一块橡皮的价格是b元,买3支铅笔和7块橡皮应付元.

12.一个长方体容器的底面是长为a,宽为b的长方形,将体积为V的水倒入这个长方体容器,则水面的高度为.(用含a,b,V的式子表示)

13.若比-2大3的数为x,-5的绝对值为y,-14的4倍为z,则x+y+z=.14.已知甲、乙两种书的售价分别为12元/本、20元/本,现购买a本甲书和b本乙书,共付款W元.(1)W=;(用含a,b的式子表示)

(2)若|a-2|+(b-1)2=0,则W的值为.

15.一组数-2,5,-8,11,-14,17……按这样的规律排列下去,则第10个数为.

16.某超市以m元/袋的价格购进了200袋相同的酱料,加价50%卖出了180袋,剩余每袋比进价增加n元后全部卖出,卖完这批酱料该超市可获得利润元.(用含m,n的代数式表示)

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.用代数式表示:(1)长为x,宽为y的长方形的面积;(2)棱长为a的正方体的表面积;(3)某班总人数为m,女生人数是男生人数的35(4)a的相反数与b的倒数的和(b≠0);(5)x,y两数的平方和减去它们积的2倍;(6)底面半径为r,体积为V的圆锥的高.18.下图是一个“数值转换机”的示意图.输入x→乘4→减6→除以2→输出(1)输出的结果用含x的代数式表示为;

(2)当输入x=13时,求输出的值19.已知m是6的相反数,n比-m的相反数大3.(1)直接写出m=,n=.

(2)求-n-m+7的值.20.某服装厂生产一种西装和领带,西装每套定价300元,领带每条定价40元.厂方在开展促销活动期间,向客户提供两种优惠方案.方案一:买一套西装送一条领带;方案二:西装和领带的定价打九折付款.现有某客户要到该服装厂购买西装50套,领带x条(x>50).(1)若该客户按方案一购买,需付款元.(用含x的代数式表示)

若该客户按方案二购买,需付款元.(用含x的代数式表示)

(2)若该客户购买西装50套,领带60条,请通过计算说明按哪种方案购买较为合算.(3)若该客户购买西装50套,领带200条,请通过计算说明按哪种方案购买较为合算.21.观察、探究、应用(1)在下列横线上用含有a,b的代数式表示相应图形的面积.①②③④

(2)通过拼图,你发现前3个图形的面积与第4个图形的面积之间有什么关系?请用数学式子表示:(用含字母a,b的等式表示).

(3)利用(2)的结论计算:①172+2×17×3+32;②1992+398+1的值.综合训练1.C2.C3.C4.C5.C6.B7.A解析:因为x◎y=xy-y2,所以12◎(-2)=12×(-2)-(-2)2=-1-4=-8.D9.C10.B解析:根据题干图形,可知窗户的周长是12×2π×a+b+c+b+c+b=(πa+3b+2c)cm,故①正确窗户的面积是12πa2+2bc+b2,故②错误由题干图形可知b+2c=2a,故③正确;由b+2c=2a,得不出b和c之间的关系,故④错误.故选B.11.(3a+7b)12.V13.514.(1)(12a+20b)(2)4415.2916.(90m+20n)17.解:(1)xy;(2)6a2;(3)58m;