第4课时 方案选择问题

第4课时方案选择问题教学目标课题5.3第4课时方案选择问题授课人素养目标1.能根据文字构建直观的数学模型，利用图表分析实际情境和问题.2.通过分类讨论解决最优方案选择问题，锻炼统筹规划的能力.教学重点从实际问题中构建计费问题的数学模型，在不同区间内对各方案进行比较.教学难点准确分类讨论，得出最优方案.教学活动教学步骤师生活动活动一：结合生活，引入新知设计意图通过生活中常见的情境，引发学生的讨论和兴趣.【问题引入】两款空调的部分信息如表.品牌售价/元平均每年耗电量/（kW·h）A3200650B2400900购买哪款空调较划算呢？下面是李明和王芳的对话，他们谁说得有道理？【教学建议】让学生自行讨论，适当发言，留意学生作选择的依据，后面教学时有针对性地展开讲解.活动二：交流讨论，探究新知设计意图整合信息，逐步设问，引出解决问题的思路.探究点方案选择不同能效空调的综合费用比较（教材P138探究3）购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况.某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，表中是这两款空调的部分基本信息.如果电价是0.5元/（kW·h），请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低.两款空调的部分基本信息匹数能效等级售价/元平均每年耗电量/（kW·h）1.51级30006401.53级2600800问题1一台空调的综合费用包括哪些部分？空调的售价、电费.问题2一台空调使用了若干年，产生的总电费是怎样计算的？电价×每年耗电量×使用年数.问题3设空调的使用年数是t，请你用代数式表示两款空调的综合费用.1级能效空调的综合费用（单位：元）是3000+0.5×640t，即3000+320t.3级能效空调的综合费用（单位：元）是2600+0.5×800t，即2600+400t.问题4两款空调的综合费用与使用年数t有关，如何比较它们的大小呢？（1）t取什么值时，两款空调的综合费用相等？列方程3000+320t=2600+400t，解得t=5.即t=5时，两款空调的综合费用相等.（2）t取其他值时，两款空调的综合费用大小如何比较呢？我们把表示3级能效空调的综合费用的式子2600+400t变形为1级能效空调的综合费用与另外一个式子的和，即（3000+320t）+（80t-400）,也就是3000+320t+80（t-5）.这样，当t<5时，80（t-5）是负数，这表明3级能效空调的综合费用较低；当t>5时，80（t-5）是正数，这表明1级能效空调的综合费用较低.【对应训练】教材P139练习第1题.【教学建议】本课题涉及一定的实际生活经验，学生如有理解困难的地方,教师可适当展开讲解.【教学建议】选择最划算的方案时，需要进行先分类再综合的思考，其中用方程找关键时间（费用相同时的使用年数）是重要的一步.活动三：知识升华，巩固提升设计意图对方案选择问题的掌握..例某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元并且多买都有一定的优惠，甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收费，其余每台优惠25%；乙商场的优惠条件是：每台优惠20%.（1）设购买x台电脑，则甲商场费用为_______元，乙商场费用为_______元.(均用含x的代数式表示）（2）购买多少台电脑时，两家商场收费一样？（3）学校应该怎样选择？解：（1）（4500x+1500）4800x（2）当两家商场收费一样时，4500x+1500=4800x，解得x=5.所以当购买5台电脑时，两家商场收费一样.（3）当购买电脑台数小于5时，选择乙商场购买；当购买电脑台数等于5时，选择哪家商场都一样；当购买电脑台数大于5时，选择甲商场购买.【对应训练】教材P139练习第2题.【教学建议】在对不同方案进行比较时，提醒学生注意临界点，以及临界点前后，不同方案在单件上优惠力度的差别.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.计算空调的综合费用时，不确定的因素是什么？2.两款空调的综合费用的大小关系是确定的吗？有什么特点？3.如何选择合适的方案？【知识结构】【作业布置】1.教材P141习题5.3第14题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.板书设计第4课时方案选择问题1.构建模型2.方案选择教学反思方案选择是生活中常常要面临的问题，本节课通过层层设问，由浅入深，循序渐进，引导学生对问题逐步探究，最终作出合理的决策.通过数学的思维，全面理性地分析决策时需要考虑的要素，锻炼了学生提炼和处理信息的能力，以及统筹规划的能力.数学来源于实践，也服务于实践.通过本节课的学习，学生深刻体会到了数学的实际应用价值，在日后的生活中，也必然会具备更理性的态度.解题大招分段计费问题分段计费问题中，有时消费量未知，需要结合分段收费标准以及总费用，反向推理消费量；或已知消费量及总费用，反推分段标准.解决这些类型的问题，一般先根据计费结果判断消费量可能在哪个范围内，再根据对应的数量关系，构建方程模型求消费量或分段标准.例1为鼓励节约用电，某地对居民用电收费标准作如下规定：如果每月每户用电量不超过100kW·h，那么每千瓦时电价按0.55元收费；如果超过100kW·h，那么超过部分每千瓦时电价按1元收费.某户居民3月需缴纳电费105元，则该户居民3月共用电多少千瓦时？解：因为100×0.55=55(元)，55＜105,所以该户居民3月的用电量超过了100kW·h.设该户居民3月共用电xkW·h.根据题意，得100×0.55+（x-100）×1=105，解得x=150.答：该户居民3月共用电150kW·h.例2为增强市民的节水意识，某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准量部分的水价为1.5元/t，超过月用水标准量部分的水价为2.5元/t.该市李明家5月份用水14t，交水费25元.该市规定的每户月用水标准量是多少吨？解：因为14×1.5=21（元），21<25，所以李明家5月份用水超过了标准量.设该市规定的每户月用水标准量是xt.根据题意，得1.5x+2.5（14-x）=25，解得x=10.答：该市规定的每户月用水标准量是10t.培优点购票中的方案选择问题例某公园门票价格规定如下表：购票张数1~50张51~100张100张以上每张票的价格13元11元9元某校七年级（1）（2）两个班共104名学生去游园，其中（1）班有40多名学生，不足50名学生.经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元.（1）两班各有多少名学生？（2）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？（3）如果（1）班单独组织去游园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？分析：（1）设（1）班有x名学生，则（2）班有（104-x）名学生，根据“购票总费用=（1）班购票费用+（2）班购票费用”即可求解；（2）求出购买104张票的总钱数，将其与1240作差即可得出结论；（3）分别求出购买48张门票以及购买51张门票的总钱数，比较后即可得出结论.解：（1）设（1）班有x名学生，则（2）班有（104-x）名学生.根据题意，得13x+11（104-x）=1240.解得x=48.进而104-x=56.故七年级（1）班有48名学生，七年级（2）班有56名学生.（2）1240-9×104=304（元）.即可省304元钱.（3）51×11=561（元），48×13=624（元）.因为561<624，所以购买51张门票最省钱.综合训练一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.将方程5x+2=x-5通过移项得5x-x=-5-2的根据是()A.加法交换律 B.分配律C.等式的性质1 D.等式的性质22.当x取不同的值时,整式ax-b(其中a,b是常数)的值也不同,具体情况如表所示:x-3-2-101ax-b420-2-4则关于x的方程ax=b-4的解为()A.x=-2 B.x=-1 C.x=0 D.x=13.在等式2×□-6=□中的“□”内填上一个数字,可使等式成立.则“□”内数字为()A.4 B.5 C.6 D.74.给出下列各说法:①3x+5是方程;②2x+5y=9是一元一次方程;③如果a=b,那么ac=bc;④x=-1是方程3x+22-1=2x-A.②④ B.①④ C.②③ D.③5.小文同学晚上写数学作业,在解方程“-5x+1=2x-a”时,将“-5x”中的负号抄漏了,解得x=2,则方程正确的解为()A.x=87 B.x=7C.x=-67 D.x=-6.下面解一元一次方程3(x+1)=x的步骤中,3(x+1)=x3x+3=x3x-x=-32x=-3x=-32没有依据“等式的性质”变形的是()A.第①步和第②步 B.第①步和第③步C.第②步和第③步 D.第③步和第④步7.下列方程变形正确的是()A.由y0.3-1=1.2-B.方程3m=2m+3,移项,得3m-2m=3C.方程-75y=79,系数化为1,得y=-75D.方程3-m-2=-5(m-1),去括号,得3-m-2=-5m-18.用200张彩纸制作圆柱,每张彩纸可制作圆柱侧面20个或底面60个,一个圆柱侧面与两个底面组成一个圆柱.为使制作的圆柱侧面和底面正好配套,设用x张彩纸制作圆柱侧面,则可列方程为()A.60x=20(200-x) B.20x2=60(200C.60x=20(D.20x=609.为确保信息安全,信息需要加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密).已知加密规则为:明文a,b,c对应密文a+1,2b+4,3c+9.例如明文1,2,3对应密文2,8,18.如果接收方收到密文7,18,15,那么解密得到的明文为()A.4,5,6 B.6,7,2 C.7,2,6 D.2,6,710.一项工程,甲公司单独完成需要40天,乙公司单独完成需要60天.现在两公司合作,中途甲公司另有任务离开10天,完成这项工程需要的天数为()A.25 B.30 C.24 D.45二、填空题(将结果填在题中横线上)11.已知方程(m-3)x|m|-2+4=0是关于x的一元一次方程,则m=.

12.已知关于x的方程(m-1)x-3m=x的解是x=4,则m的值为.

13.当x=4时,代数式5(x+2a)-3与ax+5的值相等,则a=.

14.如果方程2-x+13=x+76的解也是关于x的方程2-a-15.某超市规定,购买不超过50元的商品时,按全额收费;购买超过50元的商品时,超过部分按六折收费.某顾客在一次消费中,支付212元,那么在此次消费中该顾客购买了价值为元的商品.

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.解下列方程:(1)2(1-2x)=5x+8;(2)2x+13=117.某工厂生产一批太空漫步器(如图),每套设备包含3根立柱和4个脚踏板.工厂现有40名工人,每人每天平均生产36根立柱或48个脚踏板,应如何分配工人才能使每天生产的立柱和脚踏板恰好配套?18.小明解关于x的方程2x-13=x+a219.下表是某次篮球联赛部分球队的积分表:球队比赛场次胜场负场积分A1610636B169734C1612440D1661028备注:积分=胜场积分+负场积分(1)直接写出胜一场的积分和负一场的积分;(2)进行16场比赛后,某队说他们的总积分为45分,你认为可能吗?为什么?综合训练1.C2.D3.C4.D5.C6.B7.B8.D9.B解析:由题意,得a+1=7,2b+4=18,3c+9=15,解得a=6,b=7,c=2.10.B11.-312.813.-214.7解析:2-x+1去分母,得12-2(x+1)=x+7.去括号,得12-2x-2=x+7.移项、合并同类项,得-3x=-3.系数化为1,得x=1.将x=1代入2-a-x3=0,得2-a去分母,得6-(a-1)=0.去括号,得6-a+1=0.解得a=7.15.320解析:设购买了价值为x元的商品,根据题意得,50+60%(x-50)=212,解得x=320.16.解:(1)2(1-2x)=5x+8.去括号,得2-4x=5x+8.移项,得-4x-5x=8-2.合并同类项,得-9x=6.系数化为1,得x=-23(2)2x+13=1去分母,得4(2x+1)=12-3(x-1).去括号,得8x+4=12-3x+3.移项,得8x+3x=12+3-4.合并同类项,得11x=11.系数化为1,得x=1.17.解:设安排x名工人生产立柱,则有(40-x)名工人生产脚踏板,由题意,得4×36x=3×48(40-x),解得x=20,40-x=20.答:安排20名工人生产立柱,20名工人生产脚踏板恰好配套.18.解:去分母时方程右边