2025-2026年天津市北师大版高二数学第六十二章排列组合与函数综合练习题

2025-2026年天津市北师大版高二数学第六十二章排列组合与函数综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在高二数学第六十二章中，排列组合部分的核心概念是（）A.函数的单调性B.排列数与组合数的计算公式C.函数的奇偶性D.函数的极限定义参考答案：B解析：第六十二章重点讲解排列组合的基本原理，包括排列数公式A(m,n)和组合数公式C(m,n)的推导与应用。选项A、C、D属于函数性质范畴，与排列组合无关。排列组合是计数理论的基础，在解决有限元素有序或无序分配问题时具有核心地位，教材中通过具体实例（如分配任务、选代表等）强化该概念。2.若从6名男生和4名女生中选出3名代表参加数学竞赛，要求至少包含1名女生，则不同的选法共有（）种A.160B.240C.480D.720参考答案：B解析：采用间接法计算。总选法为C(10,3)=120种。排除无女生的情况（仅限男生）C(6,3)=20种。因此满足条件的选法为120-20=100种。但需注意题目要求"至少1名女生"，实际计算应分类讨论：1名女生搭配2名男生（C(4,1)×C(6,2)=4×15=60种）、2名女生搭配1名男生（C(4,2)×C(6,1)=6×6=36种）、3名女生（C(4,3)=4种），合计60+36+4=100种。选项B正确，但需修正解析中的计算错误。正确答案应为160种（分类法）或240种（间接法）。此处按教材标准答案修正为B。3.函数f(x)=x³-3x在区间[-2,2]上的最大值与最小值之差为（）A.8B.10C.12D.16参考答案：C解析：根据函数极值定理，最大值与最小值出现在驻点或区间端点处。求导f'(x)=3x²-3=0得驻点x=±1。计算f(-2)=-2、f(-1)=2、f(1)=-2、f(2)=2。因此最大值2与最小值-2之差为4。但需重新审视题目，实际计算f(2)-f(-2)=8，f(1)-f(-1)=0，f(2)-f(-1)=4，f(1)-f(-2)=-4。正确答案为8。选项C正确。4.在等差数列{aₙ}中，若a₃+a₈=20且a₅=6，则该数列的前10项和为（）A.150B.180C.210D.240参考答案：B解析：设首项为a₁，公差为d。由a₃=a₁+2d，a₈=a₁+7d，得a₁+2d+a₁+7d=20即2a₁+9d=20。又a₅=a₁+4d=6。联立方程组：2a₁+9d=20a₁+4d=6解得a₁=2，d=1。因此S₁₀=10×2+(10×9/2)×1=180。选项B正确。5.若函数g(x)=√(x²-2x+1)在区间[0,3]上的最小值为k，则k等于（）A.0B.1C.√2D.2参考答案：B解析：g(x)=√((x-1)²)即g(x)=|x-1|。在[0,3]区间上，g(x)在x=1处取得最小值0。但需注意函数定义域，当x=0或x=3时g(x)=1。因此最小值为1。选项B正确。6.从5名志愿者中选派3人分别负责上午、下午、晚上的值班工作，要求每时段1人且顺序不同，则不同的排法共有（）种A.60B.125C.150D.200参考答案：A解析：属于全排列问题，计算P(5,3)=5×4×3=60种。选项A正确。7.函数h(x)=2|x|+1在区间[-1,1]上的值域为（）A.[1,3]B.[0,3]C.[-1,3]D.[-3,3]参考答案：A解析：当x∈[-1,0]时h(x)=-2x+1，当x∈(0,1]时h(x)=2x+1。分别计算端点值：x=-1时h(-1)=3，x=1时h(1)=3，x=0时h(0)=1。因此值域为[1,3]。选项A正确。8.在等比数列{bₙ}中，若b₂=6且b₅=162，则该数列的前5项积为（）A.1296B.7776C.3888D.5184参考答案：B解析：设公比为q。由b₅=b₂q³得q³=162/6=27，解得q=3。因此b₁=b₂/q=2。前5项积为b₁b₂b₃b₄b₅=2×6×18×54×162=7776。选项B正确。9.若关于x的不等式ax+1>0在x∈[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是（）A.a>0B.a≥-1C.a>1D.a≥1参考答案：D解析：不等式可化为ax>-1。当x=1时a>-1，当x=2时2a>-1，即a>-1/2。取交集得a>-1/2。但需注意题目要求"恒成立"，需进一步验证。当a=0时x+1>0恒成立；当a>0时ax>-1在x∈[1,2]上恒成立；当a<0时ax>-1在x=2处不成立。因此a≥0。选项D正确。10.函数f(x)=log₃(x²-2x+1)的定义域为（）A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.[0,2]C.(-∞,0]∪[2,+∞)D.R参考答案：A解析：由x²-2x+1>0得(x-1)²>0，解得x≠1。因此定义域为(-∞,1)∪(1,+∞)。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.从7名男生和5名女生中选出4名代表参加数学竞赛，要求至少包含2名女生，则不同的选法共有______种。参考答案：350解析：分类计算：2名女生+2名男生（C(5,2)×C(7,2)=10×21=210种）、3名女生+1名男生（C(5,3)×C(7,1)=10×7=70种）、4名女生（C(5,4)=5种），合计210+70+5=285种。修正参考答案错误，正确答案为285种。2.函数g(x)=2sin(3x)+1的周期为______。参考答案：2π/3解析：周期T=2π/|ω|=2π/3。3.在等差数列{aₙ}中，若a₁+a₁₀=18且a₅=4，则该数列的公差d等于______。参考答案：-1解析：由a₁+a₁₀=2a₆=18得a₆=9。又a₅=4，因此d=a₆-a₅=9-4=5。修正参考答案错误，正确答案为5。4.若函数f(x)=x³-px+1在x=1处取得极值，则实数p等于______。参考答案：3解析：f'(x)=3x²-p，令x=1得3-p=0，解得p=3。5.从6个不同小球中任取3个，则其中至少包含1个红球的取法共有______种。参考答案：16解析：总取法C(6,3)=20种。排除无红球的情况（从3个非红球中取3个）C(3,3)=1种。因此满足条件的取法为20-1=19种。修正参考答案错误，正确答案为19种。6.函数h(x)=x²-4x+3在区间[1,4]上的最大值为______。参考答案：5解析：h(x)=(x-2)²-1，在[1,4]区间上x=4时取得最大值5。7.在等比数列{bₙ}中，若b₁=2且b₄=16，则该数列的前4项和为______。参考答案：30解析：公比q=b₄/b₁=16/2=8，S₄=2(8⁴-1)/7=30。8.若关于x的不等式|2x-1|<3在x∈[0,3]上恒成立，则实数k的取值范围是______。参考答案：(-1,4)解析：不等式可化为-2<x<2。在[0,3]区间上需满足-2<x≤3，因此k∈(-1,4)。9.函数f(x)=√(x-1)的定义域为______。参考答案：[1,+∞)解析：x-1≥0即x≥1。10.若集合A={x|log₂(x+1)>0}，B={x|x²-3x+2<0}，则A∩B等于______。参考答案：(1,2)解析：A={x|x>1}，B={x|1<x<2}，因此A∩B=(1,2)。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.排列数A(m,n)与组合数C(m,n)之间满足关系式C(m,n)=A(m,n)/n!。正确解析：根据排列组合定义，从m个元素中取n个排列，再除以n个元素的排列数即得组合数。2.函数f(x)=x²在区间[-1,2]上的最小值为-1。错误解析：最小值出现在x=0处，为0。3.在等差数列{aₙ}中，若a₄+a₇=10，则a₅+a₆=10。正确解析：a₅+a₆=(a₄+a₇)/2=10/2=5。修正参考答案错误，正确答案为5。4.若函数g(x)=f(x)+1在x=2处取得极值，则函数f(x)在x=2处也取得极值。错误解析：平移不改变极值点位置，但需注意极值类型可能改变。5.从n个不同元素中取出k个元素的组合数，等于从n个元素中取出k个元素的排列数除以k。正确解析：C(n,k)=A(n,k)/k!。6.函数h(x)=sin(2x)的周期为π。正确解析：周期T=2π/|ω|=π。7.在等比数列{bₙ}中，若b₃=6且b₇=162，则该数列的公比q=3。正确解析：q⁴=162/6=27，解得q=3。8.若关于x的不等式ax²+bx+c>0在x∈R上恒成立，则必有a>0且Δ=b²-4ac<0。错误解析：当a=0时需满足b≠0且Δ<0。9.函数f(x)=x³在区间[0,1]上的值域为[0,1]。错误解析：值域为[0,1]。10.若集合A={x|1<x<3}，B={x|x²-4x+3<0}，则A∪B等于(1,3)。正确解析：B={x|1<x<3}，因此A∪B=(1,3)。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.写出从5名男生和4名女生中选出3名代表参加数学竞赛的所有可能组合。解：所有组合为：3名男生：{A₁,A₂,A₃}2名男生+1名女生：{A₁,B₁},{A₁,B₂},{A₁,B₃},{A₁,B₄}1名男生+2名女生：{A₂,B₁},{A₂,B₂},{A₂,B₃},{A₂,B₄}3名女生：{B₁,B₂,B₃}共10种组合。2.函数f(x)=x²-4x+3的图像是什么形状？解：f(x)=(x-2)²-1，是开口向上的抛物线，顶点为(2,-1)，对称轴为x=2。3.在等比数列{bₙ}中，若b₁=2且b₄=16，求该数列的前5项和。解：公比q=b₄/b₁=16/2=8，S₅=2(8⁵-1)/7=1094。4.若关于x的不等式|3x-2|>5在x∈[0,4]上恒成立，求实数k的取值范围。解：不等式可化为3x-2>5或3x-2<-5，即x>7/3或x<-3/3。在[0,4]区间上需满足k∈(-∞,-3/3)∪(7/3,+∞)。5.函数g(x)=2sin(3x)+1的图像具有哪些性质？解：振幅为2，周期为2π/3，相位为0，垂直平移1个单位向上。6.写出集合A={x|1<x<3}与B={x|x²-4x+3<0}的交集。解：B={x|1<x<3}，因此A∩B=(1,3)。7.在等差数列{aₙ}中，若a₁+a₁₀=18且a₅=4，求该数列的通项公式。解：由a₁+a₁₀=2a₆=18得a₆=9。又a₅=4，因此d=a₆-a₅=5。通项公式aₙ=4+(n-5)×5=5n-21。8.函数f(x)=√(x-1)在区间[2,5]上的最大值与最小值分别是多少？解：f(2)=1，f(5)=2，因此最大值为2，最小值为1。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.从6名男生和4名女生中选出3名代表参加数学竞赛，要求至少包含1名女生，求其中包含2名女生的概率。解：总选法C(10,3)=120种。包含2名女生的选法为C(4,2)×C(6,1)=6×6=36种。概率为36/120=3/10。2.函数f(x)=x³-3x在区间[-2,2]上的最大值与最小值分别是多少？解：f'(x)=3x²-3=0得驻点x=±1。计算f(-2)=-2，f(-1)=2，f(1)=-2，f(2)=2。因此最大值为2，最小值为-2。3.在等差数列{aₙ}中，若a₁+a₁₀=18且a₅=4，求该数列的前10项和。解：由a₁+a₁₀=2a₆=18得a₆=9。又a₅=4，因此d=a₆-a₅=5。通项公式aₙ=4+(n-5)×5=5n-21。前10项和S₁₀=10×(4+(-1))+(10×9/2)×5=180。4.若关于x的不等式|2x-1|<3在x∈[0,3]上恒成立，求实数k的取值范围。解：不等式可化为-2<x<2。在[0,3]区间上需满足-2<x≤3，因此k∈(-1,4)。5.函数g(x)=2sin(3x)+1的图像具有哪些性质？解：振幅为2，周期为2π/3，相位为0，垂直平移1个单位向上。6.写出集合A={x|1<x<3}与B={x|x²-4x+3<0}的交集。解：B={x|1<x<3}，因此A∩B=(1,3)。7.在等比数列{bₙ}中，若b₁=2且b₄=16，求该数列的前5项和。解：公比q=b₄/b₁=16/2=8，S₅=2(8⁵-1)/7=1094。8.函数f(x)=√(x-1)在区间[2,5]上的最大值与最小值分别是多少？解：f(2)=1，f(5)=2，因此最大值为2，最小值为1。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.B3.C4.B5.B6.A7.A8.B9.D10.A解析：第2题正确答案为240种（分类法：1女2男60种+2女1男36种+3女4种=100种，修正参考答案错误）。第3题正确答案为8（f(2)-f(-2)=8）。第4题正确答案为180（S₁₀=180）。第7题正确答案为8（f(2)-f(-2)=8）。第11题正确答案为285种（分类法：2女2男210种+3女1男70种+4女5种5种=285种）。第12题正确答案为2π/3。第13题正确答案为5（d=a₆-a₅=5）。第14题正确答案为3。第15题正确答案为19种（总取法C(6,3)=20种，排除无红球情况C(3,3)=1种）。第16题正确答案为5（x=4时取得最大值5）。第17题正确答案为30（S₄=30）。第18题正确答案为(-1,4)。第19题正确答案为[1,+∞)。第20题正确答案为(1,2)。二、填空