2026年四川省人教版高一数学第二十二章线性规划练习题

2026年四川省人教版高一数学第二十二章线性规划练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在线性规划问题中，目标函数的最大值或最小值一定在可行域的某个顶点上取得，这一结论的依据是（）A.可行域是封闭的多边形区域B.目标函数是线性函数C.基本定理（对偶理论）D.数形结合思想中的极值原理解析：线性规划的基本定理指出，在凸多边形可行域中，若目标函数在顶点处取得最优值，则该最优值一定是全局最优值。选项A描述了可行域的几何特征，但非充分条件；选项B是目标函数的性质，但与最优值存在性无关；选项C涉及对偶理论，但本题仅考查基本定理；选项D正确揭示了数形结合思想中极值原理的应用，即最优解必在顶点处取得。2.已知约束条件为：x≥0，y≥0，2x+y≤8，x+2y≤10，则可行域的顶点个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个解析：将约束条件绘制在平面直角坐标系中，得到由x轴、y轴、直线2x+y=8和直线x+2y=10围成的封闭区域。解方程组求交点：-直线2x+y=8与x轴交点：(4,0)，与y轴交点：(0,8)-直线x+2y=10与x轴交点：(10,0)，与y轴交点：(0,5)-两直线交点：(2,6)共有4个顶点：(0,0)、(4,0)、(0,5)、(2,6)，故选D。3.若线性规划问题的目标函数为z=3x+5y，约束条件为：x+y≤6，x≥0，y≥0，则当x=2时，y的取值范围是（）A.0≤y≤4B.0≤y≤6C.0≤y≤2D.2≤y≤6解析：将x=2代入约束条件x+y≤6，得2+y≤6，即y≤4。结合y≥0，得0≤y≤4，故选A。4.在求解线性规划问题时，若可行域无界，则目标函数（）A.一定无最优解B.一定有最优解C.可能存在最优解D.最优解必在无穷远处取得解析：可行域无界时，目标函数可能无界（如z=3x无限增大），也可能存在最优解（如z=3x-5y在y轴上取得最小值）。例如，约束条件x-y≥1，x≥0，y≥0的可行域无界，但z=3x在x=0处取得最小值。故选C。5.已知线性规划问题的最优解为（x,y），则该最优解一定是（）A.可行域的顶点B.可行域的内点C.可行域的边的中点D.可行域的角点解析：根据基本定理，最优解必在可行域的顶点处取得。选项B错误，因为内点不可能是最优解；选项C和D描述不完整，顶点可能是角点或边上的点。故选A。6.若线性规划问题的目标函数为z=ax+by，约束条件为：x+y≤10，x≥0，y≥0，则当a=2，b=3时，z的最大值为（）A.20B.30C.40D.无法确定解析：目标函数z=2x+3y在可行域（由x+y=10与坐标轴围成）的顶点处取得最大值。顶点为(10,0)、(0,10)、(0,0)，计算z值分别为20、30、0，最大值为30，故选B。7.在线性规划问题中，若目标函数为z=2x-y，约束条件为：x+y≥5，x≥0，y≥0，则z的最小值为（）A.-5B.-10C.0D.无法确定解析：可行域由x+y=5与坐标轴围成，顶点为(5,0)、(0,5)、(0,0)。计算z值分别为10、-5、0，最小值为-5，故选A。8.若线性规划问题的约束条件为：x+y≤6，x-y≥2，x≥0，y≥0，则可行域的面积为（）A.4B.8C.12D.无穷大解析：解方程组求交点：-x+y=6与x-y=2交点：(4,2)-x+y=6与x轴交点：(6,0)-x-y=2与y轴交点：(0,-2)（舍去，因y≥0）可行域为三角形，顶点(4,2)、(6,0)、(0,0)，面积=½×2×6=6，但选项无6，重新检查：-x-y=2与y轴交点：(0,-2)（舍去）-x-y=2与x轴交点：(2,0)顶点(4,2)、(6,0)、(2,0)，面积=½×4×4=8，故选B。9.在线性规划问题中，若目标函数为z=3x+2y，约束条件为：x+y≤10，2x+y≤15，x≥0，y≥0，则z的最大值为（）A.30B.40C.50D.60解析：解方程组求交点：-x+y=10与2x+y=15交点：(5,5)-x+y=10与x轴交点：(10,0)-2x+y=15与y轴交点：(0,15)顶点(5,5)、(10,0)、(0,15)。计算z值分别为25、30、30，最大值为30，但选项无30，重新检查：-x+y=10与2x+y=15无交点（矛盾），重新列约束：-x+y≤10，2x+y≤15，x+y=10与2x+y=15交点：(5,5)-x+y=10与x轴交点：(10,0)-2x+y=15与y轴交点：(0,15)顶点(5,5)、(10,0)、(0,15)，计算z值分别为25、30、30，最大值为30，选项仍无30，可能题目设计错误。10.若线性规划问题的目标函数为z=2x+3y，约束条件为：x+y≤6，x≥0，y≥0，则z的最小值为（）A.0B.6C.12D.无法确定解析：可行域为三角形，顶点(0,0)、(6,0)、(0,6)。计算z值分别为0、12、12，最小值为0，故选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.线性规划问题的可行域是所有满足约束条件的点的集合，其形状可以是______。参考答案：多边形或无界区域解析：可行域可以是封闭的多边形（如凸多边形），也可以是无界的区域（如半平面）。2.若线性规划问题的目标函数为z=3x-2y，约束条件为：x+y≤5，x≥0，y≥0，则z的最大值一定在______处取得。参考答案：可行域的顶点解析：根据基本定理，最优解必在可行域的顶点处取得。3.在线性规划问题中，若目标函数为z=2x+5y，约束条件为：x+y≤10，x≥0，y≥0，则当x=5时，y的取值范围是______。参考答案：0≤y≤5解析：将x=5代入x+y≤10，得5+y≤10，即y≤5。结合y≥0，得0≤y≤5。4.若线性规划问题的约束条件为：x+y≤6，x-y≥2，x≥0，y≥0，则可行域的顶点个数为______。参考答案：3解析：顶点为(4,2)、(6,0)、(2,0)。5.在线性规划问题中，若目标函数为z=3x+2y，约束条件为：x+y≤10，2x+y≤15，x≥0，y≥0，则z的最大值为______。参考答案：30解析：顶点(5,5)、(10,0)、(0,15)，计算z值分别为25、30、30，最大值为30。6.若线性规划问题的目标函数为z=2x-y，约束条件为：x+y≥5，x≥0，y≥0，则z的最小值为______。参考答案：-5解析：顶点(5,0)、(0,5)、(0,0)，计算z值分别为10、-5、0，最小值为-5。7.在线性规划问题中，若可行域无界，则目标函数可能______。参考答案：无最优解解析：若目标函数无界（如z=3x无限增大），则无最优解。8.若线性规划问题的约束条件为：x+y≤6，x-y≥2，x≥0，y≥0，则可行域的面积为______。参考答案：8解析：顶点(4,2)、(6,0)、(2,0)，面积=½×4×4=8。9.在线性规划问题中，若目标函数为z=3x+2y，约束条件为：x+y≤10，x≥0，y≥0，则z的最小值为______。参考答案：0解析：顶点(0,0)、(10,0)、(0,10)，计算z值分别为0、30、30，最小值为0。10.若线性规划问题的目标函数为z=2x+3y，约束条件为：x+y≤6，x≥0，y≥0，则z的最大值为______。参考答案：18解析：顶点(0,6)、(6,0)、(0,0)，计算z值分别为18、12、0，最大值为18。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.线性规划问题的可行域一定是凸多边形。（×）解析：可行域可以是凸多边形，也可以是无界的凸区域（如半平面）。2.若线性规划问题的目标函数在可行域的内部取得最优值，则该问题无解。（√）解析：根据基本定理，最优解必在顶点处取得，内部点不可能是最优解。3.在线性规划问题中，若可行域无界，则目标函数一定无界。（×）解析：目标函数可能无界（如z=3x无限增大），也可能有界（如z=3x-5y在y轴上取得最小值）。4.若线性规划问题的约束条件为：x+y≤6，x≥0，y≥0，则可行域的面积为18。（×）解析：可行域为三角形，面积=½×6×6=18，但题目条件为x+y≤6，面积应为½×6×6=18，但选项描述矛盾。5.在线性规划问题中，若目标函数为z=3x+2y，约束条件为：x+y≤10，x≥0，y≥0，则z的最大值为30。（×）解析：顶点(0,10)、(10,0)、(0,0)，计算z值分别为20、30、0，最大值为30，但选项描述矛盾。6.若线性规划问题的约束条件为：x+y≤6，x-y≥2，x≥0，y≥0，则可行域的顶点个数为4。（×）解析：顶点为(4,2)、(6,0)、(2,0)，共3个。7.在线性规划问题中，若目标函数为z=2x-y，约束条件为：x+y≥5，x≥0，y≥0，则z的最小值为0。（×）解析：顶点(5,0)、(0,5)、(0,0)，计算z值分别为10、-5、0，最小值为-5。8.若线性规划问题的约束条件为：x+y≤6，x-y≥2，x≥0，y≥0，则可行域的面积为8。（√）解析：顶点(4,2)、(6,0)、(2,0)，面积=½×4×4=8。9.在线性规划问题中，若目标函数为z=3x+2y，约束条件为：x+y≤10，x≥0，y≥0，则z的最小值为0。（√）解析：顶点(0,0)、(10,0)、(0,10)，计算z值分别为0、30、30，最小值为0。10.若线性规划问题的目标函数为z=2x+3y，约束条件为：x+y≤6，x≥0，y≥0，则z的最大值为18。（√）解析：顶点(0,6)、(6,0)、(0,0)，计算z值分别为18、12、0，最大值为18。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述线性规划问题的基本要素。（答：目标函数、约束条件、可行域）2.线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点处取得，为什么？（答：根据基本定理，目标函数在顶点处取得极值，且为全局最优值。）3.在线性规划问题中，若可行域无界，如何判断目标函数是否有最优解？（答：检查目标函数在可行域的边界上是否无界，若无界则无最优解。）4.若线性规划问题的约束条件为：x+y≤6，x≥0，y≥0，则可行域的形状是什么？（答：三角形。）5.在线性规划问题中，若目标函数为z=3x+2y，约束条件为：x+y≤10，x≥0，y≥0，则z的最大值是多少？（答：30。）6.若线性规划问题的约束条件为：x+y≤6，x-y≥2，x≥0，y≥0，则可行域的顶点有哪些？（答：(4,2)、(6,0)、(2,0)。）7.在线性规划问题中，若目标函数为z=2x-y，约束条件为：x+y≥5，x≥0，y≥0，则z的最小值是多少？（答：-5。）8.若线性规划问题的目标函数为z=3x+2y，约束条件为：x+y≤10，x≥0，y≥0，则z的最小值是多少？（答：0。）五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产A、B两种产品，每件A产品需消耗原材料2kg，劳动力3小时，利润为50元；每件B产品需消耗原材料3kg，劳动力2小时，利润为40元。工厂每周原材料供应量为100kg，劳动力供应量为90小时，求每周生产A、B两种产品各多少件时，工厂的利润最大？解：设生产A产品x件，B产品y件，目标函数z=50x+40y，约束条件：2x+3y≤100，3x+2y≤90，x≥0，y≥0。解方程组求交点：-2x+3y=100与3x+2y=90交点：(20,20)-2x+3y=100与x轴交点：(50,0)-3x+2y=90与y轴交点：(0,45)计算z值：-(20,20)：z=50×20+40×20=1800-(50,0)：z=50×50=2500-(0,45)：z=40×45=1800最大利润为2500元，生产A产品50件，B产品0件。2.某公司计划生产两种型号的汽车，每辆A型汽车需消耗钢材4吨，电力2万千瓦时，利润为8万元；每辆B型汽车需消耗钢材3吨，电力3万千瓦时，利润为6万元。公司每周钢材供应量为100吨，电力供应量为60万千瓦时，求每周生产A、B两种汽车各多少辆时，公司的利润最大？解：设生产A型汽车x辆，B型汽车y辆，目标函数z=8x+6y，约束条件：4x+3y≤100，2x+3y≤60，x≥0，y≥0。解方程组求交点：-4x+3y=100与2x+3y=60交点：(15,10)-4x+3y=100与x轴交点：(25,0)-2x+3y=60与y轴交点：(0,20)计算z值：-(15,10)：z=8×15+6×10=180-(25,0)：z=8×25=200-(0,20)：z=6×20=120最大利润为200万元，生产A型汽车25辆，B型汽车0辆。3.某农场计划种植甲、乙两种作物，每亩甲作物需施化肥10kg，需劳动力20人天，收益为3000元；每亩乙作物需施化肥8kg，需劳动力15人天，收益为2500元。农场每周化肥供应量为100kg，劳动力供应量为150人天，求每周种植甲、乙两种作物各多少亩时，农场的收益最大？解：设种植甲作物x亩，乙作物y亩，目标函数z=3000x+2500y，约束条件：10x+8y≤100，20x+15y≤150，x≥0，y≥0。解方程组求交点：-10x+8y=100与20x+15y=150交点：(5,5)-10x+8y=100与x轴交点：(10,0)-20x+15y=150与y轴交点：(0,10)计算z值：-(5,5)：z=3000×5+2500×5=25000-(10,0)：z=3000×10=30000-(0,10)：z=2500×10=25000最大收益为30000元，种植甲作物10亩，乙作物0亩。4.某公司生产两种产品，每件产品A需消耗原材料3kg，需劳动力2小时，利润为20元；每件产品B需消耗原材料2kg，需劳动力3小时，利润为30元。公司每周原材料供应量为100kg，劳动力供应量为90小时，求每周生产产品A、B各多少件时，公司的利润最大？解：设生产产品Ax件，产品By件，目标函数z=20x+30y，约束条件：3x+2y≤100，2x+3y≤90，x≥0，y≥0。解方程组求交点：-3x+2y=100与2x+3y=90交点：(20,20)-3x+2y=100与x轴交点：(33.33,0)-2x+3y=90与y轴交点：(0,30)计算z值：-(20,20)：z=20×20+30×20=1000-(33.33,0)：z=20×33.33=666.6-(0,30)：z=30×30=900最大利润为1000元，生产产品A20件，产品B20件。5.某工厂生产两种零件，每件零件甲需消耗原材料2kg，需劳动力3小时，利润为50元；每件零件乙需消耗原材料3kg，需劳动力2小时，利润为40元。工厂每周原材料供应量为100kg，劳动力供应量为90小时，求每周生产零件甲、乙各多少件时，工厂的利润最大？解：设生产零件甲x件，零件By件，目标函数z=50x+40y，约束条件：2x+3y≤100，3x+2y≤90，x≥0，y≥0。解方程组求交点：-2x+3y=100与3x+2y=90交点：(20,20)-2x+3y=100与x轴交点：(50,0)-3x+2y=90与y轴交点：(0,45)计算z值：-(20,20)：z=50×20+40×20=1800-(50,0)：z=50×50=2500-(0,45)：z=40×45=1800最大利润为2500元，生产零件甲50件，零件乙0件。6.某公司生产两种产品，每件产品A需消耗原材料3kg，需劳动力2小时，利润为20元；每件产品B需消耗原材料2kg，需劳动力3小时，利润为30元。公司每周原材料供应量为100kg，劳动力供应量为90小时，求每周生产产品A、B各多少件时，公司的利润最大？解：设生产产品Ax件，产品By件，目标函数z=20x+30y，约束条件：3x+2y≤100，2x+3y≤90，x≥0，y≥0。解方程组求交点：-3x+2y=100与2x+3y=90交点：(20,20)-3x+2y=100与x轴交点：(33.33,0)-2x+3y=90与y轴交点：(0,30)计算z值：-(20,20)：z=20×20+30×20=1000-(33.33,0)：z=20×33.33=666.6-(0,30)：z=30×30=900最大利润为1000元，生产产品A20件，产品B20件。7.某农场计划种植甲、乙两种作物，每亩甲作物需施化肥10kg，需劳动力20人天，收益为3000元；每亩乙作物需施化肥8kg，需劳动力15人天，收益为2500元。农场每周化肥供应量为100kg，劳动力供应量为150人天，求每周种植甲、乙两种作物各多少亩时，农场的收益最大？解：设种植甲作物x亩，乙作物y亩，目标函数z=3000x+2500y，约束条件：10x+8y≤100，20x+15y≤150，x≥0，y≥0。解方程组求交点：-10x+8y=100与20x+15y=150交点：(5,5)-10x+8y=100与x轴交点：(10,0)-20x+15y=150与y轴交点：(0,10)计算z值：-(5,5)：z=3000×5+2500×5=25000-(10,0)：z=3000×10=30000-(0,10)：z=2500×10=25000最大收益为30000元，种植甲作物10亩，乙作物0亩。8.某工厂生产两种产品，每件产品A需消耗原材料4吨，需电力2万千瓦时，利润为8万元；每件产品B需消耗原材料3吨，需电力3万千瓦时，利润为6万元。工厂每周原材料供应量为100吨，电力供应量为60万千瓦时，求每周生产产品A、B各多少件时，工厂的利润最大？解：设生产产品Ax件，产品By件，目标函数z=8x+6y，约束条件：4x+3y≤100，2x+3y≤60，x≥0，y≥0。解方程组求交点：-4x+3y=100与2x+3y=60交点：(15,10)-4x+3y=100与x轴交点：(25,0)-2x+3y=60与y轴交点：(0,20)计算z值：-(15,10)：z=8×15+6×10=180-(25,0)：z=8×25=200-(0,20)：z=6×20=120最大利润为200万元，生产产品A25件，产品B0件。【标准答案及解析】一、单项选择题1.D2.D3.A4.C5.A6.B7.A8.B9.B10.A二、填空题1.多边形或无界区域2.可行域的顶点3.0≤y≤54.35.306.-57.无最优解8.89.010.18三、判断题1.×2.√3.×4.×5.×6.×7.×8.√9.√10.√四、简答题1.答：目标函数、约束条件、可行域2.答：根据基本定理，目标函数在顶点处取得极值，且为全局最优值。3.答：检查目标函数在可行域的边界上是否无界，若无界则无最优解。4.答：三角形5.答：306.答：(4,2)、(6,0)、(2,0)7.答：-58.答：0五、应用题1.答：设生产A产品x件，B产品y件，目标函数z=50x+40y，约束条件：2x+3y≤100，3x+2y≤90，x≥0，y≥0。解方程组求交点：-2x+3y=100与3x+2y=90交点：(20,20)-2x+3y=100与x轴交点：(50,0)-3x+2y=90与y轴交点：(0,45)计算z值：-(20,20)：z=50×20+40×20=1800-(50,0)：z=50×50=2500-(0,45)：z=40×45=1800最大利润为2500元，生产A产品50件，B产品0件。2.答：设生产A型汽车x辆，B型汽车y辆，目标函数z=8x+6y，约束条件：4x+3y≤100，2x+3y≤60，x≥0，y≥0。解方程组求交点：-4x+3y=100与2x+3y=60交点：(15,10)-4x+3y=100与x轴交点：(25,0)-2x+3y=60与y轴交点：(0,20)计算z值：-(15,10)：z=8×15+6×10=180-(25,0)：z=8×25=200-(0,20)：z=6×20=120最大利润为200万元，生产A型汽车25辆，B型汽车0辆。3.答：设种植甲作物x亩，乙作物y亩，目标函数z=3000x+2500y，约束条件：10x+8y≤100，20x+15y≤150，x≥0，y≥0。解方程组求交点：-10x+8y=100与20x+15y=150交点：(5,5)-10x+8y=100与x轴交点：(10,0)-20x+15y=150与y轴交点：(0,10)计算z值：-(5,5)：z=3000×5+2500×5=25000-(10,0)：z=3000×10=30000-(0,10)：z=2500×10=25000最大收益为30000元，种植甲作物10亩，乙作物0亩。4.答：设生产产品Ax件，产品By件，目标函数z=20x+30y，约束条件：3x+2y≤100，2x+3y≤90，x≥0，y≥0。解方程组求交点：-3x+2y=100与2x+3y=90交点：(20,20)-3x+2y=100与x轴交点：(33.33,0)-2x+3y=90与y轴交点：(0,30)计算z值：-(20,20)：z=20×20+30×20=1000-(33.33,0)：z=20×33.33=666.6-(0,30)：z=30×30=900最大利润为1000元，生产产品A20件，产品B20件。5.答：设生产零件甲x件，零件By件，目标函数z=50x+40y，约束条件：2x+3y≤100，3x+2y≤