福建省福州市黎明中学2025~2026学年高一下册期末考试数学试卷【附解析】

数学第I卷（选择题）一、单选题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数满足，则在复平面内的对应点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.在△ABC中,A＝60°,AB＝1,AC＝2,则△ABC的面积＝A. B. C. D.3.已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（）A. B. C. D.4.在平行四边形中，为边的中点，记，，则（）A. B.C. D.5.从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取2个球，下列事件中与事件“至少有一个黄球”互为对立的是（）A.都是蓝球 B.都是黄球 C.恰有一个蓝球 D.至少有一个蓝球6.某圆锥的母线长为2，侧面积为，则其体积为（）A. B. C. D.7.如图，在直三棱柱中，，，点是线段上靠近的三等分点，则直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.8.某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生吸烟情况，对随机抽出的500名学生进行了调查，调查中使用了两个问题，问题1：你的生日公历月份是不是偶数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋子中摸取1个球，再放回摸出白球就如实回答问题1，摸出红球就如实回答问题2.回答“是”的学生往盒子里放一个石头，回答“否”的学生什么也不做.经统计，盒子中有140个石头，由此估计这个地区经常吸烟的中学生所占百分比为（）A. B. C. D.二、多选题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在中，为中点，且，则（）A. B.C. D.10.已知复数，则下列结论正确的是（）A.若为纯虚数，则B.若在复平面内对应的点位于第四象限，则C.若，则D.若，则11.如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则下列结论正确的是（）A.直线与为异面直线 B.平面C.三棱锥外接球的体积为 D.二面角的余弦值为第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某圆锥的侧面积为，母线长为4，则该圆锥的高为______．13.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局结束比赛的概率为______．14.在中，，为钝角，是边上的两个动点，且，若的最小值为，则__________．四、解答题.本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，.（1）求的值；（2）若向量满足，，求向量的坐标.16.5月22日第14届中美旅游高层对话开幕，中国文化和旅游部为推动文化志愿服务工作规范化，在所有报名参加中国文化推广的人员中面试选拔出“中国文化志愿者”，通过使用注册服务证对“中国文化志愿者”进行组织管理.现随机抽取128名报名者的面试成绩，并分成五组，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.（1）求和的值；（2）估计本次面试成绩平均分（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（3）根据要求，本次“中国文化志愿者”面试选拔录取率为，请估算被录取至少需要多少分.17.在中，内角，，所对应的边分别是，，，．（1）求角的大小；（2）若，，求．18.如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，.（1）求证：//平面（2）求证：平面（3）求直线与平面所成角的大小.19.已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且.（1）求B的大小；（2）若△ABC为钝角三角形，且，求△ABC的周长的取值范围.

数学第I卷（选择题）一、单选题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数满足，则在复平面内的对应点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：A解析：思路：先对复数进行化简，进而可得到它在复平面内对应点的坐标，从而可得到答案．解答过程：由题意，，故在复平面内对应点为，在第一象限，故选A.方法提示：本题考查了复数的四则运算，及复数的几何意义，属于基础题．2.在△ABC中,A＝60°,AB＝1,AC＝2,则△ABC的面积＝A. B. C. D.答案：B解析：思路：由题意利用面积公式求解△ABC的面积即可.解答过程：.本题选择B选项.方法提示：本题主要考查三角形面积公式及其应用，属于基础题.3.已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据斜二测画法的知识确定正确答案.解答过程：正三角形的高为，根据斜二测画法的知识可知，直观图的面积为.故选：B4.在平行四边形中，为边的中点，记，，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据向量的线性运算法则，求得，结合，即可求解.解答过程：如图所示，可得，所以.故选：D．5.从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取2个球，下列事件中与事件“至少有一个黄球”互为对立的是（）A.都是蓝球 B.都是黄球 C.恰有一个蓝球 D.至少有一个蓝球答案：A解析：思路：根据给定条件，利用对立事件的意义判断即可.解答过程：事件“至少有一个黄球”的对立事件是“没有黄球”，即都是“都是蓝球”，所以与事件“至少有一个黄球”互为对立的是“都是蓝球”.故选：A6.某圆锥的母线长为2，侧面积为，则其体积为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：设圆锥底面半径为r，高为h，根据侧面积，可求得r值，进而可求得圆锥高h，代入公式，即可得答案.解答过程：设圆锥底面半径为r，高为h，则底面圆周长为，所以侧面面积，解得，所以圆锥的高，所以圆锥的体积.故选：C7.如图，在直三棱柱中，，，点是线段上靠近的三等分点，则直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据题意，可以用正方体模型补形解题，通过平移找出线线所成的角度借助余弦定理解题即可.解答过程：根据题意，可以补充成一个棱长为3的正方体.如图所示.取的三等分点,连接，根据正方体性质，知道.则为直线与所成角或补角.连接，.根据正方体性质，知道．在中，余弦定理知道，,则直线与所成角的余弦值为.故选：C．8.某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生吸烟情况，对随机抽出的500名学生进行了调查，调查中使用了两个问题，问题1：你的生日公历月份是不是偶数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋子中摸取1个球，再放回摸出白球就如实回答问题1，摸出红球就如实回答问题2.回答“是”的学生往盒子里放一个石头，回答“否”的学生什么也不做.经统计，盒子中有140个石头，由此估计这个地区经常吸烟的中学生所占百分比为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由题意可知摸到白球和红球的概率都为，12个月其中月份为偶数的概率为，由此可估计出回答问题1为是的人数，从而可求出回答问题2为是的人数，从而可求出答案.解答过程：因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，从随机从袋子中摸取1个球，所以摸到白球和红球的概率都为，所以这500个人中回答问题1的人数约为，回答问题2的人数约为，因为12个月其中月份为偶数的有6个，所以月份为偶数的概率为，所以问题1回答为是的人数约为人，所以问题2回答为是的人数约为人，所以这个地区经常吸烟的中学生所占百分比为.故选：A二、多选题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在中，为中点，且，则（）A. B.C. D.答案：BD解析：思路：由已知条件可得点为的重心，然后由三角形的重心的性质逐个分析判断即可.解答过程：因为，则三点共线，且，又因为为中线，所以点为的重心，连接并延长交于，则为的中点，所以，所以∥故选：．10.已知复数，则下列结论正确的是（）A.若为纯虚数，则B.若在复平面内对应的点位于第四象限，则C.若，则D.若，则答案：BCD解析：思路：利用复数的概念求解选项A，利用复数的几何意义求解选项B，利用共轭复数的概念求解选项C，利用复数的模求解选项D.解答过程：若为纯虚数，则且，解得，故A错误；若在复平面内对应的点位于第四象限，则且，解得，即，故B正确；若，则，得，故C正确；若，则，得，故D正确，故选:BCD．11.如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则下列结论正确的是（）A.直线与为异面直线 B.平面C.三棱锥外接球的体积为 D.二面角的余弦值为答案：BCD解析：思路：根据异面直线的定义可以判断A，线面平行的判断定理可以判断A，构造长方体，求出外接球半径，从而可判断C，作出所求二面角的平面角，结合余弦定理即可求解，从而可以判断D.解答过程：对于A，在正方体中，，所以四点共面，所以直线与不是异面直线，故A错误；对于B，连接，交于点O，在正方体中，易知点O为的中点，又为的中点，为的中点，所以，又，所以，故B正确；对于C，在正方体中，分别在上取中点，并依次连接，易知四棱柱为长方体，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，且外接球的直径为长方体体对角线的长，又长方体体对角线长度为：，所以外接球的半径为3，所以三棱锥的外接球的体积为，故C正确；对于D，连接，交于点O，在正方体中，易知点O为的中点，连接EO，FO，因为都是等腰三角形，所以，所以为二面角的平面角，又，所以由余弦定理可得，,故D正确，故选：BCD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某圆锥的侧面积为，母线长为4，则该圆锥的高为______．答案：解析：思路：根据圆锥侧面积公式求出底面半径，再结合母线长，利用勾股定理求出圆锥的高.解答过程：设底面半径为，母线长为，因为侧面积，母线长，所以，解得.圆锥的高.故答案为：.13.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局结束比赛的概率为______．答案：解析：思路：分两种情况讨论，（1）甲第一局赢，第二局输，第三、四局赢；（2）乙第一局赢，第二局输，第三、四局赢，即得解.解答过程：由题得恰好进行了4局结束比赛，有两种情况：（1）甲第一局赢，第二局输，第三、四局赢，此时；（2）乙第一局赢，第二局输，第三、四局赢，此时；所以恰好进行了4局结束比赛的概率为.故答案为：方法提示：本题主要考查独立事件的概率和互斥事件的概率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.在中，，为钝角，是边上的两个动点，且，若的最小值为，则__________．答案：解析：思路：取的中点得，，再将用向量表示并结合的最小值为得，即到直线的距离为，再根据几何关系即可求得解答过程：取的中点，取，，，因为的最小值，所以．作，垂足为，如图，则，又，所以，因为，所以由正弦定理得：，，所以．故答案为：.方法提示：本题考查向量的数量积运算，正弦定理解三角形，余弦的差角公式等，是中档题.四、解答题.本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，.（1）求的值；（2）若向量满足，，求向量的坐标.答案：（1）7；（2）.解析：思路：(1)先计算,再求模即可；（2）设，进而计算，，再根据垂直与共线的坐标关系求解即可.解答过程：解：（1）因为向量，，所以，所以（2）设，，因为，，所以，解得所以16.5月22日第14届中美旅游高层对话开幕，中国文化和旅游部为推动文化志愿服务工作规范化，在所有报名参加中国文化推广的人员中面试选拔出“中国文化志愿者”，通过使用注册服务证对“中国文化志愿者”进行组织管理.现随机抽取128名报名者的面试成绩，并分成五组，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.（1）求和的值；（2）估计本次面试成绩平均分（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（3）根据要求，本次“中国文化志愿者”面试选拔录取率为，请估算被录取至少需要多少分.答案：（1），（2）（3）84分解析：思路：（1）第三、四、五组频率之和为0.7，求，根据总频率之和为1，求出b；（2）运用中点值代表该组数据，运用平均值求法求出即可；（3）找出频率0.93对应分数，或者93%分位数即可.（1）由题图可知组距为10，因为第三、四、五组频率之和为0.7，所以，所以，所以，解得.（2）面试成绩平均数估计为.（3）因为前三组频率之和为，前四组频率之和为，所以频率0.93对应分数落在区间内，那么，解得，所以面试选拔录取率为，至少需要84分.17.在中，内角，，所对应的边分别是，，，．（1）求角的大小；（2）若，，求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；（2）根据同角三角函数的基本关系求出，再根据两角和的正弦公式求出，最后由正弦定理计算可得.（1）解：因为，由正弦定理可得，即，因为，所以，所以．因为，所以，所以，又，所以．（2）解：因为，，所以，则．因为，所以.18