福建省龙岩市2025~2026学年高一下册期末监测数学试卷【附解析】

数学（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.在中，点D满足，设，，则（）A. B.C. D.3.某班级15名学生的物理单元测试成绩如下：72，75，78，80，81，83，85，86，88，90，92，93，95，97，98，则这组数据的第25百分位数为（）A.78 B.79 C.80 D.834.已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面的夹角为，则该圆台的表面积为（）A. B. C. D.5.已知事件A和B互斥，满足，，则（）A. B. C. D.6.在四棱锥中，底面为平行四边形，点M满足，点N在棱上，使得平面，则（）A.1 B.2 C.3 D.47.已知平面向量，满足，且，则与夹角的余弦值的最小值为（）A. B. C. D.8.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若的平分线交边于点D，满足，且，则的值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数z在复平面内对应的点为P，且满足，则（）A.点P的轨迹是一条直线 B.复数z可以为纯虚数C.的最小值为1 D.复数z的实部和虚部之和为010.随着居民收入水平提高，大众旅游时代全面来临．暑假期间，甲、乙两名同学独立地从龙岩、漳州、厦门、泉州四个城市中等可能地随机选择一个作为短途旅游目的地．设事件“甲选择龙岩”，事件“乙选择龙岩或厦门”，事件“两人选择的城市相同”，事件“至少有一人选择龙岩”，则（）A.事件A与事件C相互独立 B.事件A与事件D相互独立C.事件B与事件C相互独立 D.事件B与事件D相互独立11.如图，在棱长为4的正方体中，M为的中点，P为线段上动点（含端点），则（）A.过点A，C，M的截面的周长为B.的最小值为C.与平面所成角的正弦值的最大值为D.当时，过点P作三棱锥外接球的截面，所得截面面积最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.平面向量，满足，，则向量在上的投影为________．13.若复数z满足，则________．14.三棱锥中，底面是边长为6的正三角形，，二面角为，三棱锥的外接球的体积为，则点P到平面的距离为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知平面向量，满足，，与的夹角为．（1）求；（2）若向量与相互垂直，求实数k的值．16.某单位承办了马拉松志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100个面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3．（1）求a，b的值，并估计这100个面试成绩的中位数（结果精确到小数点后3位）；（2）为了进一步研究情况，从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，落在第二组的面试成绩的平均数和方差分别为63和18，落在第四组的面试成绩的平均数和方差分别为72和27，据此估计这两组的面试成绩的方差．17.2026年闽超足球比赛拉开帷幕．某商场为促进消费，组织一场“送足球挂件”项目．该项目由三个活动组成，每个活动各需参加一次且互不影响，连胜两个活动可以获得一样挂件，连胜三个活动可以获得两样挂件，活动规则如下：盒子中有五个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5．活动一：取出一个小球，数字为偶数则获胜；活动二：有放回地依次取出两个小球，数字之和为6则获胜；活动三：不放回地依次取出两个小球，数字之和为奇数则获胜．（1）分别求出活动一，活动二获胜的概率；（2）一名顾客先参加了活动一，接下来该顾客应该先参加活动二还是先参加活动三能使获得挂件的概率更大？18.如图，等腰梯形中，，，，垂足为E，将沿翻折，得到四棱锥．在四棱锥中，，点M，N分别在线段，上，且．（1）求直线与直线所成角的余弦值；（2）求证：平面；（3）设二面角的大小为，点Q在线段上，二面角的大小为．是否存在实数，使得当时，满足？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．（1）证明：；（2）若A，B为锐角，（ⅰ），求周长的最小值；（ⅱ）若k为整数，不等式成立，求k的最大值．

数学（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：A解析：思路：应用复数的除法求复数，写出对应点确定其所在的象限.解答过程：由题设，对应点为在第一象限.故选：A2.在中，点D满足，设，，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据向量的线性运算求解即可.解答过程：由，则在线段上，且.则，又，所以.3.某班级15名学生的物理单元测试成绩如下：72，75，78，80，81，83，85，86，88，90，92，93，95，97，98，则这组数据的第25百分位数为（）A.78 B.79 C.80 D.83答案：C解析：思路：根据百分位数的概念求解即可.解答过程：因为，则这组数据的第25百分位数为取排序后第个数据，即.4.已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面的夹角为，则该圆台的表面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据条件求出圆台的母线长，结合圆台侧面积公式可得结果.解答过程：圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，则，由题意得.则上底面积，下底面积，侧面积，总表面积.5.已知事件A和B互斥，满足，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据互斥事件的概率加法公式求解即可.解答过程：已知，，所以，整理得，解得.因此.6.在四棱锥中，底面为平行四边形，点M满足，点N在棱上，使得平面，则（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：思路：利用线面平行的性质和平行线分线段成比例定理求解即可.解答过程：底面为平行四边形，因此.因为平面，平面，所以平面.平面和平面有公共点，两平面相交，设交线为过

的直线.因为平面，所以，结合，可得

.已知平面，且平面PAB，由线面平行性质得.结合，所以.在中，由平行线分线段成比例定理.因为，所以，即，所以PNPB=因此.7.已知平面向量，满足，且，则与夹角的余弦值的最小值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据向量模公式得到，再表示出夹角的余弦值，最后根据基本不等式求解即可.解答过程：设.因为，则，进而.设与的夹角为，则.因为，.所以，当且仅当等号成立，故的最小值为.8.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若的平分线交边于点D，满足，且，则的值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先由正弦定理和已知等式推出角平分线与边长的比例关系；再利用面积法建立与、角平分线半角的方程；最后联立余弦定理并化简，解得.解答过程：由正弦定理知且..设，则.由得，化简得.因为，，所以.从而，化简得.所以，即二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数z在复平面内对应的点为P，且满足，则（）A.点P的轨迹是一条直线 B.复数z可以为纯虚数C.的最小值为1 D.复数z的实部和虚部之和为0答案：AB解析：思路：设出复数，根据条件代入解得，再根据复数的概念以及模求解即可.解答过程：设复数（），对应点.因为，所以，整理得，即点的轨迹是复平面的虚轴，选项A.点的轨迹是，即虚轴，是一条直线，正确.选项B.因为，因此可以为纯虚数，正确.选项C.，因此的最小值为，错误.选项D.的实部为，虚部为，和为，可以是任意实数，不一定为，错误.10.随着居民收入水平提高，大众旅游时代全面来临．暑假期间，甲、乙两名同学独立地从龙岩、漳州、厦门、泉州四个城市中等可能地随机选择一个作为短途旅游目的地．设事件“甲选择龙岩”，事件“乙选择龙岩或厦门”，事件“两人选择的城市相同”，事件“至少有一人选择龙岩”，则（）A.事件A与事件C相互独立 B.事件A与事件D相互独立C.事件B与事件C相互独立 D.事件B与事件D相互独立答案：AC解析：思路：根据相互独立事件的乘法公式对选项一一判断即可得出答案.解答过程：甲乙两人各从4个城市选一个，则有（龙岩，龙岩），（龙岩，漳州），（龙岩，厦门），（龙岩，泉州），（漳州，龙岩），（漳州，漳州），（漳州，厦门），（漳州，泉州），（厦门，龙岩），（厦门，漳州），（厦门，厦门），（厦门，泉州），（泉州，龙岩），（泉州，漳州），（泉州，厦门），（泉州，泉州）16种等可能的情况.甲选龙岩共有（龙岩，龙岩），（龙岩，漳州），（龙岩，厦门），（龙岩，泉州）4种，.乙选择龙岩或厦门共（龙岩，龙岩），（龙岩，厦门），（漳州，龙岩），（漳州，厦门），（厦门，厦门），（厦门，龙岩），（泉州，龙岩），（泉州，厦门）8种，.两人选同城市共（龙岩，龙岩），（漳州，漳州），（厦门，厦门），（泉州，泉州）4种情况，.至少一人选龙岩，共（龙岩，龙岩），（龙岩，漳州），（龙岩，厦门），（龙岩，泉州），（漳州，龙岩），（厦门，龙岩），（泉州，龙岩）共7种情况，.选项A.是"甲选龙岩且两人同城市"，即（龙岩，龙岩），，，满足，正确.选项B.，，不相等，错误.选项C.是"乙选龙岩/厦门且两人同城市"，即（龙岩，龙岩）、（厦门，厦门），，，满足，正确.选项D.共5种，即乙选龙岩时4种加乙选厦门甲选龙岩1种，，，不相等，错误.11.如图，在棱长为4的正方体中，M为的中点，P为线段上动点（含端点），则（）A.过点A，C，M的截面的周长为B.的最小值为C.与平面所成角的正弦值的最大值为D.当时，过点P作三棱锥外接球的截面，所得截面面积最小值为答案：ACD解析：思路：首先找到过点A，C，M的截面，再直接计算截面周长；通过将相关面展开到同一平面，化折线为直线计算最小值；利用等体积法求点到面距离，并结合垂线段最短确定位置，进而得到正弦值的最大值；转化为球心到截面距离最大，借助正方体外接球半径和截面圆半径公式求解截面面积最小值.解答过程：对于选项A，取中点，连接，，则四边形为过三点的截面，其周长为，A正确；对于选项B，将与沿直线展开到同一平面内，如图所示，（当且仅当为线段与交点时取等号），；，，；，为等边三角形，，，，的最小值为，B错误；对于选项C，因为平面，平面，所以平面，故上任意一点到平面的距离都相等，设其为，则与平面所成角的正弦值，当点为中点，最小，此时，为最大.又，，，，所以，同理，又，所以平面，根据，可得，即，解得，此时，故C正确；对于D选项，设三棱锥的外接球球心为O，外接球半径为R，线段的中点为E，截面圆的半径为r，要使得过点P的截面面积最小，则OP垂直截面圆.因为三棱锥的外接球也是正方体的外接球，所以.由题意可得，则，所以截面圆的面积为.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.平面向量，满足，，则向量在上的投影为________．答案：2解析：思路：利用投影公式求解即可.解答过程：向量在上的投影为13.若复数z满足，则________．答案：解析：思路：利用复数相等的充分必必要条件求解即可.解答过程：设,所以,所以,解得：，所以14.三棱锥中，底面是边长为6的正三角形，，二面角为，三棱锥的外接球的体积为，则点P到平面的距离为________．答案：解析：思路：先由外接球体积求出半径，利用球心在过底面外心上.利用勾股定理确定球心到底面的距离；再通过侧面外心与底面外心的几何关系，结合角度差计算侧面外心到底面外心的距离，最后由侧面外心到顶点的距离投影得到点到底面的高度.解答过程：记底面外心为，侧面外心为，交于点，因为，为直角三角形，斜边为，其外心为中点，所以在上，且.因为为等边三角形，则是中点，且，.三棱锥外接球的球心落在过且垂直底面的直线上，因为三棱锥的外接球的体积为，所以外接球半径.由得，则，.因为，点分别是的中点，则，进而.因为，平面平面，则为二面角的平面角，即.所以，所以.因为，结合题意可知与平面的夹角为,又，所以与平面的夹角为，则点到平面的距离为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知平面向量，满足，，与的夹角为．（1）求；（2）若向量与相互垂直，求实数k的值．答案：（1）（2）解析：（1）因为，，，则，所以.（2）若向量与相互垂直，则，即，解得．16.某单位承办了马拉松志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100个面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3．（1）求a，b的值，并估计这100个面试成绩的中位数（结果精确到小数点后3位）；（2）为了进一步研究情况，从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，落在第二组的面试成绩的平均数和方差分别为63和18，落在第四组的面试成绩的平均数和方差分别为72和27，据此估计这两组的面试成绩的方差．答案：（1）；69.444（2）第二组、第四组面试者的面试成绩的方差是42解析：思路：（1）根据频率分布直方图中各小矩形的面积之和为1，求解，再根据中位数公式求解即可；（2）根据分层抽样的抽样比公式，结合总体方差运算公式进行求解即可.（1）由题意可知，，解得；，所以中位数为.（2）设第二组、第四组的平均数分别为，，方差分别为，，且各组频率之比为：，所以用分层抽样的方法抽取第二组面试者人，第四组面试者人，则第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数，第二组、第四组面试者的面试成绩的方差，故估计第二组、第四组面试者的面试成绩的方差是42．17.2026年闽超足球比赛拉开帷幕．某商场为促进消费，组织一场“送足球挂件”项目．该项目由三个活动组成，每个活动各需参加一次且互不影响，连胜两个活动可以获得一样挂件，连胜三个活动可以获得两样挂件，活动规则如下：盒子中有五个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5．活动一：取出一个小球，数字为偶数则获胜；活动二：有放回地依次取出两个小球，数字之和为6则获胜；活动三：不放回地依次取出两个小球，数字之和为奇数则获胜．（1）分别求出活动一，活动二获胜的概率；（2）一名顾客先参加了活动一，接下来该顾客应该先参加活动二还是先参加活动三能使获得挂件的概率更大？答案：（1）活动一获胜的概率为，活动二获胜的概率为．（2）该顾客应该先玩活动三能使获得挂件的概率更大．解析：思路：（1）利用列举法，结合古典概型的概率公式即可得解；（2）利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩活动二与先玩活动三获得挂件的概率，再比较两者大小即得答案.（1）设事件“活动一获胜”，事件“活动二获胜”，事件“活动三获胜”，活动一取出一个小球的样本空间为，则，因为，所以，从而，即活动一获胜的概率为；活动二中有放回地依次取出两个小球的样本空间为，则，因为，所以，所以，所以活动二获胜的概率为．（2）活动三不放回地依次取出两个球的样本空间为，则，因为事件C对应取出的两个小球数字为一个奇数一个偶数，所以，则，即活动三获胜的概率为．设“先玩活动二，获得挂件”，“先玩活动三，获得挂件”，则，且，，两两互斥，A，B，C两两独立，所以，又，且，，互斥，A，C，B独立，所以，因为，所以接下来该顾客应该先玩活动三能使获得挂件的概率更大．18.如图，等腰梯形中，，，，垂足为E，将沿翻折，得到四棱锥．在四棱锥中，，点M，N分别在线段，上，且．（1）求直线与直线所成角的余弦值；（2）求证：平面；（3）设二面角的大小为，点Q在线段上，二面角的大小为．是否存在实数，使得当时，满足？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．答案：（1）（2）取F，G分别是，上的点，且，连接，，，又，所以，，即M，N，F，G四点共面，由平面，平面，则平面，同理可证平面，又，且都在平面内，所以平面平面，平面，故平面.（3）存在，解析：思路：（1）首先找到异面直线与所成角，根据余弦定理以及勾股定理求解即可.（2）取F，G分别是，上的点且，连接，利用线面、面面平行的判定定理依次证明平面，平面，平面平面，再由面面