福建省厦门市2025~2026学年高一下册练习数学试卷【附解析】

数学满分：150分考试时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足，则的虚部为（）A. B. C.1 D.22.已知等腰直角三角形的斜边长为2，以该三角形的一条直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为（）A. B. C. D.3.某校面向高一、高二学生开设了绘画、烹饪、网球三门校本课程，各门课程选课人数分布如表所示：课程年级绘画课烹饪课网球课高一2025高二101015学校为了解这三门课程的教学情况，依据课程进行分层，用比例分配的分层随机抽样方法抽取了20位学生进行调查，其中选烹饪课的学生有6人，则的值为（）A.10 B.15 C.20 D.254.在中，点，满足，，若，则（）A. B. C. D.5.设，为两个平面，，为两条直线，则（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，，则6.已知观测点位于港口南偏西方向，港口位于的南偏东方向，一艘轮船从出发，以的速度沿直线向航行，0.6小时后到达处（尚未到达），从处测得，．若轮船保持航向和速度不变，则从处到达港口还需航行（）A. B. C. D.7.若随机事件，满足，，则（）A. B. C. D.8.在四边形中，，，，，则的最小值为（）A. B. C.2 D.4二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知一组样本数据为2，2，3，5，5，5，6，若往这组数据中加入两个新数据3和4，则新样本数据与原样本数据相比（）A.极差不变 B.众数变小 C.平均数变大 D.中位数变小10.已知复数满足，则（）A. B.C. D.的最大值为211.在三棱台中，平面，，，平面，垂足为，则（）A.三棱台的体积为B.C.为的重心D.平面将三棱台分成体积之比为的两个几何体三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，若，则______．13.已知复数满足，则______．14.在四边形中，，，与交于点，则面积的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若点满足，，求的面积．16.某工厂有甲、乙两条生产线生产同一规格的零件，甲生产线每天生产800个，乙生产线每天生产1200个．为了了解零件的质量情况，质检人员分别从甲、乙生产线上随机抽取50、75个零件，测量每个零件的尺寸误差（单位：），得到样本数据分布如下：甲生产线样本数据频数表:尺寸误差00.511.52频数346789742其中，乙生产线样本数据的方差．（1）计算甲生产线样本数据的平均数与方差；（2）根据两条生产线的样本数据的平均数与方差，对两条生产线的生产情况进行评价；（3）估计工厂一天生产的零件的尺寸误差的平均数与方差．17.如图，在三棱锥中，，，，，分别为，的中点．（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．18.某联欢晚会举行抽奖活动，抽奖箱中有大小和质地相同的6个小球，其中有3个红色球（标号为1，2，3），2个黄色球（标号为4，5），1个白色球（标号为6），活动嘉宾从箱中有放回地依次随机摸出2个球．（1）设事件“2个球颜色相同”，事件“2个球的标号之和为偶数”．判断事件与是否相互独立，并说明理由；（2）主办方制定了以下两种兑奖方案：方案1：若2个球的颜色相同，则中奖；方案2：根据2个球的标号计算得分，得分规则为：若2个球的标号之和为偶数，则得分为两球标号之和的一半；否则，得分为标号中较大的数．若得分（，），则中奖．若方案2的中奖率高于方案1，求的最大值．19.如图，在三棱柱中，，，，，，分别为，的中点，且．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）若点在内（含边界），，求三棱锥体积的取值范围．

数学满分：150分考试时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足，则的虚部为（）A. B. C.1 D.2答案：A解析：解答过程：，故，故的虚部为．2.已知等腰直角三角形的斜边长为2，以该三角形的一条直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由题意可知，该几何体是底面半径为，高为的圆锥，再利用锥体体积公式计算即可得.解答过程：由题意可知，该几何体是底面半径为，高为的圆锥，故该几何体的体积.3.某校面向高一、高二学生开设了绘画、烹饪、网球三门校本课程，各门课程选课人数分布如表所示：课程年级绘画课烹饪课网球课高一2025高二101015学校为了解这三门课程的教学情况，依据课程进行分层，用比例分配的分层随机抽样方法抽取了20位学生进行调查，其中选烹饪课的学生有6人，则的值为（）A.10 B.15 C.20 D.25答案：C解析：解答过程：由分层抽样比例相等，得，即，

解得.4.在中，点，满足，，若，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由，，可得：，，所以，所以，故.5.设，为两个平面，，为两条直线，则（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，，则答案：D解析：解答过程：选项A：如图1所示，记直线，平面为平面，平面为平面，符合，，但平面平面，即不成立，故选项A错误；选项B：如图1所示，记直线，平面为平面，平面为平面，符合，，但，故选项B错误；选项C：如图1所示，记直线，平面为平面，平面为平面，则，则直线，符合题目给的条件，但不成立，故选项C错误；选项D：如图2所示，在多面体中，记直线，平面为平面，平面为平面，若，，因为，则直线，因为平面，，平面平面，由线面平行的性质得，，因为平面，，平面平面，由线面平行的性质得，，由平行传递性得，，因为，，所以，因为，，由线面平行的性质得，，由平行传递性得，，故选项D正确.6.已知观测点位于港口南偏西方向，港口位于的南偏东方向，一艘轮船从出发，以的速度沿直线向航行，0.6小时后到达处（尚未到达），从处测得，．若轮船保持航向和速度不变，则从处到达港口还需航行（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：如图所示，由题意得，，，在中，由余弦定理得，，因为，所以，则，所以是等边三角形，则，.7.若随机事件，满足，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由概率的加法公式可得，从而得，由对立事件的概率公式求解即可.解答过程：因为，又因为,所以，即，解得.8.在四边形中，，，，，则的最小值为（）A. B. C.2 D.4答案：B解析：思路：先根据已知条件可得，从而可求得，的值，设，则，化简后结合正弦函数的性质可求得结果.解答过程：由，，设，因为，，所以,所以，得，所以，所以，，设，因为，，所以，向量和的夹角为,所以（其中），因为的最大值为1，所以当时，取得最小值.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知一组样本数据为2，2，3，5，5，5，6，若往这组数据中加入两个新数据3和4，则新样本数据与原样本数据相比（）A.极差不变 B.众数变小 C.平均数变大 D.中位数变小答案：AD解析：解答过程：原样本数据为2，2，3，5，5，5，6；新样本数据为2，2，3，3，4，5，5，5，6.对于A，原样本数据的极差，新样本数据的极差，极差不变，故A正确；对于B，原样本数据的众数为5，新样本数据的众数为5，众数不变，故B错误；对于C，原样本数据的平均数，新样本数据的平均数，平均数变小，故C错误；对于D，原样本数据的中位数为5，新样本数据的中位数为4，，中位数变小，故D正确.10.已知复数满足，则（）A. B.C. D.的最大值为2答案：BCD解析：解答过程：若，则，，故A错误；，故B正确；设，则，故C正确；，，，则，因为，则，的最大值为2，故D正确.11.在三棱台中，平面，，，平面，垂足为，则（）A.三棱台的体积为B.C.为的重心D.平面将三棱台分成体积之比为的两个几何体答案：ACD解析：思路：对于三棱台体积，需先求出上下底面面积和高，再代入体积公式计算；对于线面垂直相关问题，要利用线面垂直的性质来分析；对于体积比问题，可通过分别计算两个几何体的体积来求解.解答过程：已知，可得底面的面积，因为，所以，则上底面的面积.又已知，且平面，即三棱台的高.根据三棱台体积公式可得：.故选项A正确.连接并延长与交于点，连接，因为平面平面，所以，又因为平面，平面，所以，又因为，平面，所以平面，又平面，所以，又因为，所以点为中点，在中，，所以，则，即，选项B错误.在中，，因为平面，平面，所以，所以，即，解得，所以，即，所以为的重心，所以选项C正确.取中点，易知，所以四点共面，延长交于，如图：设，，则，则，，，，所以，即，所以，所以，如图，连接与交于点，与的延长线交于点，所以，又，所以，即，所以点为靠近点的三等分点，故点到平面的距离，所以，剩余部分体积为，，故选项D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，若，则______．答案：解析：解答过程：由题意得，，得13.已知复数满足，则______．答案：##解析：思路：设，结合复数模长公式计算即可得.解答过程：设，则，解得，故.14.在四边形中，，，与交于点，则面积的最大值为______．答案：##解析：思路：以为坐标原点，分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，求出直线的方程，从而可得点的坐标，求出的长度及点到直线的距离，由三角形的面积公式可得，分、及，结合基本不等式求解即可.解答过程：由题意可知是边长为2的等边三角形，所以，以为坐标原点，分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，如图所示：则，设，则直线的方程为，直线的方程为，由，得，即，所以，又因为点到直线的距离，所以，当时，，此时重合，即三点共线，不满足题意，故舍去；当时，，当且仅当，即时，等号成立，又，此时四边形为，不满足题意，所以当时，不满足题意，舍去；当时，，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，的面积有最大值，为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若点满足，，求的面积．答案：（1）（2）6解析：思路：（1）利用正弦定理将边化为角，结合展开化简，得到，进而求出角；（2）解法一：两次使用余弦定理列出方程组，求解边长，代入面积公式即可得到三角形面积；解法二：作，利用等腰三角形三线合一以及得到线段等量关系，再借助勾股定理求出高与底边长，即可求得面积.（1）因为，由正弦定理得，因为，所以，所以，即，因为，所以，即，又，则．（2）解法一：在中，由余弦定理得，即①，由，得，在中，由余弦定理得，即②，①-②得，即，代入①式解得，，所以．解法二：过点作交于点，由，，得为中点，由，得，设，因为，所以，在中，，即，解得，则，，所以．16.某工厂有甲、乙两条生产线生产同一规格的零件，甲生产线每天生产800个，乙生产线每天生产1200个．为了了解零件的质量情况，质检人员分别从甲、乙生产线上随机抽取50、75个零件，测量每个零件的尺寸误差（单位：），得到样本数据分布如下：甲生产线样本数据频数表:尺寸误差00.511.52频数346789742其中，乙生产线样本数据的方差．（1）计算甲生产线样本数据的平均数与方差；（2）根据两条生产线的样本数据的平均数与方差，对两条生产线的生产情况进行评价；（3）估计工厂一天生产的零件的尺寸误差的平均数与方差．答案：（1），（2）甲生产线的生产零件的质量更好．（3）平均数和方差分别约为0和1.208解析：思路：（1）由平均数和方差的计算公式即可求解；（2）求得平均数和方差，结合其含义即可判断；（3）由两组数据的平均数和方差公式即可求解.（1）甲生产线样本数据，；（2）乙生产线样本数据平均数的估计值，所以，，由于两条生产线生产的零件平均误差都为0，甲生产线的零件尺寸波动更小，综合来说，甲生产线生产的零件质量更好；（3）总样本平均数，总样本方差．由于样本是由按比例分配的分层随机抽样的方法所得，所以根据样本估计总体，工厂一天生产的零件尺寸误差的平均数和方差分别约为0和1.208．17.如图，在三棱锥中，，，，，分别为，的中点．（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）因为，为中点，所以，因为为中点，为中点，所以，因为，所以．又，平面，平面，所以平面．又平面，所以平面平面．（2）解析：思路：（1）利用三角形中位线结合等腰三角形性质，先证明平面，再利用面面垂直判定定理即可证明面面垂直；（2）先根据面面垂直性质证明线面垂直，确定为线面角，再通过等面积法求出即可求得线面角的正弦值.（1）略（2）作于，连接，因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，所以为直线与平面所成的角．因为，，，所以，又因为，，所以，所以，所以，取中点，连接，因为，，所以，所以，又因为，即，所以，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为．18.某联欢晚会举行抽奖活动，抽奖箱中有大小和质地相同的6个小球，其中有3个红色球（标号为1，2，3），2个黄色球（标号为4，5），1个白色球（标号为6），活动嘉宾从箱中有放回地依次随机摸出2个球．（1）设事件“2个球颜色相同”，事件“2个球的标号之和为偶数”．判断事件与是否相互独立，并说明理由；（2）主办方制定了以下两种兑奖方案：方案1：若2个球的颜色相同，则中奖；方案2：根据2个球的标号计算得分，得分规则为：若2个球的标号之和为偶数，则得分为两球标号之和的一半；否则，得分为标号中较大的数．若得分（，），则中奖．若方案2的中奖率高于方案1，求的最大值．答案：（1）与不相互独立；设第一次摸到的小球标号记为，第二次摸到的小球标号记为，则样本空间，，且每个样本点出现的可能性相等，所以这是一个古典概型，因为，所以，所以．因为，所以，所以．因为，所以，所以，因为，所以与不相互独立．（2）4解析：思路：（1）分别求出事件的概率及，再利用独立事件判断规则计算求解；（2）拆分方案2得分规则，计算相关概率，结合方案1的概率判断求出满足条件的最大整数．（1）略.（2）由（1）知：方案1的中奖概率为．方案2：由得分规则得：的可能取值为1，2，3，4，5，6，其对应的样本点分布如下表所示：123456两球标号之和为偶数两球标号之和为奇