甘肃省古浪县第三中学等校2025~2026学年高二下册期末考试数学试卷【附解析】

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.在复平面内，复数z对应的点为，则（）A. B. C. D.3.已知圆的方程为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.4.某班6人（含学生甲）站成一排拍照，若甲不站最右端也不站最左端，则不同站法数为（）A.720 B.480 C.360 D.2405.已知函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，则关于x的不等式的解集为（）A. B. C. D.6.已知点，点在平面内，若平面的法向量，则点到平面的距离为（）A.1 B. C. D.27.某电影放映厅有15排座位，且从第二排起，每一排都比前一排多个座位，前5排，中5排，后5排分别称为甲区，乙区，丙区，若甲区，乙区的座位数分别是70，95，则此电影放映厅的座位总数为（）A.120 B.210 C.285 D.4958.已知函数的部分图象如图所示，，是相邻的最低点和最高点，直线的方程为，则（）A. B. C.1 D.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.通过随机抽样，得到变量和变量的7对数据，并绘制成散点图如图所示，已知变量和变量线性相关，且回归直线是图中直线，则下列说法正确的是（）A.直线的斜率是负数B.变量与变量正相关C.相关系数D.若去掉图中点后，剩余数据的相关系数变大10.已知向量，则（）A. B.C.与的夹角为 D.在方向上的投影向量的坐标为11.已知函数的定义域为R，且，则下列说法正确的是（）A. B.函数是奇函数C.若，则 D.若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.抛物线的焦点到准线的距离为______．13.已知随机事件A，B满足，，，则__________．14.已知数列满足，则数列的前2026项和为______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角的对边分别是，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.16.一个不透明的袋子中有个大小相同的球，其中有个白球､个黑球，从中随机依次摸出个球作为样本，用表示样本中白球的个数.（1）若有放回地摸球，求的概率；（2）若不放回地摸球，求的分布列与数学期望.17.如图，在直三棱柱中，，点D为的中点．（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面夹角的正弦值．18.已知椭圆的离心率为，上顶点的坐标为（0，1）．（1）求的方程；（2）已知为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若点满足，当点在上运动时，求点的轨迹方程；（3）过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线与椭圆的另一个交点为，若的面积，求直线的方程．19.已知函数（）.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若在上的最大值为0，求a的值；（3）若，恒成立，求的最大值.

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由，得.2.在复平面内，复数z对应的点为，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：借助复数的几何意义与复数乘法运算法则计算即可得.解答过程：由题知，所以.故选：D.3.已知圆的方程为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据圆的一般式方程满足的条件列不等式求解即可.解答过程：由题意得，解得.故选：D.4.某班6人（含学生甲）站成一排拍照，若甲不站最右端也不站最左端，则不同站法数为（）A.720 B.480 C.360 D.240答案：B解析：解答过程：先安排甲从除最左端和最右端的4个位置中选一个站，有种站法，将剩余的人任意排序，有种站法．由分步乘法计数原理可得，不同站法数有种．5.已知函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，则关于x的不等式的解集为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据函数的图象的单调性，得到和的解集，结合，分类讨论，即可求解.解答过程：由函数的图象，可得的递减区间为，，递增区间为，所以当时，；当时，，又由，可得或，所以．6.已知点，点在平面内，若平面的法向量，则点到平面的距离为（）A.1 B. C. D.2答案：B解析：思路：由题设，应用向量法求点到平面的距离即可.解答过程：由题意得，所以点到平面的距离.故选：B7.某电影放映厅有15排座位，且从第二排起，每一排都比前一排多个座位，前5排，中5排，后5排分别称为甲区，乙区，丙区，若甲区，乙区的座位数分别是70，95，则此电影放映厅的座位总数为（）A.120 B.210 C.285 D.495答案：C解析：解答过程：设第排的座位数为，的前项和为，由题意可知，数列是公差为的等差数列，方法一：因为成等差数列，所以，由题意知，所以，解得.方法二：因为，所以，解得，所以.8.已知函数的部分图象如图所示，，是相邻的最低点和最高点，直线的方程为，则（）A. B. C.1 D.2答案：A解析：思路：设交轴于点，根据对称性可知点在函数的图象上，设，由斜率求出，即可求出函数的周期，从而求出，再由点坐标求出，即可求出函数解析式，最后代入计算可得.解答过程：设交轴于点，直线的方程为，令，解得，所以，由图象的对称性，知点在函数的图象上.设，由，解得，所以的最小正周期，故，解得，所以，因为点是图象的一个最高点，所以，结合，解得，所以，则.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.通过随机抽样，得到变量和变量的7对数据，并绘制成散点图如图所示，已知变量和变量线性相关，且回归直线是图中直线，则下列说法正确的是（）A.直线的斜率是负数B.变量与变量正相关C.相关系数D.若去掉图中点后，剩余数据的相关系数变大答案：AC解析：思路：根据数据的散点图，结合相关性、相关系数的概念与定义，逐项判定，即可得解.解答过程：对于A、B、C：由图可知直线的斜率是负数，所以变量与变量负相关，相关系数，故A、C正确，B错误；对于D：若去掉图中点后，剩余的数据会更集中，相关程度会更高，相关系数的绝对值变大，又，所以相关系数变小，故D错误.故选：AC.10.已知向量，则（）A. B.C.与的夹角为 D.在方向上的投影向量的坐标为答案：BCD解析：思路：根据向量共线的坐标表示，可判定A错误；根据向量的模的计算公式，可判定B正确；根据向量的夹角公式，可判定C正确；根据投影向量的计算公式，可判定D正确.解答过程：对于A，因为向量，可得，因为，所以与不平行，所以A错误；对于B，由，，可得，所以B正确；对于C，设与的夹角为，则，因为，因此与的夹角为，所以C正确；对于D，由在方向上的投影向量为，所以D正确．11.已知函数的定义域为R，且，则下列说法正确的是（）A. B.函数是奇函数C.若，则 D.若，则答案：AD解析：思路：利用赋值法判断AC，根据奇函数定义判断B，根据C选项得到的结论判断D.解答过程：对于A，取，得，取，得，所以，，A正确；对于B，，函数不是奇函数，B错误；对于C，取，得，所以，所以，，若，则，C错误；对于D，，D正确.故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.抛物线的焦点到准线的距离为______．答案：解析：思路：根据抛物线标准方程直接求解即可.解答过程：由抛物线标准方程，得，解得，所以焦点到准线的距离为.13.已知随机事件A，B满足，，，则__________．答案：##解析：解答过程：已知，，则，，解得．14.已知数列满足，则数列的前2026项和为______.答案：解析：思路：先利用累加法求出数列的通项公式，再利用裂项相消求和即可.解答过程：由题意可得，且，所以当时，，……，，累加得，所以，验证当时，所以对成立，所以，所以数列的前项和，将代入得.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角的对边分别是，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.答案：（1）（2）解析：（1）由及正弦定理可得，所以，又，所以，所以，又，所以.（2）由余弦定理，有，即，又，联立解得，或（舍去），所以.16.一个不透明的袋子中有个大小相同的球，其中有个白球､个黑球，从中随机依次摸出个球作为样本，用表示样本中白球的个数.（1）若有放回地摸球，求的概率；（2）若不放回地摸球，求的分布列与数学期望.答案：（1）（2）的分布列为：期望解析：思路：（1）根据题意，可知有放回地摸球，白球的个数服从二项分布，结合二项分布的性质即可求解；（2）根据题意，可知不放回地摸球，白球的个数服从超几何分布，结合超几何分布的性质即可求解.（1）若有放回地摸球，每次摸到白球的概率为，且各次摸球之间的结果是独立的，所以，所以，即的概率为.（2）若不放回地摸球，则服从超几何分布，且的所有可能取值为，所以，的分布列为：所以期望.17.如图，在直三棱柱中，，点D为的中点．（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面夹角的正弦值．答案：（1）证明：连接，与相交于点，连接，则为的中点，因为点D为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）解析：思路：（1）作出辅助线，得到线线平行，进而得到线面平行；（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，得到两法向量夹角余弦值，进而得到面面角的正弦值（1）略（2）直三棱柱中，，故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，，故，，设平面的法向量为，则，令得，故，设平面的法向量为，则，令得，故，故，设平面与平面夹角大小为，则平面与平面夹角的正弦值为.18.已知椭圆的离心率为，上顶点的坐标为（0，1）．（1）求的方程；（2）已知为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若点满足，当点在上运动时，求点的轨迹方程；（3）过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线与椭圆的另一个交点为，若的面积，求直线的方程．答案：（1）（2）（3）或解析：思路：（1）根据题意可得，且，结合运算求解，即可得椭圆方程；（2）设，根据可得，代入椭圆方程即可得轨迹方程；（3）设直线的方程为，与椭圆方程联立可得韦达定理，分析可知，结合韦达定理运算求解即可.（1）设的半焦距为，由题意可知：，且，即，因为，即，解得，所以椭圆的方程为．（2）设，由题意可知，则，因为，则，可得，又因为在椭圆上，即，可得，化简得，所以点的轨迹方程为．（3）由题意可知过点的直线的斜率不为0，且直线与椭圆必相交，设直线的方程为，，联立方程，消去x得，则，因为与椭圆的另一交点为，可知关于原点对称，即为中点，则，即，可得，化简得，整理可得，因为，则，解得，所以直线的方程为，即或．19.已知函数（）.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若在上的最大值为0，求a的值；（3）若，恒成立，求的最大值.答案：（1）（2）或（3）解析：思路：（1）根据导数几何意义求出切线斜率，再结合切点坐标，利用点斜式方程求出切线方程；（2）求出导函数的零点，根据零点与给定区间的位置关系分情况讨论函数在该区间上的最大值，进而求出的值；（3）将不等式恒成立问题转化为最值问题，得到，代入到后通过构造新函数，利用导数研究函数单调性，进而求得最值.（1）当时，，，所以，所以切线方程为