甘肃省环县第一中学2025~2026学年高二下册期末考试数学试卷【附解析】

数学满分150分，考试时间120分钟.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，，若，则（）A.6 B.8 C.2 D.2.抛掷两枚质地均匀的骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，则X的所有可能取值为（）A.0≤X≤5，X∈N B.－5≤X≤0，X∈ZC.1≤X≤6，X∈N D.－5≤X≤5，X∈Z3.利用独立性检验来考察两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查列联表计算得，那么认为X与Y有关系，这个结论错误的可能性不超过（）0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A.0.005 B.0.05 C.0.001 D.0.014.若随机变量，则（）A. B. C. D.5.为了研究关于的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）．若已求得一元线性回归方程，则下列选项中正确的是（）123450.50.911.11.5A. B.与的样本是负相关C.当时，的预估值为2.2 D.去掉样本点后，与的样本相关系数不会改变6.已知随机变量满足，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.7.当时，函数取得最小值，则（）A. B. C. D.8.数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在嗓音工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于正整数，若存在一个整数，使得整除，则称是的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个整数，记事件“与互质”，“是的二次非剩余”，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则（）x01PabcA. B. C. D.10.为了解目前全市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是（）附：若，则，.A.该校学生体育成绩的方差为10B.该校学生体育成绩的期望为70C.该校学生体育成绩的及格率不到D.该校学生体育成绩的优秀率超过11.如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点，分别在正方形对角线和上移动，且，则下列结论中正确的有（）A.，使B.线段存在最小值，最小值为C.直线与平面所成的角恒为D.，都存在过且与平面平行的平面三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设随机变量X服从两点分布，若，则______．13.已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是________．14.已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.在甲、乙、丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人.（1）求这个人患流感的概率；（2）如果此人患流感，求此人选自甲地区的概率.16.某网红冰淇淋公司计划在A市某区开设分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的5个区域的数据作了初步处理后得到下列表格，记x表示在5个区域开设分店的个数，y表示这x个分店的年收入之和．x（个）12345y（千万元）11.622.43（1）该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的回归直线方程；（2）如果该公司最终决定在该区选择两个合适的地段各开设一个分店，根据市场调查得到如下统计数据：第一分店每天的顾客平均为300人，其中180人会购买该品牌冰淇淋，第二分店每天的顾客平均为200人，其中150人会购买该品牌冰淇淋．完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为两个店的顾客购买率有差异．买不买总计分店一分店二总计0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82817.如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面，，为的中点．（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．18.在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从10个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答.已知这10个题目中，选手甲只能正确作答其中的7个，选手乙正确作答每个题目的概率均为0.7，而且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的.（1）求选手乙正确作答2个题目的概率；（2）求选手甲正确作答的题目个数的概率分布列和数学期望；（3）从期望和方差的角度分析，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由.19.已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）当时，若函数的最小值为，证明：曲线在处的切线平行于轴；（3）若函数在上有两个极值点，求实数的取值范围．

数学满分150分，考试时间120分钟.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，，若，则（）A.6 B.8 C.2 D.答案：C解析：思路：根据空间向量共线的充要条件即可求解.解答过程：因为，所以，所以，，所以．2.抛掷两枚质地均匀的骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，则X的所有可能取值为（）A.0≤X≤5，X∈N B.－5≤X≤0，X∈ZC.1≤X≤6，X∈N D.－5≤X≤5，X∈Z答案：D解析：思路：根据第一枚的最小值和第二枚的最大值的差求得的最小值，根据第一枚的最大值和第二枚的最小值的差求得的最大值，从而得出正确选项.解答过程：第一枚的最小值为，第二枚的最大值为，差为第一枚的最大值为，第二枚的最小值为，差为故的取值范围是故选：D.3.利用独立性检验来考察两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查列联表计算得，那么认为X与Y有关系，这个结论错误的可能性不超过（）0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A.0.005 B.0.05 C.0.001 D.0.01答案：B解析：思路：根据独立性检验中值与临界值比较判断即可.解答过程：因为，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为与有关系．4.若随机变量，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据二项分布的概率公式求解即可.解答过程：.5.为了研究关于的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）．若已求得一元线性回归方程，则下列选项中正确的是（）123450.50.911.11.5A. B.与的样本是负相关C.当时，的预估值为2.2 D.去掉样本点后，与的样本相关系数不会改变答案：D解析：思路：由表格数据求出样本点的中心坐标，代入可得的值由此即可判断A；由的正负即可判断B；.根据回归方程代入计算即可判断C，由相关系数公式即可判断D.解答过程：，所以样本点的中心坐标为，将它代入得，解得，故A错误；因为，所以与的样本是正相关，故B错误；当时，的预估值为，故C错误；由相关系数公式可知，去掉样本点后，与的样本相关系数不会改变，故D正确．故选：D．6.已知随机变量满足，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：由数学期望与方差的性质求解解答过程：，得，，得，故选：B7.当时，函数取得最小值，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：求出导函数，由题意，解得，即可计算.解答过程：当时，函数取得最小值，所以，所以，得，又，根据函数在处取得最值，所以即得，所以，.故选：C.8.数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在嗓音工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于正整数，若存在一个整数，使得整除，则称是的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个整数，记事件“与互质”，“是的二次非剩余”，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据互质的定义，确定事件，再在这些互质数内，根据二次剩余的定义，计算出的二次非剩余数，结合条件概率的计算公式，即得.解答过程：在到中与互质的有1,5,7,11,13,17,19，即；由二次剩余的定义，假设是的二次非剩余，则整数的整数不存在，当时，，当时，，当时，不存在，即，由事件中有种情况，事件有种情况，所以.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则（）x01PabcA. B. C. D.答案：BD解析：思路：根据等差数列的性质及分布列的性质求解即可.解答过程：因为成等差数列，所以．由分布列的性质得，即，解得，B正确.所以，D正确．因为题目中未给出与的关系，只能得到，无法求出与的值，故AC错误．10.为了解目前全市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是（）附：若，则，.A.该校学生体育成绩的方差为10B.该校学生体育成绩的期望为70C.该校学生体育成绩的及格率不到D.该校学生体育成绩的优秀率超过答案：BC解析：思路：由正态分布的期望、方差判断A、B正误，利用正态分布的对称性，结合特殊区间概率的求法求、即可判断C、D的正误.解答过程：A：由题设知，所以该校学生体育成绩的方差，错误；B：由题设知，即该校学生体育成绩的期望为70，正确；C：，所以该校学生体育成绩的及格率不到85%，正确；D：，故该校学生体育成绩的优秀率为2.28%，故错误；故选：BC.11.如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点，分别在正方形对角线和上移动，且，则下列结论中正确的有（）A.，使B.线段存在最小值，最小值为C.直线与平面所成的角恒为D.，都存在过且与平面平行的平面答案：AD解析：思路：结合面面垂直的性质定理与线线垂直的性质定理可得，则可设，，结合向量线性运算可得；取，可得A；结合向量模长与数量积的关系，计算可得B；得到平面的法向量后，结合空间向量夹角公式计算可得C；借助向量性质可得，，为共面向量，即可得D.解答过程：因为四边形正方形，故，而平面平面，平面平面，平面，故平面，而平面，故．设，则，其中，由题设可得：；对于A，当即时，，故A正确；对于B，，故，当且仅当即时等号成立，故，故B错误；对于C，平面的法向量为，且，故，此值不是常数，故直线与平面所成的角不恒为定值，故C错误；对于D，由，故，，为共面向量，而平面，故平面，故D正确．故选：AD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设随机变量X服从两点分布，若，则______．答案：0.6解析：思路：根据两点分布的性质即可求出答案.解答过程：随机变量X服从两点分布，则，又，联立解得．故答案为：0.6.13.已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是________．答案：解析：思路：根据空间向量的基本定理、向量的线性运算及向量相等求解即可.解答过程：由题意可知.设，所以，解得，则，则以为基底时的坐标是．14.已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为______.答案：解析：思路：令，根据题意可得在上单调递减，不等式可化为，根据函数的单调性解不等式即可求出答案.解答过程：令，因为，所以，即在上单调递减，又，所以，因此不等式等价于，所以，解得，所以不等式的解集为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.在甲、乙、丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人.（1）求这个人患流感的概率；（2）如果此人患流感，求此人选自甲地区的概率.答案：（1）（2）解析：思路：（1）记事件选取的这个人患了流感，记事件此人来自甲地区，记事件此人来自乙地区，记事件此人来自丙地区，利用全概率公式可求得的值；（2）利用条件概率公式可求得的值.（1）记事件选取的这个人患了流感，记事件此人来自甲地区，记事件此人来自乙地区，记事件此人来自丙地区，则，且、、彼此互斥，由题意可得，，，，，，由全概率公式可得.（2）由条件概率公式可得.16.某网红冰淇淋公司计划在A市某区开设分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的5个区域的数据作了初步处理后得到下列表格，记x表示在5个区域开设分店的个数，y表示这x个分店的年收入之和．x（个）12345y（千万元）11.622.43（1）该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的回归直线方程；（2）如果该公司最终决定在该区选择两个合适的地段各开设一个分店，根据市场调查得到如下统计数据：第一分店每天的顾客平均为300人，其中180人会购买该品牌冰淇淋，第二分店每天的顾客平均为200人，其中150人会购买该品牌冰淇淋．完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为两个店的顾客购买率有差异．买不买总计分店一分店二总计0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828答案：（1）（2）有99.9%的把握认为两个店的顾客购买率有差异买不买总计分店一180120300分店二15050200总计330170500解析：思路：（1）根据线性回归模型，结合回归系数公式及样本均值计算即可.（2）提出零假设，求出，与临界值比较判断即可.（1），，则，，所以，，所以关于的回归直线方程为：．（2）由题意，得出列联表如下表：

买不买总计分店一180120300分店二15050200总计330170500设零假设：两个店的顾客购买率无差异．则，因为，，所以拒绝零假设，即有的把握认为两个店的顾客购买率有差异．17.如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面，，为的中点．（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．答案：（1）证明如下：因为为等边三角形，为的中点，所以．过作，垂足为，因为底面为直角梯形，，，，，所以，则，由得，所以因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面．因为平面，所以．又，平面，所以平面．（2）．解析：思路：（1）由等边三角形三线合一得到，在直角梯形中通过已知边和角求得长，由勾股定理得到长，再由勾股定理逆定理得到，结合面面垂直，得到平面，然后得到，然后得证平面；（2）由（1）得到三条两两垂直的直线，以这三条线建立空间直角坐标系，写出点坐标和向量坐标，从而求得平面的法向量的坐标，由轴⊥平面直接写出平面法向量，由空间向量的关系求得面面角的余弦值.（1）略（2）由（1）可知，，，两两垂直，以为原点，过且平行于的直线为轴，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量为，则，令，则，由（1）可知，轴⊥平面，不妨取平面的法向量为，则，故平面与平面夹角的余弦值为．18.在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从10个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答.已知这10个题目中，选手甲只能正确作答其中的7个，选手乙正确作答每个题目的概率均为0.7，而且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的.（1）求选手乙正确作答2个题目的概率；（2）求选手甲正确作答的题目个数的概率分布列和数学期望；（3）从期望和方差的