甘肃省兰州市永登县第六中学2025~2026学年高一下册期末考试数学试卷【附解析】

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则点的坐标是（）A. B.C. D.2.已知复数满足，则（）A. B. C. D.3.（）A. B. C. D.4.已知正方形的边长为，则其水平放置的直观图的面积为（）A. B. C. D.5.已知是两条不同的直线，表示平面，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件6.如图，在正方体中，P是的中点，则异面直线与CP所成角的余弦值为（）A. B. C. D.7.一个不透明的袋子中装有大小和质地相同的6个球，其中有2个红球，2个绿球，2个蓝球，从袋中一次性随机取出2个球，设事件“2个球颜色相同”，事件“2个球中至少有一个红球”，事件“2个球中至多有一个红球”，事件“2个都不是红球”，则（）A.与互斥 B.与对立C.与相互独立 D.8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，则（）A. B.在复平面内对应的点位于第二象限C. D.10.在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，，，则满足这组条件的三角形有两个C.若，则是钝角三角形D.若，则为等腰的三角形11.已知正方体的棱长为1，分别为的中点，动点在侧面内运动（包含边界），且平面，则下列结论正确的是（）A.正方体的内切球的体积为B.平面C.三棱锥的体积为定值D.动点的轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆锥的底面半径为2，轴截面为直角三角形，则该圆锥的侧面积为______．13.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率为______．14.已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量．（1）若，求的值；（2）若，求向量与的夹角的余弦值．16.已知，且．（1）求的值；（2）求的值；（3）若，且，求的值．17.小张、小胡两位同学进行两轮语文常识答题比赛，每轮由小张、小胡各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为，小胡每轮答对的概率为，在每轮比赛中，小张、小胡答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．（1）求小张在两轮比赛中至少答对1题的概率；（2）求在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等的概率．18.若，，分别为三个内角，，的对边，且.（1）求；（2）若，且的面积为，求，；（3）若的面积为，设为的中点，且，的平分线交于，求线段的长度.19.如图，在三棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，，，点E是棱PB的中点，点M是棱BC上的一点.（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值；（3）若直线EM与平面所成角的正弦值为，求线段BM的长.

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则点的坐标是（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：设为坐标原点，，所以点的坐标为.2.已知复数满足，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据虚数单位的运算性质化简已知等式，再通过复数的除法运算法则求出.解答过程：由可得，可得.故选：D.3.（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：.4.已知正方形的边长为，则其水平放置的直观图的面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据斜二测画法规则进行求解计算即可.解答过程：由斜二测画法规则可知，其水平放置的直观图是底为4，高为的平行四边形，所以直观图的面积为.5.已知是两条不同的直线，表示平面，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件答案：A解析：思路：根据充分不必要条件定义判断可得答案.解答过程：若，则存在，使得，又，所以，可得，故“”是“”的充分条件；若，且，则可能在平面内，得不到，故“”不是“”的必要条件．综上，“”是“”的充分不必要条件．故选：A．6.如图，在正方体中，P是的中点，则异面直线与CP所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：取AB的中点Q，则或其补角是异面直线与CP所成角，设，由余弦定理可得答案.解答过程：如图，取AB的中点Q，连接PQ，CQ，因为，所以四边形是平行四边形，则，所以或其补角是异面直线与CP所成角，设，则，在中，由余弦定理得.故选：A.7.一个不透明的袋子中装有大小和质地相同的6个球，其中有2个红球，2个绿球，2个蓝球，从袋中一次性随机取出2个球，设事件“2个球颜色相同”，事件“2个球中至少有一个红球”，事件“2个球中至多有一个红球”，事件“2个都不是红球”，则（）A.与互斥 B.与对立C.与相互独立 D.答案：D解析：思路：由和互斥事件、对立事件定义即可判断AB；由即可判断C；由交事件定义计算即可判断D.解答过程：将2个红球、2个绿球和2个蓝球分别记为，则从袋中一次性随机取出2个球的样本空间为共15个样本点，由题意共3个样本点，共9个样本点，共14个样本点，共6个样本点，所以，故A与D不互斥，故A错误；，故B与C不互斥，故B错误；因为，一个样本点，所以，即，故C错误；，故D正确.故选：D8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由辅助角公式化简可得，由余弦函数性质可得，再利用正弦定理及二倍角公式化简计算即可求解.解答过程：由题意得，即，因为，，则，且余弦函数在上单调递减，所以，即，又，所以，又，所以，又，所以，所以.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，则（）A. B.在复平面内对应的点位于第二象限C. D.答案：AD解析：思路：根据复数的加减、乘法运算及复数的几何意义求解判断即可.解答过程：对于A，，故A正确；对于B，因为，所以在复平面内对应的点为，位于第四象限，故B错误；对于C，因为，故C错误；对于D，，，，所以，故D正确．10.在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，，，则满足这组条件的三角形有两个C.若，则是钝角三角形D.若，则为等腰的三角形答案：AC解析：解答过程：若，则，由正弦定理得，故A正确；因为，满足这组条件的三角形不存在，故B错误；若，由正弦定理得，由余弦定理得，则角为钝角，则是钝角三角形，故C正确；若，而为三角形内角，则或，即或，故为等腰三角形或直角三角形，D错误．11.已知正方体的棱长为1，分别为的中点，动点在侧面内运动（包含边界），且平面，则下列结论正确的是（）A.正方体的内切球的体积为B.平面C.三棱锥的体积为定值D.动点的轨迹长度为答案：ACD解析：思路：对于A，由题设可得内切球半径，据此可判断选项正误；对于B，注意到，与平面相交，据此可判断选项正误；对于CD，由面面平行判定及性质定理可作出轨迹，据此可判断选项正误.解答过程：对于A，因正方体棱长为1，则正方体内切球半径为，则内切球体积为，故A正确；对于B，注意到，与平面相交，从而与平面相交，故B错误；对于CD，如图，取中点为，连接，由题设可得，又平面，平面，则平面平面.由题可得平面平面，则平面与平面的交线平行于平面与平面的交线，注意到且过点，则平面与平面的交线为，则当时，平面，则轨迹为线段，长度为，故D正确.因平面平面，平面，则平面，则到平面距离为定值，从而为定值，故C正确三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆锥的底面半径为2，轴截面为直角三角形，则该圆锥的侧面积为______．答案：解析：解答过程：因为圆锥的底面半径为2，轴截面为直角三角形，所以圆锥的母线长为，则该圆锥的侧面积为．13.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率为______．答案：##0.4解析：思路：列举基本事件，利用古典概型概率公式求解.解答过程：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，样本空间共10个基本事件，即用表示“抽到的3张卡片上的数字之和不小于10”，则共4个基本事件，即所以抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率．故答案为：.14.已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________．答案：解析：思路：建立直角坐标系，结合向量数量积求解即可.解答过程：以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，设点，则，，，所以，则，当且仅当，时，取最小值．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量．（1）若，求的值；（2）若，求向量与的夹角的余弦值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由向量平行坐标表示可得，然后由向量的模计算公式可得答案；（2）由向量加减法坐标运算结合向量垂直坐标表示可得，然后由向量夹角坐标计算公式可得答案.（1）因，，则，从而；（2），因，则，从而.则向量与的夹角的余弦值为.16.已知，且．（1）求的值；（2）求的值；（3）若，且，求的值．答案：（1）（2）,（3）解析：（1）由得.（2）由得.代入得.又，则，故，.（3），，则.由知，..又，故.17.小张、小胡两位同学进行两轮语文常识答题比赛，每轮由小张、小胡各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为，小胡每轮答对的概率为，在每轮比赛中，小张、小胡答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．（1）求小张在两轮比赛中至少答对1题的概率；（2）求在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等的概率．答案：（1）．（2）．解析：思路：（1）根据对立事件的内涵进行求解即可.（2）分别求出在两轮比赛中，小张、小胡答对题目个数为的概率，然后概率之积求得结果.（1）记“小张在两轮比赛中至少答对1题”为事件，所以，即小张在两轮比赛中至少答对1题的概率为．（2）记“小张在两轮比赛中答对题”为事件，“小胡在两轮比赛中答对题”为事件，“在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等”为事件，所以，，，，所以，即在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等的概率为．18.若，，分别为三个内角，，的对边，且.（1）求；（2）若，且的面积为，求，；（3）若的面积为，设为的中点，且，的平分线交于，求线段的长度.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用正弦定理将边转化为角，再结合辅助角公式整理，求解角；（2）利用三角形面积公式得到的值，再结合余弦定理建立方程求解和；（3）利用向量中线公式和向量数量积公式得到关于、的等式，再利用求解.（1）由题意知中，，由正弦定理边角关系得：，，，，，，，又，，所以，即.（2）由，，得.由余弦定理得，则，所以，解得.（3）在中，为中线，，，.，，，，，，.19.如图，在三棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，，，点E是棱PB的中点，点M是棱BC上的一点.（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值；（3）若直线EM与平面所成角的正弦值为，求线段BM的长.答案：（1）证明：取AB的中点F，连接PF，因为是边长为2的等边三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.在中，，所以，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以.（2）（3）解析：思路：（1）求证平面即可得证；（2）取BF的中点O，连接EO，过点E作，垂足为G，连接OG，求证平面得到为二面角的平面角，求出即可得解；（3）先求证平面得到点M不同于点C，过点M作，垂足为H，进而求证平面得直线EM与平面所成的角为，设，由得到，再由即可求出.（1）略（2）取