甘肃省临洮中学、临洮县第二中学等校2025~2026学年高一下册期末联考数学试卷【附解析】

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.若，，则（）A. B. C. D.3.在正四棱台中，下列判断错误的是（）A.B.该棱台有条棱C.，，，四点不共面D.平面平面4.（）A. B. C. D.5.若球被一个平面截得的截面圆的半径为，且球心到该平面的距离为，则球的体积为（）A. B. C. D.6.在中，，，，，且，则（）A. B.C. D.7.在正六棱柱中，，，为底面所在平面内的任意一点，则异面直线与所成角的最小值为（）A. B. C. D.8.已知函数，若是从集合中任意选取的一个元素，则在上仅有一个零点的概率为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.林下调研区划分出8块独立的菌菇监测样地，编号为1，2，3，4，5，6，7，8．调研人员先后两次有放回地选取样地开展观测，则下列与“两次选中的样地编号之和为9”是互斥事件的是（）A.两次选中的样地编号相等B.两次选中的样地编号之积为偶数C.两次选中的样地编号之和为8D.第一次选中的样地编号大于第二次选中的样地编号10.若复数满足，则（）A.的实部为 B.C.的虚部为 D.11.已知函数，则（）A.的最大值为B.的最小正周期为C.的图象关于点对称D.存在，使得，在上均为单调函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若集合，，则_______．13.已知向量，，且，则_______．14.若正三棱锥的侧棱长为，且，则点到侧面的距离为_______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某平台共2000家线上店铺，现从中随机抽取100家店铺开展走访调研，对其日平均利润（单位：元）进行了统计，所得频率分布直方图如图所示，其中．（1）求，，的值（用小数表示）；（2）试估计这100家店铺日平均利润的第75百分位数；（3）若将日平均利润超过590元的商家称为“金牌商家”，估计该平台“金牌商家”的家数．16.如图，在直三棱柱中，．（1）证明：平面平面．（2）若，，，，求三棱柱表面积的最大值．17.在中，角，，的对边分别是，，，且．（1）求；（2）若，且，求面积的最大值．18.某平台推出答题赢会员活动，共设置3道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序．规则如下：连续答对2题可获得7天会员；连续答对3题可获得30天会员；其他情况均不获得会员．已知甲答对题1的概率为，答对题2的概率为，答对题3的概率为，各题答对与否相互独立．（1）若，且甲按题1题2题3的顺序答题，求甲获得30天会员的概率；（2）若，要使甲获得会员的概率最大，应如何安排答题顺序？19.如图，已知，，平面，平面，，两点在平面的同一侧．（1）证明：平面．（2）设二面角与相等．（ⅰ）求与平面所成角的正切值；（ⅱ）求三棱锥与三棱锥公共部分的体积．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：A解析：思路：利用虚数单位的幂次运算规则化简，再根据复平面内点的坐标与复数的对应关系判断象限.解答过程：由，可得，代入原式得：，因此对应点为，位于第一象限.2.若，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：．3.在正四棱台中，下列判断错误的是（）A.B.该棱台有条棱C.，，，四点不共面D.平面平面答案：C解析：解答过程：正四棱台上下底面均为正方形，对应边互相平行，，又，由平行传递性可得，故A正确；上底面4条棱、下底面4条棱、侧棱4条，总计条棱，故B正确；棱台的侧棱延长后会交于同一点，因此，，，四点共面，故C错误；棱台的定义就是用平行于底面的平面截取棱锥得到，上下底面互相平行，即平面平面，故D正确．4.（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用对数的幂运算性质化简计算即可.解答过程：，故C正确.5.若球被一个平面截得的截面圆的半径为，且球心到该平面的距离为，则球的体积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先利用球的截面性质求出球的半径，再代入球的体积公式计算即可得到结果.解答过程：根据球的截面性质：设球的半径为，截面圆半径为，球心到截面的距离为，则三者满足直角三角形勾股关系，已知，，则，因为，故，则球的体积，故D正确.6.在中，，，，，且，则（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：由，建立如图直角坐标系，则，所以，又，所以，又，所以，化简得，解得或（舍），设，即，即，解得，故.7.在正六棱柱中，，，为底面所在平面内的任意一点，则异面直线与所成角的最小值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据异面直线所成角的定义及线面垂直判断取最小角时的位置，结合直角三角形三角函数求解即可.解答过程：正六棱柱中，平面，所以点在平面上的投影为，则在平面上的投影为.因为为底面所在平面内的任意一点，所以异面直线与所成角的最小值就是与投影所成的角.在中，，，则.又异面直线所成角范围为，所以.故当位于过点且平行于的直线上时，异面直线与所成角取得最小值，为.8.已知函数，若是从集合中任意选取的一个元素，则在上仅有一个零点的概率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用古典概型来计算总基本事件数和满足二次函数在区间内存在唯一零点的基本事件数即可求解.解答过程：集合的元素为，共个，即总基本事件数，在上仅有一个零点的条件：是开口向上的二次函数，对称轴为，分两类情况讨论：①判别式：，解得，此时零点为，仅有1个零点，符合条件，②端点函数值异号，在区间内只有一个零点：计算得，。若，即，解得，此时符合条件的为，③端点为零点且另一零点不在区间内：当时，，此时的另一个零点是，故也满足在区间内只有一个零点，综上所有符合条件的为，共个，故所求概率.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.林下调研区划分出8块独立的菌菇监测样地，编号为1，2，3，4，5，6，7，8．调研人员先后两次有放回地选取样地开展观测，则下列与“两次选中的样地编号之和为9”是互斥事件的是（）A.两次选中的样地编号相等B.两次选中的样地编号之积为偶数C.两次选中的样地编号之和为8D.第一次选中的样地编号大于第二次选中的样地编号答案：AC解析：思路：互斥事件的定义为：不可能同时发生的两个事件互为互斥事件，即两个事件的样本点集合满足.首先明确事件：“两次选中的样地编号之和为9”，其所有样本点为，再逐一判断各选项事件与的交集是否为空.

解答过程：A：事件为“两次选中的样地编号相等”，样本点为，其编号和为是偶数，而9是奇数，两事件不可能同时发生，是互斥事件，A正确；B：事件为“两次选中的样地编号之积为偶数”，中的样本点如满足积为8是偶数，两事件存在公共样本点，不是互斥事件，B错误；C：事件为“两次选中的样地编号之和为8”，两次编号和不可能同时为8和9，两事件没有公共样本点，是互斥事件，C正确；D：事件为“第一次选中的样地编号大于第二次选中的样地编号”，中的样本点如满足第一次编号大于第二次，两事件存在公共样本点，不是互斥事件，D错误.10.若复数满足，则（）A.的实部为 B.C.的虚部为 D.答案：AD解析：解答过程：由，移项得，所以，即，因为，所以，解得，对于选项A：的实部为1，所以A正确；对于选项B：，所以B错误；对于选项C：的虚部为，所以C错误；对于选项D：，所以D正确.11.已知函数，则（）A.的最大值为B.的最小正周期为C.的图象关于点对称D.存在，使得，在上均为单调函数答案：ACD解析：思路：根据三角恒等变换进行化简，结合三角函数的值域、最小正周期、对称性及单调性，结合存在量词命题判断求解即可.解答过程：.对于A，的最大值为1，所以，A正确.对于B，的最小正周期为，B错误.对于C，当时，，，所以的图象关于点对称，C正确.对于D，当时，，正弦函数在上单调递增，在上单调递减，若在上单调，则，所以..令，当时，.因为，正弦函数在上单调递减，所以，解得.故若，在上均为单调函数，.又，所以.故存在，使得，在上均为单调函数，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若集合，，则_______．答案：解析：解答过程：因为，，所以，集合是所有大于的实数构成的集合，，不满足集合的条件，，，，均满足集合的条件，因此．13.已知向量，，且，则_______．答案：或解析：解答过程：因为，所以，又因为，，所以，所以，所以，解得或.14.若正三棱锥的侧棱长为，且，则点到侧面的距离为_______．答案：解析：思路：利用等体积法可求点到侧面的距离.解答过程：设为正三角形的中心，由正弦定理得，由正三棱锥，可得平面，又平面，，又，所以，设点到侧面的距离为，由，得，又，，所以，解得.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某平台共2000家线上店铺，现从中随机抽取100家店铺开展走访调研，对其日平均利润（单位：元）进行了统计，所得频率分布直方图如图所示，其中．（1）求，，的值（用小数表示）；（2）试估计这100家店铺日平均利润的第75百分位数；（3）若将日平均利润超过590元的商家称为“金牌商家”，估计该平台“金牌商家”的家数．答案：（1），，（2）（3）解析：思路：

（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为，结合已知比例关系列方程求解；（2）根据第百分位数的定义，确定其所在区间，利用面积比例计算具体数值；（3）计算样本中日平均利润超过元的频率，利用样本估计总体的思想计算家数.（1）由频率分布直方图可知，组距为。根据频率分布直方图的性质，所有小矩形的面积之和等于，即，整理得.又已知，所以，.将代入方程得，解得，即.所以，。故，，.（2）设第百分位数为.由（1）可知，各组的频率依次为：

：；

：；

：；

：.前三组的频率之和为，前四组的频率之和为，所以第百分位数位于第四组内.由，得，解得，即.故估计这家店铺日平均利润的第百分位数为。（3）

日平均利润超过元的频率为：

.该平台共有家线上店铺，所以估计该平台“金牌商家”的家数为.故估计该平台“金牌商家”的家数为.16.如图，在直三棱柱中，．（1）证明：平面平面．（2）若，，，，求三棱柱表面积的最大值．答案：（1）证明：因为在直三棱柱中，侧棱平面，平面，故.又，且，平面，因此平面.因为平面，所以平面平面.（2）解析：思路：（1）结合图形，根据面面垂直判定定理证明.（2）分别计算底面和侧面面积，将其表示为关于的三角函数式，利用三角恒等变换化简为正弦型函数，再转化为二次函数求解最大值.（1）略.（2）设三棱柱表面积为，；由，侧面积为：，所以表面积：，令，由，得，且，代入得：，该二次函数开口向上，对称轴为，因此在上单调递增，当时，.17.在中，角，，的对边分别是，，，且．（1）求；（2）若，且，求面积的最大值．答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）结合正弦定理、余弦定理求解即可；（2）先确定为中点，从而得,平方得，利用基本不等式可得，再利用三角形的面积公式求解即可.（1）因为，即，，所以.（2）因为，所以为中点，所以,又因为，所以,即，所以，即，当时等号成立，所以，又因为，所以.所以.所以，当时等号成立.18.某平台推出答题赢会员活动，共设置3道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序．规则如下：连续答对2题可获得7天会员；连续答对3题可获得30天会员；其他情况均不获得会员．已知甲答对题1的概率为，答对题2的概率为，答对题3的概率为，各题答对与否相互独立．（1）若，且甲按题1题2题3的顺序答题，求甲获得30天会员的概率；（2）若，要使甲获得会员的概率最大，应如何安排答题顺序？答案：（1）（2）应将题1放在中间，题2、题3放在首尾，即答题顺序为题2→题1→题3或题3→题1→题2，此时获得会员的概率最大.解析：思路：(1)获得30天会员需三道题全部答对，直接利用独立事件同时发生的概率乘法公式计算；(2)先推导任意答题顺序下获得会员的概率表达式，发现概率大小由中间题的答对概率决定，将答对概率最高的题放在中间即可得到最大概率.（1）甲按题1→题2→题3的顺序答题，获得30天会员的条件是连续答对3道题，即3道题全部答对.由于各题答对与否相互独立，因此所求概率为：

.（2）设任意答题顺序为（为3道题的一个排列），获得会员的条件为至少存在连续2道题答对，即事件“答对且答对”与“答对且答对”至少一个发生.

由各题答题结果相互独立得

而3道题的答