甘肃省临洮中学2025~2026学年高二下册期末考试卷（一）数学试卷【附解析】

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A. B. C. D.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.3.已知平面向量，则（）A. B. C. D.4.平面内点到的距离之和是10，则动点的轨迹方程是（）A. B.C. D.5.为弘扬中华文化，提高学生对诗词的兴趣，某高中举办了“中华诗词大会”活动．活动中，每道选择题有4个选项．选手若掌握该诗词，则一定答对；若未掌握，则从4个选项中随机猜一个．已知某选手答对题目的概率为0.55，则他掌握该诗词的概率为（）A.0.2 B.0.4 C.0.5 D.0.66.已知等差数列的前项和为，公差，若，且，，成等比数列，则的值为（）A.11 B.13 C.19 D.177.在矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（）A. B. C. D.8.甲、乙、丙等8人围成一圈就坐，已知甲、乙两人相邻，甲、丙两人不相邻，则不同的坐法共有（）A.1200种 B.1440种 C.7200种 D.9600种二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.随机变量服从正态分布，若，则下列结论错误的有（）A. B.C. D.10.阿波罗尼奥斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.其中给出了抛物线一条经典的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.此性质可以解决线段和的最值问题，已知抛物线，是抛物线上的动点，焦点，，下列说法正确的是（）A.的方程为 B.的方程为C.的最小值为 D.的最小值为11.函数的定义域为，已知是奇函数，，当时，，则（）A.一定是周期函数 B.在单调递减C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知直线与圆：相交，则实数的取值范围为_________．13.若曲线在处的切线恰好与曲线也相切，则______.14.已知函数（）在上有最小值没有最大值，则的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.定义运算．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足．（1）证明：；（2）若，证明：为钝角三角形．16.如图，在正三棱柱中，，，为的中点，P在线段上，且．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值．17.为调研AI技术在各个行业的应用效果，某科研机构在智能医疗、金融、智能交通、教育、智能制造等行业进行问卷调查，统计了200人对AI技术应用效果所持态度的结果如下表：

男性女性合计支持AI技术7050120不支持AI技术305080合计100100200（1）依据小概率值的独立性检验，判断对AI技术应用效果所持态度是否与性别有关；（2）按性别用分层抽样的方法从对AI技术应用效果持支持态度的人员中随机抽取12人，再从这12人中随机抽取2人，记表示抽取的女性人员数量，求的分布列和数学期望．附：，．0.1000.0100.0012.7066.63510.82818.已知双曲线的一条渐近线为，其虚轴长为为双曲线上任意一点．（1）求双曲线的方程；（2）求证：到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值；（3）若双曲线的左顶点为，右焦点为，求的最小值．19.已知函数．（1）求的最小值；（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；（3）若是函数的极值点，求证：．

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为，所以对应点的坐标为.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：解不等式求得集合，由此求得.解答过程：，，所以.故选：B3.已知平面向量，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据题意，求得，结合向量的夹角公式，即可求解.解答过程：由向量，可得，所以.故选：B.4.平面内点到的距离之和是10，则动点的轨迹方程是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据题设条件结合椭圆的定义进行求解.解答过程：由题知，，由椭圆的定义可知，的轨迹方程是焦点在轴上的椭圆，其中，则，方程为：.故选：D5.为弘扬中华文化，提高学生对诗词的兴趣，某高中举办了“中华诗词大会”活动．活动中，每道选择题有4个选项．选手若掌握该诗词，则一定答对；若未掌握，则从4个选项中随机猜一个．已知某选手答对题目的概率为0.55，则他掌握该诗词的概率为（）A.0.2 B.0.4 C.0.5 D.0.6答案：B解析：解答过程：记事件A表示“选手掌握该诗词”，事件B表示“选手答对题目”，由题意知，，，由全概率公式得，所以，解得.6.已知等差数列的前项和为，公差，若，且，，成等比数列，则的值为（）A.11 B.13 C.19 D.17答案：C解析：思路：利用等差数列的性质由等差数列的求和公式和等差中项可得，再由等比中项可得，两式联立可得和，然后求出数列的通项可得.解答过程：，即，又因为，，成等比数列，则，即，整理可得，再与联立可得，，所以，，故选：C．7.在矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：如图，过作垂足为，取中点，过作交于点，在上取点，连接，由题意可知平面平面，且平面平面，平面，，所以平面，同理平面，在中，为的外接圆圆心，所以设四面体的外接球的球心为，因为，，所以，，，所以，，，所以，因为，即，所以，解得，所以四面体的外接球的半径，所以四面体的外接球的体积.8.甲、乙、丙等8人围成一圈就坐，已知甲、乙两人相邻，甲、丙两人不相邻，则不同的坐法共有（）A.1200种 B.1440种 C.7200种 D.9600种答案：A解析：思路：先安排甲，再安排乙和丙，最后安排剩余的5人，结合排列知识进行求解.解答过程：因为环状排列没有首尾之分，8人围成一圈就坐没有首尾之分，故可先固定甲位置，乙与甲相邻则有种坐法；丙与甲不相邻，则有种坐法，余下5人有种坐法，故所求坐法为种，故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.随机变量服从正态分布，若，则下列结论错误的有（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：正态分布曲线关于直线对称，根据已知条件可确定对称轴，进而判断各选项的正误.解答过程：根据正态分布曲线的对称性可知，正态分布曲线关于直线对称，所以，对于选项A：由上述计算可知，而不是，所以选项A错误；对于选项B：正态分布曲线关于直线对称，所以，选项B正确；对于选项C：由于正态分布曲线关于直线对称，所以，选项C错误；对于选项D：因为，当时，，此时，选项D错误.10.阿波罗尼奥斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.其中给出了抛物线一条经典的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.此性质可以解决线段和的最值问题，已知抛物线，是抛物线上的动点，焦点，，下列说法正确的是（）A.的方程为 B.的方程为C.的最小值为 D.的最小值为答案：BD解析：思路：由焦点易得抛物线的方程为，设准线为，过作交于点，过作交于点，交于点，连接，通过抛物线的定义结合图象可得，即可求得答案.解答过程：由题可得，即的方程为，设准线为，过作交于点，过作交于点，交于点，连接，将代入可得，所以，于是，当与重合时，取得最小值.故选：BD.11.函数的定义域为，已知是奇函数，，当时，，则（）A.一定是周期函数 B.在单调递减C. D.答案：ABC解析：思路：AC选项根据两个对称性可得；B先求出，根据在上的单调性和对称性判断；D根据周期性和上的解析式判断.解答过程：因为是奇函数，所以的图象关于点中心对称，则，且，故C正确；因为，所以，则，则，则，得，故是的一个周期，故A正确；因为，所以，则当时，，则在上单调递减，因为关于点中心对称，所以在单调递减，故B正确；，故D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知直线与圆：相交，则实数的取值范围为_________．答案：解析：思路：根据直线与圆相交时圆心到直线的距离小于半径，列绝对值不等式求解即可解答过程：由题意得圆C的标准方程为

，可得圆心坐标为，圆的半径

而直线与圆相交，可得圆心到直线的距离小于圆的半径，即

，由题意得

，得到，整理得，解得

，因此实数的取值范围为.13.若曲线在处的切线恰好与曲线也相切，则______.答案：解析：思路：对于根据导数的几何意义可得在处的切线是；对于：，结合导数的几何意义列式求解即可.解答过程：对于：，可得，当，则，可知曲线在处的切线是；对于：，可得，令得，由切点在曲线上得.故答案为：.14.已知函数（）在上有最小值没有最大值，则的取值范围是______.答案：解析：思路：根据题意，由恒等变换公式可得，然后结合条件列出不等式，代入计算，即可求解.解答过程：，当时，，若在上有最小值没有最大值，则，所以.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.定义运算．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足．（1）证明：；（2）若，证明：为钝角三角形．答案：（1）由题意得，，即，由正弦定理得；（2）由以及正弦定理得，则，，则，因为，所以，故为钝角三角形.解析：思路：（1）利用新定义结合正弦定理可得；（2）利用正弦定理得出，，再利用余弦定理可得.（1）略（2）略16.如图，在正三棱柱中，，，为的中点，P在线段上，且．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值．答案：（1）证明：在正三棱柱中，因为为的中点，所以，如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由，，可知：，，，，，，所以，，，因为，所以，又因为，所以，由于平面，所以平面.（2）解析：思路：（1）利用正三棱柱的性质，建立空间直角坐标系，利用向量法再证明线线垂直，再证线面垂直；（2）利用空间向量法来计算线面角正弦值.（1）略（2）由，，设平面的法向量为，则，令，所以可取法向量为，由，则，所以直线与平面所成的角的正弦值为.17.为调研AI技术在各个行业的应用效果，某科研机构在智能医疗、金融、智能交通、教育、智能制造等行业进行问卷调查，统计了200人对AI技术应用效果所持态度的结果如下表：

男性女性合计支持AI技术7050120不支持AI技术305080合计100100200（1）依据小概率值的独立性检验，判断对AI技术应用效果所持态度是否与性别有关；（2）按性别用分层抽样的方法从对AI技术应用效果持支持态度的人员中随机抽取12人，再从这12人中随机抽取2人，记表示抽取的女性人员数量，求的分布列和数学期望．附：，．0.1000.0100.0012.7066.63510.828答案：（1）依据小概率值的独立性检验，认为对AI技术应用效果所持态度与性别有关；（2）数学期望012解析：思路：（1）

代入列联表数据计算卡方统计量，与临界值比较得出独立性检验结论；（2）先按分层抽样规则确定抽取样本的男女人数，再根据超几何分布求的分布列和数学期望（1）设零假设：对AI技术应用效果所持态度与性别无关，由列联表得，代入卡方公式：

，已知对应的临界值，由于，因此拒绝零假设，所以依据的独立性检验，认为对AI技术应用效果所持态度与性别有关；（2）持支持态度人员中男女比例为，按分层抽样抽取12人时，抽取男性人，抽取女性人，

的可能取值为，服从超几何分布：

，

，

，故分布列为：012数学期望，或由超几何分布期望公式.18.已知双曲线的一条渐近线为，其虚轴长为为双曲线上任意一点．（1）求双曲线的方程；（2）求证：到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值；（3）若双曲线的左顶点为，右焦点为，求的最小值．答案：（1）；（2）证明见解析；；（3）.解析：思路：（1）由渐近线方程和虚轴长列方