广东省广州市（番禺区,花都区）2025~2026学年高一下册高中教学质量监测A卷数学试卷【附解析】

数学本试卷共5页，19小题，全卷满分150分，考试时间为120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“是整数”是“是奇数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知奇函数在上单调递减，则（）A. B.C. D.3.若复数z满足，则的最大值为（）A.5 B.4 C.3 D.24.已知，为两个随机事件，，，则下列结论错误的是（）A.若，则 B.若A，B独立，则C.若A，B独立，则 D.若A，B互斥，则5.函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为（）A. B.C. D.6.美国生物学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式.已知描述的是一种植物的高度随着时间（单位：年）变化的规律.若刚栽种时该植物的高为1米，经过1年，该植物的高为3米，要让该植物的高度达到5米，需要的年数为（）A.2 B.3 C.5 D.67.在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，以下四个结论中正确的为（）A.直线EF与直线GH平行 B.直线EF与直线GH异面C.直线EF与直线GH的交点M在平面ABD上 D.直线EF与直线GH的交点M在直线AC上8.古代的一种铜钱是由同心的圆和正方形构成的，如图所示，圆O和正方形ABCD的中心是重合的，圆O的半径为r，正方形ABCD的边长为2cm，P为圆O上的动点，且，则圆O的面积为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某公司2025年5月至2026年3月的各月利润率与每百元营业收入中的成本如图所示，则下列说法中正确的是（）A.2025年6月至2025年9月的利润率呈递减趋势B.2025年5月至2026年3月的利润率的80%分位数为7.09%C.2025年10月至2026年3月每百元营业收入中的成本呈递增趋势D.2025年5月至2026年3月每百元营业收入中的成本的方差大于110.若，，且，则（）A. B. C. D.11.如图，已知正四面体的棱长为，点为点在底面上的射影，分别为线段的中点，过点作平面与平面平行，点为侧面上一动点（含边界），且，则（）A.三棱锥的内切球的体积为B.过点的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为C.点的轨迹长度为D.平面截三棱锥所得截面的面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，且，则的最大值是________．13.已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，若，则___________；___________．14.已知袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球．甲、乙、丙三人依次各摸出1个球（不放回）．三人只能看见别人手中的球，无法看到自己的球．此时，甲说：“我不知道我手里是什么颜色的球．”乙听到后说：“我也不知道我手里是什么颜色的球．”若甲、乙均绝对理性且不说谎，则在此条件下，甲手中是红球的概率为________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，，，的对边分别是a、b、c，已知．（1）求角B的大小．（2）已知，BC边上的高为AD．在下列三个条件中选择一个条件，求AD的长度．条件①：的面积为；条件②：的周长为6；条件③：的面积为．16.为了解岭南某地荔枝的情况，随机抽取该地一批荔枝测量其重量（单位：克），按照，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示．（1）求图中a的值；（2）估计该地单个荔枝重量的平均数x和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）已知单个重量大于37.5克的荔枝为一等品，单个重量在32.5克至37.5克的荔枝为二等品，单个重量低于32.5克的荔枝为三等品．从该批荔枝中，用分层抽样的方法抽出容量为20的样本，再从此样本的二等品和三等品中随机抽取2个，求抽到的都是三等品荔枝的概率．17.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，E、F、G分别是的中点．（1）证明：面；（2）证明：平面；（3）若平面，求直线到平面的距离．18.已知函数是偶函数，（1）求b的值；（2）直接写出函数的单调区间，并解不等式；（3）证明：方程在有唯一实根，且．19.已知正方体的棱长为2，E是棱AB上的一个动点（不是端点），作线段，过上一点F，作直线DF交正方体的上底面（含边界）于点G．（1）当时，说明动点G的轨迹，并求其长度；（2）若，求证：平面；（3）在（2）的条件下，且直线与平面所成角的正切值为，求AE的长度．

数学本试卷共5页，19小题，全卷满分150分，考试时间为120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“是整数”是“是奇数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：解答过程：若是整数，则不一定是奇数；若是奇数，则一定是整数”，所以“是整数”是"是奇数"的必要不充分条件．2.已知奇函数在上单调递减，则（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：已知奇函数在上单调递减，对于A，，，，A正确；对于B，，B错误；对于C，，，，C错误；对于D，，，，D错误．3.若复数z满足，则的最大值为（）A.5 B.4 C.3 D.2答案：A解析：解答过程：因为，所以复数对应的点的轨迹是以坐标原点为圆心，1为半径的圆.表示复数对应的点与定点的距离，其最大值为圆心到定点的距离加圆的半径，即．故的最大值为.4.已知，为两个随机事件，，，则下列结论错误的是（）A.若，则 B.若A，B独立，则C.若A，B独立，则 D.若A，B互斥，则答案：C解析：思路：分别根据相互独立事件的概率，互斥事件的概率，包含事件的概率的定义及公式计算可得.解答过程：对于A，若，则，故A正确；对于B，若，独立，则，故B正确；对于C，若，独立，则，故C错误；对于D，若，互斥，则，故D正确．5.函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：由于由图可知：，故可得，因为最大值为2，且，故，此时函数解析式为，因为图中最高点的坐标是，所以，，解得，．又因为，所以，所以函数解析式为6.美国生物学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式.已知描述的是一种植物的高度随着时间（单位：年）变化的规律.若刚栽种时该植物的高为1米，经过1年，该植物的高为3米，要让该植物的高度达到5米，需要的年数为（）A.2 B.3 C.5 D.6答案：A解析：思路：先根据确定的值，再根据求的值即可.解答过程：依题意可得，则，解得，，.，进一步可以判断在上单调递增，由，故，所以要让该植物的高度达到5米，需要的年数为2.故选：A7.在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，以下四个结论中正确的为（）A.直线EF与直线GH平行 B.直线EF与直线GH异面C.直线EF与直线GH的交点M在平面ABD上 D.直线EF与直线GH的交点M在直线AC上答案：D解析：思路：根据给定条件，利用平行公理及平面基本事实推理判断即可.解答过程：连接，由分别为的中点，得，且，在中，，则，且，因此且，四边形为梯形，为梯形两腰，它们相交且共面，AB错误；设，由平面，得平面；由平面，得平面，而平面与平面的交线为，于是，即交点一定在直线上，且交点与点不重合，因此交点不在平面上，C错误，D正确．8.古代的一种铜钱是由同心的圆和正方形构成的，如图所示，圆O和正方形ABCD的中心是重合的，圆O的半径为r，正方形ABCD的边长为2cm，P为圆O上的动点，且，则圆O的面积为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：法一：根据已知条件，结合向量的线性运算，列出关于半径的等量关系，求出半径，进而求出圆的面积；法二：利用极化恒等式的结论直接建立半径的等量关系，求出半径，进而求出圆的面积.解答过程：法一：如图，连接，，，正方形的边长为2，，，，解得，圆的面积为．法二：根据极化恒等式得，，解得，圆的面积为．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某公司2025年5月至2026年3月的各月利润率与每百元营业收入中的成本如图所示，则下列说法中正确的是（）A.2025年6月至2025年9月的利润率呈递减趋势B.2025年5月至2026年3月的利润率的80%分位数为7.09%C.2025年10月至2026年3月每百元营业收入中的成本呈递增趋势D.2025年5月至2026年3月每百元营业收入中的成本的方差大于1答案：ABC解析：解答过程：对于A，2025年6月至2025年9月的利润率呈递减趋势，A正确；对于B，将这11个月的利润率从小排到大为：，由，得80%分位数为，B正确；对于C，2025年10月至2026年3月每百元营业收入中的成本呈递增趋势，C正确；对于D，这11个月的每百元营业收入中的成本的平均数为，而，因此这11个月的每百元营业收入中的成本的方差不可能大于1，D错误．10.若，，且，则（）A. B. C. D.答案：AB解析：解答过程：因为，所以，当且仅当时取等号，故A正确；又，当且仅当时取等号，所以，故B正确；，故C错误；，当且仅当时取等号，故D错误.11.如图，已知正四面体的棱长为，点为点在底面上的射影，分别为线段的中点，过点作平面与平面平行，点为侧面上一动点（含边界），且，则（）A.三棱锥的内切球的体积为B.过点的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为C.点的轨迹长度为D.平面截三棱锥所得截面的面积为答案：ABD解析：思路：由正四面体的棱长与其外接球的半径的关系可判断A；在确定点的平面截三棱锥的外接球所得截面圆半径的最小值可判断B；求点的轨迹，求其轨迹的长度可判断C；作出平面截三棱锥所得截面，求其面积可判断D.解答过程：对于A，三棱锥的内切球半径为，所以内切球的体积为，故A正确；对于B，三棱锥的外接球半径为，记外接球球心为，则当截面与垂直的时候，截面圆的面积最小，因为，所以截面圆的半径为，所以所得截面面积的最小值为，故B正确；对于C，点是以为球心且以为半径的球面与侧面的公共点，记在侧面上的射影为，则为等边三角形的中心，且，所以球面与侧面相交圆的半径为，又圆与等边三角形相交所得的三段圆弧即为点的轨迹，又圆心到等边三角形每条边的距离为，所以每段圆弧的圆心角为，所以点的轨迹长度为，故C错误；对于D，因为平面平面，且平面平面，过作交于，则平面，同理过作，分别交于点，过作交于，连接，则为平面截三棱锥所得的截面，由题意，得，且，所以，所以，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，且，则的最大值是________．答案：5解析：解答过程：当取最小值，取最大值3的时候，的最大值为5．13.已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，若，则___________；___________．答案：①.1②.0解析：解答过程：方法1：如图可得．如图可得与垂直，．方法2：如图建系，易知.若，则，所以.，，所以.14.已知袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球．甲、乙、丙三人依次各摸出1个球（不放回）．三人只能看见别人手中的球，无法看到自己的球．此时，甲说：“我不知道我手里是什么颜色的球．”乙听到后说：“我也不知道我手里是什么颜色的球．”若甲、乙均绝对理性且不说谎，则在此条件下，甲手中是红球的概率为________．答案：##解析：思路：分析甲、乙两人看到的可能情形，可确定丙手中的球的颜色，从而得到甲手中是红球的概率.解答过程：由“甲不知道自己手里是什么颜色的球”知，乙、丙两人手里的小球肯定不是两个白球；若乙看到丙拿的是白球，甲不论拿的是什么颜色的球，则由“甲不知道自己手里是什么颜色的球”知，乙自己肯定拿的是红球；但乙不知道自己拿的是什么颜色的球，所以丙拿到的肯定是红球.则此时甲手中是红球的概率为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，，，的对边分别是a、b、c，已知．（1）求角B的大小．（2）已知，BC边上的高为AD．在下列三个条件中选择一个条件，求AD的长度．条件①：的面积为；条件②：的周长为6；条件③：的面积为．答案：（1）（2）选择①：．，又由余弦定理得：，，，，又，，．．选择②：由余弦定理得：．，，又，，，，，．．．选择③．又．解得或，所以中BC边上的高为或.解析：思路：（1）法一：由余弦定理得到，得到角B的大小；法二：由正弦定理得到，得到角B的大小；（2）选择①，由三角形面积和余弦定理求出．根据面积求出；选择②，由余弦定理和三角形周长求出，根据面积求出；选择③，根据三角形面积得到方程，结合求出.（1）法一：．由余弦定理，得．，，又，．法二：，由正弦定理，得，又，，．，又，，，又，．（2）略16.为了解岭南某地荔枝的情况，随机抽取该地一批荔枝测量其重量（单位：克），按照，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示．（1）求图中a的值；（2）估计该地单个荔枝重量的平均数x和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）已知单个重量大于37.5克的荔枝为一等品，单个重量在32.5克至37.5克的荔枝为二等品，单个重量低于32.5克的荔枝为三等品．从该批荔枝中，用分层抽样的方法抽出容量为20的样本，再从此样本的二等品和三等品中随机抽取2个，求抽到的都是三等品荔枝的概率．答案：（1）；（2）平均数为40，方差为28.75；（3）解析：思路：（1）根据频率之和为1得到方程，求出；（2）根据平均数和方差的计算公式可得答案；（3）求出20的样本中二等品和三等品的个数，列举法求出相应的概率（1）由图知，组距，由，得．（2）各组中点值和相应的频率依次为：中点值3035404550频率0.10.20.3750.250.075所以估计平均数为，方差为（3）因为一等品，二等品，三等品的频率之比为，所以所抽20个样本中，二等品有4个，将其编号为1，2，3，4，三等品有2个，将其编号为5，6，从中随机抽取2个，样本空间为：共有15个样本点．记事件“抽到的都是三等品荔枝”，则，共有1个样本点，所以，抽到的都是三等品荔枝的概率为．17.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，E、F、G分别是的中点．（1）证明：面；（2）证明：平面；（3）若平面，求直线到平面的距离．答案：（1）证明：连接，．因为，，分别是，，的中点，四边形是矩形．所以，，且，．所以，．所以四边形为平行四边形．所以．又平面，平面，所以//平面．（2）证明：因为，的中点为，所以．因为平面，平面．所以．因为底面是矩形．所以．因为，，平面．所以平面．因为平面．所以，因为，，平面．所以平面．因为由（1）知，所以平面．（3）解析：思路：（1）由线面平行的判定定理可得；（2）由线面垂直的判定定理证得平面，从而得，再由线面垂直的判定定理证得平面，最后根据，可得平面；（3）由，知直线到平面的距离即为点到平面的距离，根据等体积法可得；或先求得的长度，由平面，得点到平面的距离为，再根据是的中点，得点到平面的距离，即直线到平面的距离为.（1）略（2）略（3）法一：由（1）可知，，即求点到平面的距离，设为．因为平面，平面．所以．又，所以，因为平面，平面，所以．又是的中点．所以，，又因为平面，平面，所以．在直角三角形中，，，，所以．所以，即．所以，．所以，直线到平面的距离是．法二：因为平面，，平面．所以．又．所以．因为平面，平面，所以．又是的中点，所以．由（2）可知，．所以．又由（1）可知，．所以直线到平面的距离即为点到平面的距离．又因为是的中点，且平面，所以点到平面的距离为．所以，直线到平面的距离是．18.已知函数是偶函数，（1）求b的值；（2）直接写出函数的单调区间，并解不等式；（3）证明：方程在有唯一实根，且．答案：（1）（2）在上单调递减，在上单调递增，（3）记．在为减函数，在其定义域上为增函数．在为减函数．在为增函数，在为减函数．在为减函数．，又，，由零点存在定理和单调性知，存在唯一使，即方程在有唯一实根，此时，．．解析：思路：（1）根据偶函数的定义.（2）先化简，然后判断复合函数的单调性，根据偶函数和单调性综合，解不等式.（3）先化简函数，根据复合函数的单调性，结合单调性和零点存在定理得出结论.（1）为偶函数．对恒成立，．，对成立．，．（2）