广东省汕头市金南实验学校2025~2026学年高一下册教学质量监测数学试卷【附解析】

数学本试卷共4页.满分150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷（本卷共计58分）一、单选题：本题共8小题，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一个是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.因式分解正确的是（）A. B.C. D.3.已知复数，则（）A. B. C. D.4.如图，某组合体是由选项中某个图形绕轴旋转而成，则这个图形是（）A. B. C. D.5.设向量，，则下列结论中正确的是（）A. B.C.与的夹角为 D.在方向上的投影为6.已知，，则（）A. B. C. D.7.“函数在区间上单调递增”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（

）A. B.2 C. D.1二、多选题：本题共3小题.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分.有选错的得0分.9.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是（）.A.与为互斥事件 B.与为相互独立事件C. D.10.函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A.B.函数的图象关于对称C.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象D.若方程在上有1个实数根，则m的取值范围是11.函数的图象是由函数，与函数，的图象“拼接”而成.则下列说法正确的有（）A.B.若，则C.若有三个零点，则D.若关于的方程存在实数解，则实数满足或第II卷（本卷共计92分）三、填空题：本题共3小题.每小题5分，共15分.12.在中，角所对的边分别为，则_______.13.如图，正三棱锥的底边长为2，.一只小虫从点出发，沿三个侧面爬行一周，回到点.则爬行的路径最短为________.14.小白和小高进行乒乓球比赛，先得11分的人为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方.在10∶10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球.若在比赛中，小白发球时小白得分的概率为，小高发球时小白得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方10∶10平后，小白先发球，则双方战至13∶11的概率为____________.四、解答题：本题共5小题.共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，且与的夹角为120°.（1）求的值；（2）求的值；16.已知，，分别为三个内角，，的对边，.（1）求角A；（2）若，的面积为，求；（3）若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围.17.如图，在直三棱柱中，D是棱AC的中点，且，．（1）求证：平面；（2）从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题：（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择条件①、条件②或条件③分别解答，按第一个解答计分．18.在金平区第三届中学数学建模综合实践活动中，某校实验小组以绿豆幼苗为研究对象，设置黑暗、自然光两组对照实验，实验结束后从每组中各随机选取5株幼苗，测量其株高（单位：cm），数据如下（计算结果都保留一位小数）；黑暗组：4.1，10.1，13.8，16.9，19.1自然光组：4.0，8.5，10.8，12.4，13.2（1）求黑暗组株高数据的第40百分位数，自然光组株高数据的第30百分位数；（2）分别计算黑暗组、自然光组株高的样本平均数与样本方差；（3）有同学认为“因为两组样本量相同，所以总体方差可以直接取两组方差的平均数，即”.请根据两组数据的总体方差计算原理，推导并说明该同学的说法是否正确.（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，，；n，，，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差）19.已知函数，，（1）求的解析式；（2）关于的不等式的解集为一切实数，求实数的取值范围；（3）关于的不等式的解集中的正整数解恰有个，求实数的取值范围.

数学本试卷共4页.满分150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷（本卷共计58分）一、单选题：本题共8小题，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一个是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据交集的知识求得正确答案.解答过程：依题意，，，所以.2.因式分解正确的是（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：本题可以用十字相乘法因式分解，也可展开选项验证：方法一：十字相乘法因式分解二次三项式可以使用十字相乘法如下拆分满足一次项系数要求：，故因式分解结果为：方法二：对选项逐个展开验证即可.3.已知复数，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：复数，所以.4.如图，某组合体是由选项中某个图形绕轴旋转而成，则这个图形是（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：A中图形绕轴旋转可得由一个圆台挖去一个圆柱的组合体；B中图形绕轴旋转可得圆锥；C中图形绕轴旋转可得由一个圆柱挖去两个圆台的组合体；D中图形绕轴旋转可得由两个圆台挖去一个圆柱的组合体.故选A.5.设向量，，则下列结论中正确的是（）A. B.C.与的夹角为 D.在方向上的投影为答案：D解析：解答过程：，故不平行，故A错误；，故不垂直，故B错误；设与的夹角为，则，，，故C错误；在方向上的投影为，故D正确．6.已知，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题意知，，所以，所以.7.“函数在区间上单调递增”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：根据对数函数的单调性，结合复合函数单调性的性质、充分性和必要性的定义进行判断即可.解答过程：二次函数的对称轴为，函数在区间上单调递增，则，解得，由可得，但是由得不到，所以函数在区间上单调递增是的必要不充分条件.8.已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（

）A. B.2 C. D.1答案：A解析：思路：分析出为等腰直角三角形，建立平面直角坐标系，表达出，求出最小值.解答过程：分别表示与同方向的单位向量，故为的平分线所在直线，又，故的平分线所在直线与垂直，由三线合一可得，取的中点，则，，，故，所以为等腰直角三角形，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则，设，，则，故当时，取得最小值，最小值为.二、多选题：本题共3小题.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分.有选错的得0分.9.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是（）.A.与为互斥事件 B.与为相互独立事件C. D.答案：BCD解析：思路：根据互斥事件和独立事件的概念可判断A，B，结合和事件及积事件的概率公式可判断C，D.解答过程：事件显然可以同时发生，不是互斥事件，A不正确；,，因为，所以与为相互独立事件，B，D正确；，C正确；故选：BCD10.函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A.B.函数的图象关于对称C.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象D.若方程在上有1个实数根，则m的取值范围是答案：BC解析：思路：由图象可知，又图象经过点列方程求，判断A；结合余弦函数性质验证B；根据函数图象变换法则，结合诱导公式判断C；令，可得在上有1个实数根，结合正弦函数性质判断D.解答过程：观察函数的图象可知，又因为过点，所以，所以，，所以，，又，所以，A错误；所以，因为时，，所以函数的图象关于对称，B正确；函数向左平移个单位长度，可得函数的图象，所以C正确；因为，由可得，，令，由已知可得在上有个实数根，因为函数在上单调递增，在上单调递减，且时，，时，，所以或，D错误.11.函数的图象是由函数，与函数，的图象“拼接”而成.则下列说法正确的有（）A.B.若，则C.若有三个零点，则D.若关于的方程存在实数解，则实数满足或答案：ACD解析：解答过程：对于A，，故A正确，对于B，易知在上单调递增，故由，得，得，故B错误，对于C，函数有三个零点，等价于方程有三个不相等的实数根，等价于函数的图象与直线有三个交点，又直线恒过定点，如图，当直线位于与之间（不包括两条直线）时满足条件，当直线位于时，；当直线位于时，联立与，消去整理得，由相切，得，解得，又，则，由图可知，故C正确，对于D，由上图得函数的值域为，而的图象是由的图象向右平移个单位得到，故的值域为，将条件转化为关于的方程存在实数解，所以，解得或，故D正确.第II卷（本卷共计92分）三、填空题：本题共3小题.每小题5分，共15分.12.在中，角所对的边分别为，则_______.答案：##解析：思路：利用余弦定理求解即可.解答过程：由余弦定理得：.13.如图，正三棱锥的底边长为2，.一只小虫从点出发，沿三个侧面爬行一周，回到点.则爬行的路径最短为________.答案：解析：思路：根据正三棱锥的侧面展开图求得正确答案.解答过程：正三棱锥的侧面展开图如下图所示，因为为正三棱锥，所以，依题意可知，所以三角形是等腰直角三角形，在中，由余弦定理可得：，所以，解得：，所以.所以最短路程为.14.小白和小高进行乒乓球比赛，先得11分的人为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方.在10∶10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球.若在比赛中，小白发球时小白得分的概率为，小高发球时小白得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方10∶10平后，小白先发球，则双方战至13∶11的概率为____________.答案：解析：思路：根据已知条件，将其分成两种情况，利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式计算即得.解答过程：在双方平后，小白先发球，则小白以赢下此局包括两种情况：(1)后四球胜方依次是小白、小高、小白、小白，则概率为，(2)后四球胜方依次是小高、小白、小白、小白，则概率为，在双方平后，小白先发球，则小高以赢下此局包括两种情况：(1)后四球胜方依次是小高、小白、小高、小高，则概率为，(2)后四球胜方依次是小白、小高、小高、小高，则概率为，由互斥事件的概率加法公式，所求事件的概率为.故答案为：四、解答题：本题共5小题.共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，且与的夹角为120°.（1）求的值；（2）求的值；答案：（1）（2）解析：思路：（1）先利用数量积定义求得，然后利用数量积的运算律求解即可；（2）结合数量积的运算律，利用向量模的运算法则求解即可.（1）因向量与的夹角为120°，且，则，所以.（2）.16.已知，，分别为三个内角，，的对边，.（1）求角A；（2）若，的面积为，求；（3）若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式，结合辅助角公式求解即可.（2）根据三角形面积公式及余弦公式求解即可.（3）根据向量的平行四边形法则及向量数量积运算律，结合正余弦定理、两角和的正弦公式及辅助角公式求解即可.（1）由正弦定理可得，又，所以，即，也即，因为，所以，所以，即，即，又，则，所以，则.（2）由的面积为，得，即，所以.由余弦定理得，，即，所以.联立整理得，所以，又，所以.（3）因为为的中点，所以，则，在中，由余弦定理得，即，所以，在中，由正弦定理得，所以，，所以，因为为锐角三角形，所以，，则，解得，所以，则，所以，即，所以，所以中线的取值范围是.17.如图，在直三棱柱中，D是棱AC的中点，且，．（1）求证：平面；（2）从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题：（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择条件①、条件②或条件③分别解答，按第一个解答计分．答案：（1）证明见解析（2）（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在；解析：思路：（1）根据线面平行的判定定理，在平面内找到与平行的直线即可；（2）（Ⅰ）先通过线面垂直证，再由三角形内角和定理证，进而可证线面垂直；（Ⅱ）取N为的中点，的中点为M，通过，平面即可证明N满足题意.（1）如图，连接，与交于点O，连接OD，因为四边形是平行四边形，所以O为的中点.又D是棱AC的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．（2）（Ⅰ）选择条件①，.由D是棱AC的中点，得.在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，所以.又，，平面，所以平面，所以.因为，所以，又，在和中，，所以，而，则，所以，又，BD，平面，所以平面.选择条件②：．因为底面ABC，平面ABC，所以，又，，，平面，所以平面，又平面，所以，下同条件①.选择条件③：，下同条件①.（Ⅱ）当点N为的中点，即时，平面平面．证明如下：如图，取的中点为M，连接DM、MN，因为M、D分别为、AC的中点，所以且，又N为的中点，所以且，所以四边形BDMN为平行四边形，故.由（Ⅰ）知平面，所以平面，又平面，所以平面平面．18.在金平区第三届中学数学建模综合实践活动中，某校实验小组以绿豆幼苗为研究对象，设置黑暗、自然光两组对照实验，实验结束后从每组中各随机选取5株幼苗，测量其株高（单位：cm），数据如下（计算结果都保留一位小数）；黑暗组：4.1，10.1，13.8，16.9，19.1自然光组：4.0，8.5，10.8，12.4，13.2（1）求黑暗组株高数据的第40百分位数，自然光组株高数据的第30百分位数；（2）分别计算黑暗组、自然光组株高的样本平均数与样本方差；（3）有同学认为“因为两组样本量相同，所以总体方差可以直接取两组方差的平均数，即”.请根据两组数据的总体方差计算原理，推导并说明该同学的说法是否正确.（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，，；n，，，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差）答案：（1）12.0；（2）黑暗组：，；自然光组：，（3）该同学的说法不正确.理由如下：由题干所附公式，当时，，，而，所以两者不相等.所以该同学的判断是错误的，漏算了.解析：思路：（1）根据百分位数的定义求解即可.（2）根据平均数及方差公式