广东省汕头市金中海湾学校、华南师范大学附属濠江实验学校2025~2026学年高一下册期末考试数学试卷【附解析】

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为R，集合，，则（）A. B.C. D.2.已知，则的值为（）A.5 B. C. D.3.已知平面向量与为单位向量，它们的夹角为，则（）A. B. C. D.4.已知函数的周期为，且在上单调递增，则可以是（）A. B. C. D.5.若不等式在上有解，则的取值范围是（）A. B.．C. D.6.下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.7.已知，是两条不重合的直线，，，是三个不重合的平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为2，M是BB1的中点，点P在正方体内部或表面上，且MP平面AB1D1，则动点P的轨迹所形成的区域面积是（）A. B. C. D.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.已知某地区某周7天每天的最高气温分别为23，25，13，10，13，12，19（单位℃）．则（）A.该组数据的平均数为 B.该组数据的中位数为13C.该组数据的第70百分位数为16 D.该组数据的极差为1510.一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张．事件A＝“第一次取到标号为1或2的号签”，事件B＝“第二次取到标号为5的号签”，事件C＝“两张号签标号之和为5”，则（）A.A与B独立 B.B与C对立C. D.11.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有（）A.B.的取值范围为C.的取值范围为D.的取值范围为三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在直角三角形ABC中，已知，，，以AC为旋转轴将旋转一周，AB、BC边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为______.13.已知正四棱台的上、下底面边长分别是1和2，所有顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为，则此正四棱台的侧棱长为__________．14.已知是边长为2的等边三角形，点D在边上，且，若平面内动点P满足，则的最小值为_____.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，，.（1）若，求；（2）设，，求函数的值域.16.已知在中，内角，，对应的边分别是，，，，．（1）求的大小；（2）已知的周长为，求边上的中线的长度．17.某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，）．（1）求的值，并利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的中位数（结果保留两位小数）；（2）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈；①第3，4组分别抽取多少人；②从这5名市民中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率．18.如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.19.已知点，是函数图象上的任意两点，且角的终边经过点，若时，的最小值为．（1）求函数的解析式；（2）求函数的对称中心及在上的减区间；（3）若方程在内有两个不相同的解，求实数的取值范围．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为R，集合，，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：由已知集合的描述，结合交、并、补运算即可判断各选项的正误解答过程：A中，显然集合A并不是集合B的子集，错误.B中，同样集合B并不是集合A的子集，错误.C中，，错误.D中，由，则，，正确.故选：D．2.已知，则的值为（）A.5 B. C. D.答案：B解析：思路：先化简复数，再求．解答过程：，，，故B正确．故选：B．3.已知平面向量与为单位向量，它们的夹角为，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由向量数量积定义可得，根据向量数量积的运算律可由求得结果.解答过程：，.故选：D.4.已知函数的周期为，且在上单调递增，则可以是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：求函数的周期，举例说明函数的单调性不满足要求，排除A，证明为函数的周期，再判断函数在上的单调性，判断B，举例说明函数的单调性不满足要求，排除C，结合函数定义域，排除D.解答过程：对于A，，但，，所以函数在上不单调递增，不符合题意；对于B，，所以函数的周期为，当时，，因为，函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，同理可得函数在上单调递减，，所以函数的最小正周期为，B正确；对于C，因为，，所以函数在上不单调递增，不符合题意；对于D，函数的定义域为，，所以结论函数在单调递增错误，不符合题意；故选：B.5.若不等式在上有解，则的取值范围是（）A. B.．C. D.答案：C解析：思路：分和两种情况，分类讨论，结合函数单调性和函数图象，得到不等式，求出答案.解答过程：若，当时，因为在上单调递增，在上单调递增，可得，故不等式在上有解，满足要求；若，当时，因为在上单调递增，在上单调递减，同一坐标系内画出和在的图象，如下：要想在上有解，需满足，即，解得，故的取值范围为.故选：C6.下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：利用特殊值判断A、C，利用重要不等式判断B，作差可判断D；解答过程：解：对于A：若、时，故A错误；对于B：因为，所以，所以，即，当且仅当时取等号，故B错误；对于C：若、时，，故C错误；对于D：因为，所以，即，当且仅当时取等号，故D正确；故选：D7.已知，是两条不重合的直线，，，是三个不重合的平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则答案：D解析：思路：对ABC，举反例判断即可；对D根据线面平行与线面垂直的性质判定即可解答过程：对A，若，，则或，故A错误；对B，若，，则或，故B错误；对C，长方体同一顶点所在的三个平面满足，，，故C错误；对D，若，则平行于内的一条直线，又，故，故成立，故D正确；故选：D8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为2，M是BB1的中点，点P在正方体内部或表面上，且MP平面AB1D1，则动点P的轨迹所形成的区域面积是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：过点作平面的平行平面，再求解多边形的面积即可.解答过程：根据题意，过点作出平面的平行平面，如下所示：因为////，////，////，又，平面，平面，故平面//平面.则点的轨迹图形如上图阴影部分所示.显然，该六边形是正六边形，边长为.故该六边形面积为6个全等的边长为的三角形的面积和.即.故选：C方法提示：本题考查面面平行的判定，以及正方体的截面问题，属综合中档题.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.已知某地区某周7天每天的最高气温分别为23，25，13，10，13，12，19（单位℃）．则（）A.该组数据的平均数为 B.该组数据的中位数为13C.该组数据的第70百分位数为16 D.该组数据的极差为15答案：ABD解析：思路：根据平均数、中位数、百分位数和极差的定义判断即可．解答过程：将23，25，13，10，13，12，19从小到大排列为10，12，13，13，19，23，25，对于A，该组数据的中位数为，故A正确；对于B，该组数据的中位数为13，故B正确；对于C，由，则该组数据的第70百分位数为从小到大排列的第5个数，是19，故C错误；对于D，该组数据的极差为，故D正确．故选：ABD．10.一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张．事件A＝“第一次取到标号为1或2的号签”，事件B＝“第二次取到标号为5的号签”，事件C＝“两张号签标号之和为5”，则（）A.A与B独立 B.B与C对立C. D.答案：ACD解析：解答过程：选项A，，，且,因为，所以与独立.选项B，因为，，所以与不对立.选项C，.选项D，.11.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有（）A.B.的取值范围为C.的取值范围为D.的取值范围为答案：AC解析：思路：由余弦定理可得，再由正弦定理将边化角，由两角和的正弦公式可得，即可判断A，再根据三角形为锐角三角形，即可求出角的范围，从而判断B，再根据三角函数的性质判断C、D；解答过程：解：因为，又由余弦定理，即，所以，所以，即，由正弦定理可得，又，，即，，，，为锐角，，即，故选项A正确；，，，故选项B错误；，故选项C正确；，又，，令，则，由对勾函数性质可知，在上单调递增，又，，，故选项D错误．故选：AC．三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在直角三角形ABC中，已知，，，以AC为旋转轴将旋转一周，AB、BC边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为______.答案：8解析：思路：设两条母线为AB、AD，则截面面积为，由为定值可知当最大时，截面面积最大，结合图形求出的范围即可求解．解答过程：如图，圆锥任意两条母线为AB和AD，则截面为等腰三角形ABD，∴截面面积为：，由图可知，当截面为圆锥轴截面时，∠BAD最大，最大为120°，∴，∴sin∠BAD最大值为1，∵为定值，故当sin∠BAD最大时截面面积最大，故截面面积最大为．故答案为：813.已知正四棱台的上、下底面边长分别是1和2，所有顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为，则此正四棱台的侧棱长为__________．答案：解析：思路：根据题意可得球O的半径，结合外接球的性质可得外接球心O在底面的中心，再根据几何关系求解侧棱长即可解答过程：设上下底面互相平行的两对角线分别为，则由球O的表面积为可得球O的半径，又正四棱台的上、下底面边长分别是1和2，故，所以球O的球心正好在中点.故.所以正，故，所以正，故此正四棱台的侧棱长故答案为：14.已知是边长为2的等边三角形，点D在边上，且，若平面内动点P满足，则的最小值为_____.答案：解析：思路：建立平面直角坐标系，设出点，通过，得出，将表示为的函数，利用函数的性质求最值.解答过程：以的中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立如图坐标系.则，设，因为，所以得.所以..，所以，所以.所以.当时，取得最小值，最小值为.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，，.（1）若，求；（2）设，，求函数的值域.答案：（1）（2）解析：思路：(1)利用向量平行的坐标条件求出，代入求解即可(2)将转化为关于的二次根式，再配方求解最值即可（1），且，所以，，解得，，，；（2）的值域为.16.已知在中，内角，，对应的边分别是，，，，．（1）求的大小；（2）已知的周长为，求边上的中线的长度．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据正弦定理边化角，再根据三角函数值求角；（2）利用正弦定理和三角形的周长求出外接圆半径和，再利用余弦定理求解.（1），由正弦定理可得，，，，，，解得；（2）由（1）可得，设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，，则周长，解得，则，，由余弦定理可得边上的中线的长度为：.17.某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，）．（1）求的值，并利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的中位数（结果保留两位小数）；（2）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈；①第3，4组分别抽取多少人；②从这5名市民中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率．答案：（1），中位数：（2）应从第3，4组中分别抽取3人，2人；解析：思路：（1）根据直方图面积为1求解a的值，再求中位数即可.（2）先确定从第3，4组中分别抽取3人，2人.再根据古典概型公式求解概率即可.（1）由图可得：，解得；年龄在内的频率为，年龄在内的频率为中位数为：.（2）第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为，所以用分层抽样的方法从第3、4两组市民中抽取5名参加座谈，所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人.记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，，则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，，，，，，，共有10种.其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，，，，，共有7种，所以至少有一人的年龄在内的概率为.18.如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.答案：(1)证明：因为，O是中点，所以，因为平面，平面平面，且平面平面，所以平面．因为平面，所以；(2).解析：思路：(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.解答过程：（1）略（2）[方法一]：通性通法—坐标法如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系，则，设,所以，设为平面的法向量，则由可求得平面的一个法向量为．又平面的一个法向量为，所以，解得．又点C到平面的距离为，所以，所以三棱锥的体积为．[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角如图所示，作，垂足为点G．作，垂足为点F，连结，则．因为平面，所以平面，为二面角的平面角．因为，所以．由已知得，故．又，所以．因为，．[方法三]：三面角公式考虑三面角，记为，为