广东省深圳市2025~2026学年高二下册6月期末考试数学试卷【附解析】

数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.二项式的展开式中的第3项为（）A. B. C. D.2.已知，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.3.已知集合，，则（）A. B. C. D.4.若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.5.设随机变量，则条件概率的值为（）A. B. C. D.6.已知，则的零点所在的区间是（）A. B. C. D.7.有两组数据，，…与，，…，满足，其中，．记与另一组样本数据，，…的样本相关系数为，与同一组数据的样本相关系数为（样本相关系数的公式为：），则下列选项正确的是（）A. B. C. D.8.已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（）A. B.在上单调递减C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列四个条件中，（）是“”的充分不必要条件？A. B. C. D.10.已知函数，则方程的实数根个数可能为（）A.1 B.5 C.6 D.911.已知数列满足，且对任意正整数，以的概率取，以的概率取，各次选择相互独立．记为使得的最小下标（），则（）A. B.，C.当为奇数时， D.对于任意正整数，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，若，则__________．13.甲、乙、丙三个人从中各取1个数，且所选的数字互不相同．甲说：“我选的数不小于5”；乙说：“我选的数比丙大”；丙说：“我们三个数的和是偶数”，已知三人说法均正确，则满足条件的取法有_____种．14.已知导函数为，且对于任意实数，，有，若，则_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.深圳某游乐场开业后，连续统计4天的游玩人数（单位：百人）如下：日期5月10日5月11日5月12日5月13日第天1234游玩人数2.02.63.44.0（1）建立关于的回归直线方程，并预测5月20日来游乐场游玩的人数；（2）为进一步了解游玩时间是否跟性别有关，从游乐场随机抽取100人进行调查，如下表：性别游玩时间合计男103040女253560合计3565100根据小概率值的独立性检验，能否认为游玩时间与性别有关联．附：，，16.已知函数在处取得极小值．（1）求；（2）若关于的不等式在恒成立，求的取值范围．17.已知，，．（1）当时，讨论的最值；（2）设，若在有极值点．（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）证明：．18.某同学连续投篮次，每次投篮命中的概率为，且各次投篮相互独立．（1）当，时，求该同学恰投中2次的概率；（2）已知．（ⅰ）若累计投中3次后停止投篮，设随机变量为停止投篮时投篮的总次数，求的最大值；（ⅱ）若投中1次或者10次均未投中时，停止投篮，设随机变量为停止投篮时投篮的总次数，求．19.已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合．（1）若，判断是否是中的元素，请说明理由；（2）若，求a的取值范围；（3）若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点．

数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.二项式的展开式中的第3项为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：二项式的展开式中的第3项为.2.已知，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用指数函数、对数函数的单调性，分别判定、、与、的大小关系，即可比较三者大小.解答过程：，，，故.3.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由，解得或，即.由，解得，即.所以，即.4.若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先求函数在区间上的最小值，再根据有解条件确定的取值范围即可.解答过程：设，，则不等式在上有解等价于.对任意，有，当且仅当，即时等号成立.因为，故在上的最小值为，所以.故的取值范围为.5.设随机变量，则条件概率的值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据二项分布和条件概率计算即可.解答过程：因为随机变量，所以，，故.6.已知，则的零点所在的区间是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据题意求得的零点为，再由对数函数性质判断即可.解答过程：令的值即的零点．而，即，，而，所以，所以函数的零点就是，．要比较与的大小，等价于比较2与的大小，等价于比较与大小，显然，，．7.有两组数据，，…与，，…，满足，其中，．记与另一组样本数据，，…的样本相关系数为，与同一组数据的样本相关系数为（样本相关系数的公式为：），则下列选项正确的是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用样本相关系数的定义公式，结合与的线性变换关系，化简的表达式后与对比即可得结论．解答过程：，由，，即．8.已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（）A. B.在上单调递减C. D.答案：BD解析：思路：由是定义在上的奇函数，可得,,结合已知条件可得是周期为4的周期函数，进而可以求出的函数表达式为，从而可以对A、B、C、D四个选项作出判断.解答过程：由是定义在上的奇函数，则,,又，则函数关于直线对称，用替换得，，再用替换得，，所以是周期为4的周期函数，选项A，由上可知，，所以选项A错误；选项B，由，，则在上的单调性与区间上的单调性一致，因为函数在上单调递增，又关于直线对称，所以关于对称的区间上，单调性相反，所以在区间上单调递减，即在上单调递减，选项B正确；选项C，对整数，由周期性可得的取值：，后续周期重复，则，即一个周期的和为0，又，所以，，因此，选项C错误；选项D，由，所以，由周期为4，则，因为，代入得，选项D正确.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列四个条件中，（）是“”的充分不必要条件？A. B. C. D.答案：BC解析：思路：利用充分与必要条件概念，结合函数单调性，不等式的性质即可得解．解答过程：对于A，或，则“”是“”的既不充分也不必要条件，故A错误；对于B，，则“”是“”的充分不必要条件，故B正确；对于C，，反之，则不成立；例如取，则，即“”推不出“”．所以“”是“”的充分不必要条件．故C正确；对于D，，但，所以“”推不出“”，“”不是“”的充分条件，故D错误.10.已知函数，则方程的实数根个数可能为（）A.1 B.5 C.6 D.9答案：ABD解析：解答过程：令，则.因为，，当或时，单调递增；当时，单调递减，且，，且的值域为R，图像如图：故当或时均有一个根，当时单调递增且值域为；当时单调递增且值域为；当时有两个根，分别为和，此时；当时有两个根，分别为和，此时；当时有3个根，且单调递减且值域为；故当或时均有一个根，即方程有一个实数根，故A正确；当时有两个根，分别为和，此时方程有5个实数根，故B正确；当时有两个根，分别为和，此时方程也有5个实数根；故当时均有3个根，分别为，，，此时方程有9个实数根，故D正确.11.已知数列满足，且对任意正整数，以的概率取，以的概率取，各次选择相互独立．记为使得的最小下标（），则（）A. B.，C.当为奇数时， D.对于任意正整数，答案：BCD解析：思路：先明确的定义及取值要求，再依据独立事件概率乘法原理和古典概型公式计算.解答过程：在A选项中，表示：前时，且，，若则，因此必须，概率，若，只能是或，均不等于1，又因为，所以只能走的路径为，概率为，总概率，A错误，在B选项中，设第次移动为，各以概率取，则​，且独立，，所以，，故，B正确，在C选项中，为奇数时，表示：次移动中，次，​次，总增量为0，符合条件的路径数为，每条路径概率为，故：，C正确，在D选项中，表示前步中从未等于1，即所有，根据反射原理，符合条件的路径总数为，总路径数为，故：代入验证均成立，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，若，则__________．答案：解析：解答过程：若，则，得；若，则，则（舍），综上，13.甲、乙、丙三个人从中各取1个数，且所选的数字互不相同．甲说：“我选的数不小于5”；乙说：“我选的数比丙大”；丙说：“我们三个数的和是偶数”，已知三人说法均正确，则满足条件的取法有_____种．答案：10解析：解答过程：由题意可知，甲选的数字为5或6，若甲选的数字是5，因为三个数的和是偶数，则乙和丙选的数一个是奇数一个是偶数，且乙选的数比丙选的数大，故共有种取法；若甲选的数是6，因为三个数的和是偶数，则乙和丙选的数同为奇数或者同为偶数，且乙选的数比丙选的数大，故共有种取法；故满足条件的取法有种.14.已知导函数为，且对于任意实数，，有，若，则_________．答案：解析：思路：借助赋值法令，可得，由求导公式可得，代入已知条件求解即可得.解答过程：令，则，故，当为常数时，有，即，令、，则，即，故.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.深圳某游乐场开业后，连续统计4天的游玩人数（单位：百人）如下：日期5月10日5月11日5月12日5月13日第天1234游玩人数2.02.63.44.0（1）建立关于的回归直线方程，并预测5月20日来游乐场游玩的人数；（2）为进一步了解游玩时间是否跟性别有关，从游乐场随机抽取100人进行调查，如下表：性别游玩时间合计男103040女253560合计3565100根据小概率值的独立性检验，能否认为游玩时间与性别有关联．附：，，答案：（1）回归直线方程为，预测5月20日游玩人数为878人（或8.78百人）；（2）依据小概率值的独立性检验，不能认为游玩时间与性别有关联解析：思路：（1）先计算样本均值，代入回归系数公式求得得到回归方程，再代入5月20日对应的值完成预测；（2）代入列联表数据计算卡方统计量，与对应的临界值比较，得出独立性检验结论.（1）由题意得即回归直线方程为；

5月10日对应，故5月20日对应，代入得（百人），即游玩人数为878人.（2）设零假设游玩时间与性别无关联；由列联表得；已知对应的临界值为，由于，没有充分证据推翻，故依据小概率值的独立性检验，不能认为游玩时间与性别有关联.16.已知函数在处取得极小值．（1）求；（2）若关于的不等式在恒成立，求的取值范围．答案：（1）（2）的取值范围是解析：思路：（1）先对三次函数求导，利用极值点处导数为列方程解出的两个候选值，再分别代入导数分析左右单调性，检验是否为极小值点，舍去不符合条件的得到结果；（2）将代入函数，利用区间内分离参数，构造关于的二次函数，通过换元确定新变量取值区间，求出函数在区间上的最大值，由恒成立条件得到的取值范围．（1）的定义域为，则，由函数在处取得极小值，得，解得，，若，则，令，得，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，所以是的极小值点，符合题意，若，则，令，得，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，所以是的极大值点，不符合题意，综上，；（2）由（1）得，，不等式在恒成立，即不等式在恒成立，令，，由，得，则，故，所以时，取最大值，所以，即的取值范围是．17.已知，，．（1）当时，讨论的最值；（2）设，若在有极值点．（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）证明：．答案：（1）当时，在上无最值；当时，在上的最小值为，无最大值.（2）（ⅰ）；（ⅱ）方法一：因为在上有唯一零点，在上单调递增，故当时，，即；时，，即，故在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点.

由上分析，，又，故；方法二：因为是在上的唯一零点，所以，则，令，则（），所以在上递减，所以，即，所以.解析：思路：（1）先求出函数的定义域，再求导后讨论导数的正负即可；（2）（ⅰ）将问题转化为导函数的变号零点，结合零点存在定理即可求解；（ⅱ）方法一：由（ⅰ）可知是的极小值点，则，结合即可证明；方法二：由（ⅰ）可知，然后构造函数，结合函数的单调性可证得结论.（1）由题意知的定义域为，当时，，，

当时，，则在上单调递减，

无最值；

当时，由，解得；由，解得．即在上单调递增，上单调递减，则的最小值为，无最大值.综上所述，当时，在上无最值；当时，的最小值为，无最大值.（2）（ⅰ）由题意得，所以的定义域为，在上有极值点等价于在上有变号零点．令，即在上有变号零点．当时，显然在区间上恒成立，无变号零点，不满足题意；

当时，在区间上恒成立，所以在上单调递增.

令，解得，则的取值范围为.（ⅱ）略18.某同学连续投篮次，每次投篮命中的概率为，且各次投篮相互独立．（1）当，时，求该同学恰投中2次的概率；（2）已知．（ⅰ）若累计投中3次后停止投篮，设随机变量为停止投篮时投篮的总次数，求的最大值；（ⅱ）若投中1次或者10次均未投中时，停止投篮，设随机变量为停止投篮时投篮的总次数，求．答案：（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）解析：思路：（1）根据独立重复试验的概率公式，直接代入相应的参数计算.（2）（ⅰ）先根据题意得出的表达式，再通过分析其性质求出最大值.（ⅱ）先确定随机变量的所有可能取值，再分别计算每个取值的概率，最后根据数学期望的公式计算.（1）由题意可得，时该同学恰投中次的试验是4次独立重复试验，服从二项分布，所以恰投中2次的概率为：.（2）（ⅰ）若（停止投篮时总次数为），说明第次必命中，前次恰好命中2次，，因此：，设，比较相邻项大小得：，​当时，，数列递增，当时，，，当时，，数列递减，因此​的最大值为，即的最大值为.（ⅱ）由题意可得：的可能取值为，对：表示前次都未命中，第次命中，故，表示前9次都未命中，无论第10次是否命中都停止，故，所以期望，设，则：，，两式相减可得：，利用等比数列求和可得：，化简可得：，又因为，因此：

.19.已知函数的定义