广东省深圳市第二高级中学2025~2026学年高二下册7月期末考试数学试卷【附解析】

数学满分：150分一、单选题1.若集合，则（

）A. B. C. D.2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.若函数为奇函数，则（）A. B. C. D.14.在中，角的对边分别为，若，，则（

）A.1 B.2 C.3 D.5.函数在处取得极大值，则的单调增区间为（）A. B.C. D.6.现安排甲、乙、丙、丁、戊位志愿者到三个社区做志愿服务工作，每个社区至少安排人，每位志愿者只到一个社区，其中甲、乙安排在同一个社区，则不同的安排方法有（

）种A.18 B.36 C.45 D.967.若定义在实数集上的偶函数满足和对任意恒成立，则的值为（

）A.4 B.3 C.2 D.18.设椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点，过的直线与交于两点，若，则的离心率为（）A. B. C. D.二、多选题9.下列说法中正确的是（）A.根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据对应的的独立性检验，结论为：变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005.B.在做回归分析时，残差图中残差比较均匀分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示回归效果越差.C.，当不变时，越大，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖.D.已知变量、线性相关，由样本数据算得线性回归方程式，且由样本数据算得，，则.10.已知数列满足，，设的前项和为，则下列结论中正确的是（）A. B.数列是等比数列C.数列中存在最大项 D.数列中存在最小项11.如图，在棱长为2的正四面体中，分别为棱的中点，为线段的中点，球的球面正好经过点，则下列结论中正确的是（）A.B.球的体积与四面体外接球的体积之比为C.直线与平面所成角的正弦值为D.球被平面截得的截面面积为三、填空题12.已知，则展开式中的系数为__________．13.现有4道四选一的单选题，一名学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路；有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好随机猜一个答案．该学生从这4道题中随机选择2道题作答，则2道题都答对的概率为__________．14.已知是函数图象上任意一点．若点的坐标满足：，则的最小值为______．四、解答题15.已知数列为公差不为0的等差数列，前项和为，，成等比数列．（1）求的通项公式；（2）设，数列的前n项和记为，证明：．16.是由中国杭州的公司开发的人工智能模型，其技术在多领域有着普惠应用．为提高的应用能力，某公司组织全体员工参加培训．培训结束之后，公司举行了一次专业知识比赛，比赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛预赛从8道题中随机抽取4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰．（1）若这8道题中甲能答对其中5道，计算甲进入决赛的概率；（2）已知甲进入了决赛，决赛需要回答3道题目，若全部答对则获得一等奖，奖励300元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励150元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励．若甲答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立，设甲获得奖金为，求的分布列及数学期望．17.如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点.（1）证明：平面平面；（2）若直线与平面所成的角的余弦值为，求点到平面的距离.18.已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线的斜率；（2）当时，讨论函数的单调性；（3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.19.已知曲线．（1）若，求曲线的离心率；（2）若曲线的左，右顶点为，是上第一象限上动点，．（ⅰ）若，求点的坐标；（ⅱ）设直线与定直线的交点为，直线与曲线的另一个交点为，求的最小值．

数学满分：150分一、单选题1.若集合，则（

）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：，故.2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：根据题意，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.解答过程：由可得，故充分性满足；由不一定得到，比如，故必要性不满足，所以“”是“”的充分不必要条件.故选:A3.若函数为奇函数，则（）A. B. C. D.1答案：C解析：解答过程：为奇函数，，解得，时，，，符合题意，．4.在中，角的对边分别为，若，，则（

）A.1 B.2 C.3 D.答案：D解析：思路：应用正弦定理计算求解.解答过程：由正弦定理得.5.函数在处取得极大值，则的单调增区间为（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：先根据题意先求出，再对函数进行求导求其单调增区间.解答过程：因为，，因为在处取得极大值，所以，解得，故，定义域为，，当时，，单调递增当时，，单调递减；当时，，单调递增；故的单调增区间为.故选：B.6.现安排甲、乙、丙、丁、戊位志愿者到三个社区做志愿服务工作，每个社区至少安排人，每位志愿者只到一个社区，其中甲、乙安排在同一个社区，则不同的安排方法有（

）种A.18 B.36 C.45 D.96答案：B解析：思路：根据捆绑法、分步乘法计数原理及排列组合知识求解即可.解答过程：把甲、乙看作一个整体，相当于将4个元素分成3组，每组至少1个元素，分组方式只能是2,1,1.则分组的方法数为：.将分好的3组全排列，分配到3个社区，方法数为.故总方法数为.7.若定义在实数集上的偶函数满足和对任意恒成立，则的值为（

）A.4 B.3 C.2 D.1答案：D解析：思路：由确定周期，即可求解.解答过程：因为，所以，即函数的周期为4，故.当时，，又，所以,即，故选项D正确.8.设椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点，过的直线与交于两点，若，则的离心率为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据面积关系可得，从而得到，利用结合余弦定理化简即可求解.解答过程：因为，所以则，由于所以，根据椭圆的定义可得，在中，，在中，，因为，所以，即，化简得：，即，所以椭圆的离心率为二、多选题9.下列说法中正确的是（）A.根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据对应的的独立性检验，结论为：变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005.B.在做回归分析时，残差图中残差比较均匀分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示回归效果越差.C.，当不变时，越大，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖.D.已知变量、线性相关，由样本数据算得线性回归方程式，且由样本数据算得，，则.答案：C解析：思路：根据独立性检验、残差分析、正态分布、线性回归方程相关知识进行分析，得出正确答案.解答过程：对A，，所以结论为变量与独立，这个结论犯错误的概率超过0.005，A选项错误；对B，在做回归分析时，残差图中残差比较均匀分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示回归效果越好，B选项错误；对C，，当不变时，越大，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖，C选项正确；对D，由样本数据算得线性回归方程式，且由样本数据算得，，则，D选项错误.故选：C.10.已知数列满足，，设的前项和为，则下列结论中正确的是（）A. B.数列是等比数列C.数列中存在最大项 D.数列中存在最小项答案：ABD解析：思路：解法1：将代入可得A；构造并计算可得B；结合B中所得可求出数列的通项公式，再利用作差法计算可得数列单调性，即可得C、D.解法2：由可得数列是等比数列及其通项公式，即可得数列的通项公式，即可得A、B；借助作商法计算可得数列单调性，即可得C、D.解答过程：解法1：当时，可得，又，所以，A正确；因为，所以，又，所以数列是以4为首项，4为公比的等比数列，B正确；由B选项分析可得，所以，所以恒成立，所以，所以数列为单调递增数列，所以中不存在最大项，C错误；因为数列为单调递增数列，所以，所以对任意，D正确.解法2：因为，所以，又，所以数列是以4为首项，4为公比的等比数列，所以，所以，所以，A，B正确；因为，且，所以，所以数列为单调递增数列，所以中不存在最大项，C错误；因为，所以对任意，D正确.11.如图，在棱长为2的正四面体中，分别为棱的中点，为线段的中点，球的球面正好经过点，则下列结论中正确的是（）A.B.球的体积与四面体外接球的体积之比为C.直线与平面所成角的正弦值为D.球被平面截得的截面面积为答案：BC解析：解答过程：如图：对A：连接，，在棱长为2的正四面体中有，因为为中点，所以，，又平面，且，则平面，因为平面，所以，因为，为棱的中点，所以，所以在中，，产生矛盾，故假设不成立，即与不垂直，故A错误；对B：利用结论：若正四面体的棱长为，则该四面体的外接球半径为，内切球半径为.在中，，因球的球面正好经过点，则球的半径为，四面体的外接球半径为，所以球的体积与四面体外接球的体积之比，故B正确；对C：连接，取正的中心，则在上，连接，则平面，作于点，则，为中点，则平面为直线与平面所成的角，在中，，，所以，故C正确；对D：因为点到平面的距离为，所以球被平面截得的截面圆半径为，所以截面面积为，故D错误.三、填空题12.已知，则展开式中的系数为__________．答案：解析：思路：写出二项式的通项，令的次数为，即可求出展开式中的系数.解答过程：由题意，在中，通项，当即时，，∴展开式中的系数为.13.现有4道四选一的单选题，一名学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路；有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好随机猜一个答案．该学生从这4道题中随机选择2道题作答，则2道题都答对的概率为__________．答案：解析：思路：由全概率公式求解即可.解答过程：.14.已知是函数图象上任意一点．若点的坐标满足：，则的最小值为______．答案：解析：思路：利用切线不等式和不等式性质可得。结合条件可推得，从而可得点在直线上运动，设与平行的直线与相切于点，利用求导求得切点，结合图形计算出点到直线的距离即可.解答过程：易证，（）(后续提供证明)，所以，，由不等式的性质知，当且仅当时取等号，结合已知可得，此时，即点在直线上运动.设与平行的直线与相切于点，令得，故切点为，由图知其到直线的距离，即为的最小值．下证：，（）.证明：设，则，当时，，当时，，故函数在上单调递减，在上单调递增.故，即得证.又设，则，当时，，当时，，故函数在上单调递增，在上单调递减.故，即得证.故答案为：.四、解答题15.已知数列为公差不为0的等差数列，前项和为，，成等比数列．（1）求的通项公式；（2）设，数列的前n项和记为，证明：．答案：（1）（2）因为，则，可得，又因为，可知数列为递增数列，则，所以．解析：思路：（1）根据等比中项可得，结合等差数列通项公式运算求解即可得，进而可得的通项公式；（2）利用等差数列求和公式可得，利用裂项相消法可得，进而分析证明.（1）设等差数列的公差为，因为成等比数列，则，即，整理得，解得或（舍去），所以．（2）略16.是由中国杭州的公司开发的人工智能模型，其技术在多领域有着普惠应用．为提高的应用能力，某公司组织全体员工参加培训．培训结束之后，公司举行了一次专业知识比赛，比赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛预赛从8道题中随机抽取4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰．（1）若这8道题中甲能答对其中5道，计算甲进入决赛的概率；（2）已知甲进入了决赛，决赛需要回答3道题目，若全部答对则获得一等奖，奖励300元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励150元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励．若甲答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立，设甲获得奖金为，求的分布列及数学期望．答案：（1）（2）的分布列如下：数学期望为元．解析：思路：（1）由题知的取值为，而甲进入决赛有可能答3或4道题，利用组合数计算概率即可.（2）由题可知的取值为，再利用二项分布计算概率，写出分布列，计算期望即可.（1）记为甲在预赛答对的题数，则的取值为，，，记甲进入决赛为事件，则甲进入决赛的概率为．（2）由题可知的取值为，所以，，，，所以的分布列如下：（元），即甲获得奖金的数学期望为元．17.如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点.（1）证明：平面平面；（2）若直线与平面所成的角的余弦值为，求点到平面的距离.答案：（1）证明见解析；（2）解析：思路：（1）由条件先证明平面，再利用面面垂直的判定定理证明；（2）建立空间直角坐标系，利用坐标运算求点到平面的距离.（1）因为底面，平面，所以．因为为正方形，所以，又因为，平面，平面，所以平面．因为平面，所以．因为，E为线段PB的中点，所以，又因为，平面，平面，所以平面．又因为平面，所以平面平面．（2）因为底面，，以A为坐标原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则，易知是平面的法向量设，则，所以，，所以即，得，所以，设为平面的法向量，则即，令，则，，所以平面的法向量，又因为所以点P到平面的距离为所以点P到平面的距离为．18.已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线的斜率；（2）当时，讨论函数的单调性；（3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.答案：（1）（2）当时，在上单调递增；当时，在、上单调递增，在上单调递减，其中，，.（3）解析：思路：（1）根据导数的几何意义及初等函数的导数求解即可.（2）根据导数与单调性的关系，结合含参数一元二次不等式的求解方法求解即可.（3）通过分离参数，结合导数与单调性及最值的关系求解即可.（1）当时，.求导得，.所以曲线在点处的切线的斜率为.（2）的定义域为.求导得.令，则，即.令，因为，则