广东省阳江市2025~2026学年高一下册7月期末质量监测数学试卷【附解析】

数学本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，有且只有一个是正确的．1.在复平面内，复数所对应的点的坐标为（）A. B. C. D.2.在中，点满足，设，，则（）A. B. C. D.3.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知，是两条直线，，是两个平面，下列命题正确的是（）A.若，，，，则 B.若，，则C.若，，，则 D.若，，，则5.一组数据，，…，的平均数和方差分别为3和1，则，，…，平均数和方差分别为（）A.6，2 B.7，4 C.6，5 D.7，36.中国古代四大名楼之一的黄鹤楼，坐落在长江南岸．如图，某同学为测量黄鹤楼高度，在黄鹤楼正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则黄鹤楼高度约为（）A. B. C. D.7.已知正三棱台，，侧棱为4，则与底面所成角为（）A. B. C. D.8.已知函数，将图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．9.已知向量，，则下列结论正确的是（）A. B.C.与的夹角为 D.对，的最小值为110.在复数范围内，关于的实系数一元二次方程的两根分别为，，其中，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.11.声音是由物体振动产生的声波．纯音的数学模型是函数，我们日常听到的声音通常由多个纯音叠加而成，称为复合音，其数学模型为：，记（），则（）A.的最小正周期为 B.在区间上恰有3个零点C. D.的图象关于点（）中心对称三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.阳江市气象站记录了该市某一周的日最高气温（）：，则这组数据的第百分位数为__________．13.已知，，则__________．14.在矩形纸片中，，，，，，分别是四边的中点．现将它通过翻折后围成一个正四面体（围成的正四面体的表面中，纸片无任何重叠，如下图所示）．若一个小球可以在正四面体内任意滚动，且小球与正四面体所有接触点形成的轨迹的图形面积为，则该小球半径的值为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某幼儿园根据部分同年龄段儿童的身高数据绘制了如图所示的频率分布直方图，其中身高（单位：cm）的变化范围是，样本数据分组为，，，，．（1）已知样本中身高在的人数是60，求出样本容量的数值；（2）根据频率分布直方图提供的数据，现用分层抽样的方法从身高在，，内的儿童中共抽出28名儿童参加活动，求三个组内分别要抽取的儿童数．16.已知向量，，．（1）若，，三点共线，求实数的值；（2）若为直角，求实数的值．17.如图所示，在直三棱柱中，，是中点．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离．18.已知，，分别为三个内角，，的对边，满足．（1）求；（2）若，且面积为，求的周长；（3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围．19.已知函数，．（1）若，，求的值域；（2）若，求在上的所有零点；（3）若对于满足的所有，，都存在使得，求正实数的最小值．

数学本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，有且只有一个是正确的．1.在复平面内，复数所对应的点的坐标为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：复数，对应复平面内的点坐标为．2.在中，点满足，设，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：．3.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：由三角函数的基本关系及充分条件、必要条件的定义判断即可.解答过程：判断充分性：若，由得，，所以.因此“”能推出“”，充分性成立；判断必要性：若，由得，，所以.因此“”不能推出“”，必要性不成立.综上，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4.已知，是两条直线，，是两个平面，下列命题正确的是（）A.若，，，，则 B.若，，则C.若，，，则 D.若，，，则答案：D解析：解答过程：对于A：若，，，，当时，则；当时，此时或与相交，故A错误；对于B：若，，则或，故B错误；对于C：如图，，，，但，故C错误；对于D：由，，得，又，所以，故D正确.5.一组数据，，…，的平均数和方差分别为3和1，则，，…，平均数和方差分别为（）A.6，2 B.7，4 C.6，5 D.7，3答案：B解析：解答过程：因为，所以；因为，所以.6.中国古代四大名楼之一的黄鹤楼，坐落在长江南岸．如图，某同学为测量黄鹤楼高度，在黄鹤楼正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则黄鹤楼高度约为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：首先由条件计算出的长度，再计算出和的度数，之后在中，利用正弦定理计算出的长度，最后即可计算出的长度.解答过程：在中，，在中，，，因此，在中，根据正弦定理，，，在中，.7.已知正三棱台，，侧棱为4，则与底面所成角为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：分别取正三棱台上下底面正三角形的中心、，连接、、，过点作，垂足为.∵正三棱台上下底面中心连线为棱台的高，∴底面，故，又正三棱台上下底面平行，故，结合，∴四边形为矩形，因此，且底面，∴即为侧棱与底面所成的角.∵正三角形中心（重心）到顶点的距离为其高的，下底面正三角形的高为，故，上底面正三角形的高为，故，∴.在中，，由勾股定理得，∴，又正三棱台的侧棱与底面所成角范围为，故，即所求线面角为.8.已知函数，将图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据三角函数的平移变换及伸缩变换得到的解析式，结合正弦型函数的性质求解即可.解答过程：图象上点向右平移个单位长度，得到，将所得图象横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到.因为，所以，所以.因为，所以.由题意知，若，总存在唯一实数，使得，即，所以，解得.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．9.已知向量，，则下列结论正确的是（）A. B.C.与的夹角为 D.对，的最小值为1答案：BD解析：解答过程：∵由题意得，，∴，故A错误.∵，∴，∴，故B正确.∵，设与的夹角为，，∴，解得，故C错误.∵，∴，∵，当且仅当时取等号，∴的最小值为，故D正确.10.在复数范围内，关于的实系数一元二次方程的两根分别为，，其中，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.答案：AC解析：思路：根据题意，得到，结合复数的定义，一元二次方程的韦达定理，以及复数的运算法则，逐项分析计算，即可求解.解答过程：由是实系数一元二次方程的一个根，可得也是方程的一个根，对于A，由，，可得，所以A正确；对于B，由韦达定理，可得，所以，所以B不正确；对于C，由，可得，所以，所以C正确；对于D，由，可得，所以，所以D不正确.11.声音是由物体振动产生的声波．纯音的数学模型是函数，我们日常听到的声音通常由多个纯音叠加而成，称为复合音，其数学模型为：，记（），则（）A.的最小正周期为 B.在区间上恰有3个零点C. D.的图象关于点（）中心对称答案：BCD解析：思路：先求出各分量的周期，整体周期是各分量周期的最小公倍数，判断选项A；对进行因式分解，把零点转化为解三角方程，结合指定区间求出零点个数，判断选项B；利用三角函数的性质放缩不等式，进而结合等号条件得出结论，判断选项C；根据，判断选项D．解答过程：，其中周期为，的周期为，故整体最小正周期为，故A错误；，零点由或得：，在区间上共有3个，故B正确；，等号需满足，不存在这样的使得等式成立，故无解，故，故C正确；

因为所以，图象关于点中心对称，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.阳江市气象站记录了该市某一周的日最高气温（）：，则这组数据的第百分位数为__________．答案：解析：解答过程：数据升序排列为：，，第百分位数的位置为，向上取整为6，即为该组数据的第6个，故这组数据的第百分位数为．13.已知，，则__________．答案：##解析：思路：利用平方差公式得到，然后利用同角三角函数基本关系计算即可.解答过程：，因为，所以，，因为，所以，所以.14.在矩形纸片中，，，，，，分别是四边的中点．现将它通过翻折后围成一个正四面体（围成的正四面体的表面中，纸片无任何重叠，如下图所示）．若一个小球可以在正四面体内任意滚动，且小球与正四面体所有接触点形成的轨迹的图形面积为，则该小球半径的值为__________．答案：##解析：思路：根据题意得到小球球心形成的轨迹为一个小正四面体，从而根据正四面体的表面积求出其棱长，通过小球半径与正四面体高的关系即可计算出小球半径．解答过程：由小球可以在正四面体内任意滚动，则小球与正四面体每个面的所有接触点形成的轨迹为一正三角形，且该正三角形可视为小球球心在正四面体对应面上的投影，因此小球任意滚动时，小球球心形成的轨迹为一个小正四面体，该小正四面体的面与正四面体的对应面平行，距离为半径，设其棱长为，则小球球心在正四面体对应面上的投影总面积为，解得，取中点，连接，，在正四面体中，，则，设小球与顶点的正四面体的个面都相切时的球心为，则点在平面上的投影为，则为的中心，则在线段上，且，，令点在平面上的投影为，则在线段上，设与平面平行的小正四面体的面交于点，连接，则，又由小球球心形成的轨迹为一个小正四面体，且其棱长为，则侧棱在底面正三角形重心连线上的水平投影长度为，则，由，则，即，则，即.所以该小球半径为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某幼儿园根据部分同年龄段儿童的身高数据绘制了如图所示的频率分布直方图，其中身高（单位：cm）的变化范围是，样本数据分组为，，，，．（1）已知样本中身高在的人数是60，求出样本容量的数值；（2）根据频率分布直方图提供的数据，现用分层抽样的方法从身高在，，内的儿童中共抽出28名儿童参加活动，求三个组内分别要抽取的儿童数．答案：（1）（2），，解析：思路：（1）根据频率分布直方图，可得身高在的频率，进而求得样本容量；（2）由频率分布直方图性质，列出方程，求得，求得身高在，，内的总人数，得出抽样比，进而得到三个组内分别要抽取的儿童数.（1）解：由频率分布直方图，可得身高在的频率为：，因为身高在人数是，所以样本容量.（2）解：由频率分布直方图可知，组距为，根据所有小矩形的面积之和为，所以，解得身高在，，内的频率分别为：，，，这三组的人数分别为，这三组的总人数为，故抽样比为，则三个组内分别要抽取的儿童数为第一组（名），第二组（名），第三组（名），所以三个组内分别要抽取的儿童数为名.16.已知向量，，．（1）若，，三点共线，求实数的值；（2）若为直角，求实数的值．答案：（1）1（2）解析：思路：（1）利用向量加减法求出相关向量，再利用向量共线的性质构造方程求解；（2）利用向量加减法求出相关向量，再利用向量垂直的性质构造方程求解．（1）已知向量，所以，，由三点共线，得，所以，解得．（2）由题设知，，因为为直角，所以，解得．17.如图所示，在直三棱柱中，，是中点．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离．答案：（1）在三棱柱中，连接交于，为矩形，所以是的中点，又是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）解析：思路：（1）借助矩形对角线互相平分得到中点，结合为中点，利用三角形中位线证，再用线面平行判定定理完成证明；（2）由线面平行将到平面的距离转化为到平面的距离，用等体积法，分别算出两个三棱锥体积后列方程求解距离．（1）略（2）因为平面，所以点到平面的距离等于点到平面距离，设为，所以，在直三棱柱中，因为，是中点，所以，在中，，，，在中，，，，因为平面，平面，所以，因为平面，且，所以平面，又平面，所以，所以，又，所以，解得，所以点到平面的距离为．18.已知，，分别为三个内角，，的对边，满足．（1）求；（2）若，且面积为，求的周长；（3）若是锐角三角