广东省珠海市2025~2026学年高二下册期末阶段性教学质量检测数学试卷【附解析】

数学满分：150分时限：120分钟第Ⅰ卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.数列满足，，则等于（）A. B. C. D.2.已知函数，则（）A. B.C. D.3.篮球作为三大球类运动之一，深受大众喜爱．据统计，某企业两个部门中喜欢篮球运动的员工分别占本部门总人数的40%，50%，且这两个部门的员工人数之比为，现从这两个部门中随机抽取一位员工，则该员工喜欢篮球的概率为（）A.0.44 B.0.46 C.0.54 D.0.704.对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是（）A. B. C. D.5.为庆祝端午节，某班级组织了一台晚会，有3个唱歌节目、2个小品节目和1个戏曲节目，要求3个唱歌节目互不相邻，则这台晚会节目的不同安排方法种数为（）A. B. C. D.6.已知随机变量的概率分布如下表，则（）1230.30.3A.0.6 B.2 C.2.4 D.57.小明研究温差（单位：℃）与本单位当天新增感冒人数（单位：人）的关系，他记录了5天的数据：由表中数据求得温差与新增感冒人数满足经验回归方程，则下列结论正确的是（）345671419252834A.与负相关 B.经验回归直线经过点C. D.当时，残差为8.某班有4位同学参赛，每人从《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同，比赛时有以下两种方案：（1）这四位同学从这4本书中有放回随机抽取1本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为X，（2）这四位同学从这4本书中不放回随机抽取一本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为Y，则有（）A. B.C. D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全得部分分，有选错得0分．）9.在的展开式中，下列说法正确的是（）A.常数项为1120 B.第4项二项式系数最大C.所有项的二项式系数和为 D.所有项的系数和为10.已知等差数列的前项和为，且，，，则（）A.数列是递增数列 B.C.当时，最大 D.当时，的最大值为1511.设，且．若随机变量满足，则下列说法正确的是（）（附：若随机变量，则）A. B.C. D.第Ⅱ卷三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.数列满足，，则数列的前8项和______.13.已知函数，则______14.某工厂统计了甲产品在2024年7月至12月的销售量（单位：万件），得到以下数据：月份789101112销售量111214151820根据表中所给数据，可得相关系数__________．（结果保留2位小数）（参考公式：相关系数，参考数据：）四、解答题（本题共5小题，共77分．解答过程中应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数.求：（1）曲线在点处的切线方程；（2）函数在区间上的最值.16.已知数列的前项和为，数列是等差数列，且．（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和．17.在推进文化强国建设与中国式现代化的时代背景下，全民阅读已确立为国家文化战略，纳入法治保障体系，成为提升国民素养、厚植民族精神的基础性、战略性工程.为探究中学生阅读习惯与学业成绩是否存在关联，某校抽取成绩优良、成绩一般的同学各100名进行调查统计.记事件A=“成绩优良”，B=“有固定阅读习惯”，据统计，.（1）补全列联表，依据小概率值的独立性检验，能否推断阅读习惯与学业成绩水平有关？有固定阅读习惯无固定阅读习惯合计成绩优良100成绩一般100合计（2）为宣传全民阅读，从上述“有固定阅读习惯”的同学中以学业成绩水平按比例分层抽样，组建6人宣传小组.每次宣传时，需从宣传小组中选3人进行分享，记参与分享的同学中成绩优良的人数为，求的分布列与期望.参考公式与数据：，其中.0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818.设．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．19.已知函数（）．（1）若在处取得极值，求的值；（2）求函数的单调区间；（3）设，若，，恒成立，求实数的取值范围．

数学满分：150分时限：120分钟第Ⅰ卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.数列满足，，则等于（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由数列的递推公式和首项，依次代入即可计算求解.解答过程：由题意得，.2.已知函数，则（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：函数，则.3.篮球作为三大球类运动之一，深受大众喜爱．据统计，某企业两个部门中喜欢篮球运动的员工分别占本部门总人数的40%，50%，且这两个部门的员工人数之比为，现从这两个部门中随机抽取一位员工，则该员工喜欢篮球的概率为（）A.0.44 B.0.46 C.0.54 D.0.70答案：B解析：解答过程：设两个部门分别为部门1、部门2，由人数比为，可得抽到部门1的概率为，抽到部门2的概率为，已知部门1员工喜欢篮球的概率为，部门2员工喜欢篮球的概率为，根据全概率公式，从这两个部门中随机抽取一人，其喜欢篮球的概率为：.4.对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据给定的四组数据的散点图，结合相关系数的含义，即可求解.解答过程：由给定的四组数据的散点图可以看成：图（1）和图（3）是正相关，且图（1）中的数据更加集中，更接近1，所以；图（2）和图（4）是负相关，且图（2）中的数据更加集中，更接近，所以，综上可得，．5.为庆祝端午节，某班级组织了一台晚会，有3个唱歌节目、2个小品节目和1个戏曲节目，要求3个唱歌节目互不相邻，则这台晚会节目的不同安排方法种数为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：先排列2个小品和1个戏曲节目，排列数为：，3个非唱歌节目排好后，形成4个空位，将3个唱歌节目插入4个空位中，排列数为：，故总安排方法数为：．6.已知随机变量的概率分布如下表，则（）1230.30.3A.0.6 B.2 C.2.4 D.5答案：C解析：思路：先求出数学期望及方差，再应用方差性质计算求解.解答过程：根据概率分布得，解得，计算得，，根据方差性质得.7.小明研究温差（单位：℃）与本单位当天新增感冒人数（单位：人）的关系，他记录了5天的数据：由表中数据求得温差与新增感冒人数满足经验回归方程，则下列结论正确的是（）345671419252834A.与负相关 B.经验回归直线经过点C. D.当时，残差为答案：D解析：思路：观察数据或者求得，可知正相关，可判断A；利用样本中心点在回归直线上，可以判定B；将样本中心点坐标代入回归直线方程,可求出的估计值，可判断C；结合C，可求得预测值，进而计算残差，从而判断D.解答过程：对于A：观察数据，增大时也增大，说明与正相关，故A错误；对于B：易得，，样本中心点为，因为回归直线方程经过样本中心点，所以不可能经过.故B错误；对于C：将样本中心点坐标代入回归直线方程得，，则，故C错误；对于D：由C可知，计算预测值，实际值，残差.故D正确.8.某班有4位同学参赛，每人从《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同，比赛时有以下两种方案：（1）这四位同学从这4本书中有放回随机抽取1本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为X，（2）这四位同学从这4本书中不放回随机抽取一本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为Y，则有（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：由题可知，结合二项分布的数学期望公式与方差公式即可求与；根据排列组合知识和古典概型可知Y取0，1，2，4时的概率，再由公式即可求与，比较大小即可求解.解答过程：由题可知方案（1）中这四位同学抽到自己准备的书的概率均为，易知，由二项分布的数学期望公式与方差公式可知：，.由题可知Y的所有可能取值为0，1，2，4，，，，，，，.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全得部分分，有选错得0分．）9.在的展开式中，下列说法正确的是（）A.常数项为1120 B.第4项二项式系数最大C.所有项的二项式系数和为 D.所有项的系数和为答案：ACD解析：解答过程：对于A，展开式的常数项为，A正确；对于B，展开式共9项，第5项的二项式系数最大，B错误；对于C，所有项的二项式系数和为，C正确；对于D，取，得所有项的系数和为，D正确.10.已知等差数列的前项和为，且，，，则（）A.数列是递增数列 B.C.当时，最大 D.当时，的最大值为15答案：BC解析：思路：利用等差数列的性质可知，进而得出，，依次判断各选项即可得出结果.解答过程：对于A，等差数列中，因为，，，，所以，公差，数列是递减数列，故A错误；对于B，由于，所以，故B正确；对于C，由于，数列是递减数列，所以当时，最大，故C正确；对于D，，，因此，当时，的最大值为，故D错误.11.设，且．若随机变量满足，则下列说法正确的是（）（附：若随机变量，则）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：利用正态分布和二项分布的性质求解.解答过程：选项A，，则，，则，，A正确.选项B，，则，，和选项中不符，B错误.选项C，，，C正确.选项D，，，，，因为，，所以，因为，所以，所以，D正确．第Ⅱ卷三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.数列满足，，则数列的前8项和______.答案：502解析：解答过程：因为，所以，易知，故，又因为，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以数列的通项公式为，则，所以数列的前8项和.13.已知函数，则______答案：解析：思路：求导得，再求得，然后可得并计算即可．解答过程：，，解得，则，．14.某工厂统计了甲产品在2024年7月至12月的销售量（单位：万件），得到以下数据：月份789101112销售量111214151820根据表中所给数据，可得相关系数__________．（结果保留2位小数）（参考公式：相关系数，参考数据：）答案：解析：思路：先计算样本均值，再根据相关系数公式分别计算分子、分母后代入求值即可.解答过程：由题意得，，，，，故.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答过程中应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数.求：（1）曲线在点处的切线方程；（2）函数在区间上的最值.答案：（1）（2）最大值为1，最小值为.解析：思路：（1）求出函数的导数，结合切点和斜率求出切线方程；（2）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的极值，最值.（1），则，，切点是，故切线方程是，即；（2）令，解得：或，，，在的变化如下：02300单调递增极大值1单调递减极小值单调递增1在和上单调递增，在上单调递减，最大值是，又，，在的最大值是，在在最小值是.16.已知数列的前项和为，数列是等差数列，且．（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和．答案：（1），（2）解析：（1）当时，，当时，，经检验，时符合上式，所以，．由上可知，，设的公差为，则，所以，，即．（2）由(1)得，则数列的前项和为：，，，，所以，数列的前项和．17.在推进文化强国建设与中国式现代化的时代背景下，全民阅读已确立为国家文化战略，纳入法治保障体系，成为提升国民素养、厚植民族精神的基础性、战略性工程.为探究中学生阅读习惯与学业成绩是否存在关联，某校抽取成绩优良、成绩一般的同学各100名进行调查统计.记事件A=“成绩优良”，B=“有固定阅读习惯”，据统计，.（1）补全列联表，依据小概率值的独立性检验，能否推断阅读习惯与学业成绩水平有关？有固定阅读习惯无固定阅读习惯合计成绩优良100成绩一般100合计（2）为宣传全民阅读，从上述“有固定阅读习惯”的同学中以学业成绩水平按比例分层抽样，组建6人宣传小组.每次宣传时，需从宣传小组中选3人进行分享，记参与分享的同学中成绩优良的人数为，求的分布列与期望.参考公式与数据：，其中.0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828答案：（1）补全列联表如下：有固定阅读习惯无固定阅读习惯合计成绩优良8020100成绩一般4060100合计12080200依据小概率值的独立性检验，可以推断阅读习惯与学业成绩水平有关.（2）的分布列为：123期望.解析：思路：（1）根据条件概率公式，结合已知数据计算可完成列联表，然后计算卡方，对照临界值表即可得出结论；（2）利用超几何分布概率公式求出概率和分布列，然后可得期望.（1）由题可知，，，所以，得，又，所以，得，结合已知可得列联表：

有固定阅读习惯无固定阅读习惯合计成绩优良8020100成绩一般4060100合计12080200零假设阅读习惯与学业成绩水平没有关系.因为，所以，依据小概率值的独立性检验，没有充足的证据证明假设成立，即阅读习惯与学业成绩水平有关系，且该结论犯错误的概率不超过.（2）有固定阅读习惯中成绩优良的有人，成绩一般的有人，所以组建的6人宣传小组中，成绩优良的有人，成绩一般的有人，则的可能取值为：，，，，所以的分布列为：123期望.18.设．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）借助赋值法，令代入计算即可得；（2）结合（1）中所得，再令代入计算即可得；（3）借助二项式的展开式的通项公式计算可得每项系数的正负，结合（2）中所得即可得解.（1）令，则有，即；（2）令，则有，即，又，则；（3）对，有，且，则