甘肃省兰州市兰州新区片区联考2025~2026学年高二下册7月期末检测数学试卷【附解析】

数学本试卷共19题，满分150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知，若，则（）A.1 B. C. D.2.设，随机变量的分布列为：589则（）A. B. C. D.3.若随机变量服从二项分布，则的值为（）A. B. C. D.4.设两个正态分布和的密度函数图像如图所示．则有A.B.C.D.5.已知随机变量，则（）A. B. C.4 D.76.已知向量，，，若共面，则x等于（）A. B.1 C. D.7.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（）A.两人都中靶的概率为0.12 B.两人都不中靶的概率为0.42C.恰有一人中靶的概率为0.46 D.至少一人中靶的概率为0.748.在平行六面体中，M，N分别是线段，上的点，且，，若，，，则下列说法中正确的是（）A.与的夹角为45° B.C.线段的长度为1 D.直线与所成的角为60°二、多项选择题（每题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，共18分）9.在空间直角坐标系中，点，，，下列结论正确的有（）A.B.向量与的夹角的余弦值为C.点关于轴的对称点坐标为D.直线的一个方向向量10.某企业生产的个产品中有个一等品、个二等品，现从这批产品中任意抽取个，则其中恰好有个二等品的概率为（）A. B.C. D.11.下列说法中正确的是（）A.回归直线恒过样本中心点，且至少过一个样本点B.用决定系数刻画回归效果时，越接近1，说明模型的拟合效果越好C.将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数后，标准差变大D.基于小概率值的检验规则是：当时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过第Ⅱ卷（共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．）12.已知服从参数为0.6的两点分布，则__________.13.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布（），若ξ在内取值的概率为0.4，则ξ在内取值的概率为______14.已知函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为_______.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为.（1）求随机变量的分布列；（2）求随机变量的数学期望和方差.16.某城市统计该地区人口流动情况，随机抽取了100人了解他们端午节是否回老家，得到如下不完整的列联表：回老家不回老家总计60周岁及以下56060周岁以上25总计100（1）完成以上列联表：（2）根据小概率值的独立性检验，能否认为回老家过节与年龄有关？参考公式：，参考数据：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82817.在一条生产铜棒的生产线上，生产的成品铜棒的直径为（单位：，以下同），且.（1）分别写出，的值；（2）若生产这样的成品铜棒10000根，试估计直径在内的铜棒根数；（3）若质检员从这些铜棒中随机抽取1根铜棒，求这根铜棒的直径在内的概率.参考数据：若，则，，.18.正方体的棱长为4，分别为中点，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）求三棱锥的体积．19.已知函数，.（1）求函数的单调区间；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.

数学本试卷共19题，满分150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知，若，则（）A.1 B. C. D.答案：B解析：思路：对函数求导，根据题中条件代入计算得到答案.解答过程：，，解得.故选：B.2.设，随机变量的分布列为：589则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用分布列的性质，列式计算即得.解答过程：由，得，所以.故选：D3.若随机变量服从二项分布，则的值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据二项分布的概率公式求解即可.解答过程：因为随机变量服从二项分布，所以.故选：C4.设两个正态分布和的密度函数图像如图所示．则有A.B.C.D.答案：A解析：解答过程：根据正态分布函数的性质：正态分布曲线是一条关于对称，在处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A．5.已知随机变量，则（）A. B. C.4 D.7答案：D解析：思路：由随机变量期望的性质即可求解.解答过程：因为，所以，则.故选：D.6.已知向量，，，若共面，则x等于（）A. B.1 C. D.答案：C解析：思路：根据给定条件，利用空间共面向量定理求解作答.解答过程：因为向量，，，且共面，则存在实数，使得，即，所以，解得.所以，即故选：C7.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（）A.两人都中靶的概率为0.12 B.两人都不中靶的概率为0.42C.恰有一人中靶的概率为0.46 D.至少一人中靶的概率为0.74答案：C解析：思路：设出事件，根据相互独立事件的概率计算公式计算即可.解答过程：设甲中靶为事件，乙中靶为事件，则两人都中靶的概率为，两人都不中靶的概率为，恰有一人中靶的概率为，至少一人中靶的概率为.故选：C8.在平行六面体中，M，N分别是线段，上的点，且，，若，，，则下列说法中正确的是（）A.与的夹角为45° B.C.线段的长度为1 D.直线与所成的角为60°答案：C解析：思路：为基底，结合向量夹角公式、模长公式和向量运算法则即可逐一计算求解判断各选项解答过程：由题可得，，，对于A，由题，所以，，所以，因为，所以，故A错误；对于B，由题得，故B错误；对于C，因为，，所以，故C正确；对于D，因为，又，所以，所以，所以直线与所成的角为，故D错误.故选：C二、多项选择题（每题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，共18分）9.在空间直角坐标系中，点，，，下列结论正确的有（）A.B.向量与的夹角的余弦值为C.点关于轴的对称点坐标为D.直线的一个方向向量答案：BCD解析：思路：对于A选项，根据空间两点距离公式可判断A选项正误；对于B选项，根据空间向量的夹角坐标公式可判断B选项正误；对于C选项，根据点的对称性可判断C选项的正误；对于D选项，根据直线方向向量的概念可判断D选项的正误.解答过程：对于A选项，由于，，根据空间两点距离公式可得：.故A选项错误；对于B选项，，，设向量与向量的夹角为，则，故B选项正确；对于C选项，点关于轴的对称点坐标为，故C选项正确；对于D选项，易知，由于，得：，因此是直线的一个方向向量，故D选项正确.故选：BCD10.某企业生产的个产品中有个一等品、个二等品，现从这批产品中任意抽取个，则其中恰好有个二等品的概率为（）A. B.C. D.答案：AD解析：思路：根据超几何分布概率公式直接求解即可.解答过程：从个产品中任意抽取个，基本事件总数为个；其中恰好有个二等品的基本事件有个，恰好有个二等品的概率；也可由对立事件计算可得.故选：AD.11.下列说法中正确的是（）A.回归直线恒过样本中心点，且至少过一个样本点B.用决定系数刻画回归效果时，越接近1，说明模型的拟合效果越好C.将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数后，标准差变大D.基于小概率值的检验规则是：当时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过答案：BD解析：思路：由回归直线的性质即可判断A；利用决定系数的性质即可判断B；由标准差的性质即可判断C；由独立性检验的思想即可判断D.解答过程：A：回归直线恒过样本点的中心正确，但不一定会过样本点，故A错误；B：用决定系数来刻画回归效果时，越接近1，说明模型的拟合效果越好，故B正确；C：将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，数据的波动性不变，故方差不变，则标准差不变，故C错误；D：根据独立性检验可知D正确.故选：BD第Ⅱ卷（共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．）12.已知服从参数为0.6的两点分布，则__________.答案：##解析：思路：根据两点分布的基本性质即可求解解答过程：.故答案为：13.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布（），若ξ在内取值的概率为0.4，则ξ在内取值的概率为______答案：0.4##解析：思路：根据正态分布曲线的对称性求解解答过程：因为ξ服从正态分布（），即正态分布曲线的对称轴为，根据正态分布曲线的对称性，可知ξ在与取值的概率相同，所以ξ在内取值的概率为0.4.故答案为：0.414.已知函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为_______.答案：解析：思路：由在恒成立求解.解答过程：函数的定义域为，因为函数在定义域上是增函数，所以在恒成立，所以在恒成立，所以因为，所以.故答案为：.方法提示：若在是增函数，则恒成立；若在是减函数，则恒成立.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为.（1）求随机变量的分布列；（2）求随机变量的数学期望和方差.答案：（1）分布列为：（2），解析：思路：（1）找出的所有可能取值并计算对应概率即可得；（2）借助分布列计算期望与方差即可得.（1）的可能取值为、、，则，，，故其分布列为：（2），.16.某城市统计该地区人口流动情况，随机抽取了100人了解他们端午节是否回老家，得到如下不完整的列联表：回老家不回老家总计60周岁及以下56060周岁以上25总计100（1）完成以上列联表：（2）根据小概率值的独立性检验，能否认为回老家过节与年龄有关？参考公式：，参考数据：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828答案：（1）

回老家不回老家总计60周岁及以下5556060周岁以上152540总计2080100（2）可以认为回老家过节与年龄有关解析：思路：（1）根据表中已知数据即可求解，（2）计算卡方值，即可与临界值比较求解.（1）（2）计算回老家不回老家总计60周岁及以下5556060周岁以上152540总计2080100根据小概率值的独立性检验，可以认为回老家过节与年龄有关17.在一条生产铜棒的生产线上，生产的成品铜棒的直径为（单位：，以下同），且.（1）分别写出，的值；（2）若生产这样的成品铜棒10000根，试估计直径在内的铜棒根数；（3）若质检员从这些铜棒中随机抽取1根铜棒，求这根铜棒的直径在内的概率.参考数据：若，则，，.答案：（1），；（2）；（3）.解析：思路：（1）由正态分布概念可确定，；（2）注意到，由题利用可得答案；（3）由，结合题意可得答案.（1）,则，；（2），因，则直径在内概率约为，则直径在内的铜棒根数估计为；（3），因，，则，，则.18.正方体的棱长为4，分别为中点，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）求三棱锥的体积．答案：（1）法一、在正方形中，由条件易知，所以，则，故，即，在正方体中，易知平面，且，所以平面，又平面，∴，∵平面，∴平面；法二、如图以D为中心建立空间直角坐标系，则，所以，设是平面的一个法向量，则，令，则，所以，易知，则也是平面的一个法向量，∴平面；（2）（3）解析：思路：（1）法一、利用正方形的性质先证明，再结合正方体的性质得出平面，利用线面垂直的性质与判定定理证明即可；法二、建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面垂直即可；（2）利用空间向量计算面面夹角即可；（3）利用空间向量计算点面距离，再利用锥体的体积公式计算即可.（1）略（2）同上法二建立的空间直角坐标系，所以，由（1）知是平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，所以，令，则，即，设平面与平面的夹角为，则；（3）由（1）知平面，平面，∴，易知，又，则D到平面的距离为，由棱锥的体积公式知：.19.已知函数，.（1）求函数的单调区间；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.答案：（1）当时，函数在单调递减，当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增；（2）解析：思路：（1）对函数求导，讨论和两种情况导数的符号，进而可求函数的单调区间；（2）将已知条件转化为恒成立，构造函数，求出，转化为成立，然后构造函数，借助导数判断的单调性，从而得出满足条