广西壮族自治区河池市2025~2026学年高一下册校内期末学业水平质量检测数学试卷【附解析】

数学满分150分，考试时间120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.样本数据2，8，16，14，20的中位数为（）A.8 B.9 C.14 D.162.若z是复数，且（i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A. B. C. D.3.在中，已知内角，，的对边分别是，，，且，则角（）A. B. C. D.4.已知向量，满足，，，则向量与夹角的正弦值是（）A. B. C. D.5.甲、乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.5，乙获奖的概率为0.4，甲、乙两人同时获奖的概率为0.2，则甲、乙两人均没获奖的概率为（）A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.96.在一次化学实验过程中，用一个侧棱的三棱柱容器收集雨水如图所示，当侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点.则当底面水平放置时，水面高为（）A.30mm B.40mm C.50mm D.60mm7.已知，，为随机事件，与互斥，与互为对立，且，，则（）A.0.9 B.0.6 C.0.56 D.0.58.已知等边的边长为4，为边的中点，是边上的动点，则的最大值为（）A.8 B.10 C.12 D.14二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数（为虚数单位），则（）A.的虚部为 B.C. D.10.下列命题中正确的是（）A.若，是单位向量，则B.若，则存在唯一的实数，使得C.若向量和，满足，，则D.若向量，，则在方向上的投影向量是11.如图，在正方体中，点是线段上一动点，则（）A.平面B.当为线段的中点时，直线与直线所成角的正切值为C.随着的长度变长，直线与平面所成角先变大再变小D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面向量，，若，则______.13.记的内角，，的对边分别是，，，若，，，则______.14.已知某圆锥的轴截面为正三角形，且该圆锥的体积为，若该圆锥的顶点和底面圆周上所有的点均在同一个球体的表面上，则该球体的表面积为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，正方体的棱长为4，为中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.16.人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷.截至2026年3月，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景.某网站组织经常使用豆包的人进行了AI知识竞赛.从参赛者中随机选出100人作为样本，并将这100人按成绩分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）求样本数据的中位数与第35百分位数；（2）已知直方图中成绩在内的平均数为85；成绩在内的平均数为95.求成绩在内的平均数.17.不透明的袋子中装有4个红球，个绿球，这些球除颜色外其他完全相同，采用不放回方式从中依次随机取出2个球，且已知取出的2个球是红球的概率为.（1）求袋子中绿球的个数；（2）求两次取出的球的颜色不同的概率.18.已知的面积记为.内角，，的对边分别为，，，.（1）求角的大小；（2）若边上的中线的长度为，求面积的最大值.19.如图，矩形中，，，为的中点，把沿翻折，满足.（1）求证：平面；（2）求二面角的正切值.

数学满分150分，考试时间120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.样本数据2，8，16，14，20的中位数为（）A.8 B.9 C.14 D.16答案：C解析：思路：先将样本数据按从小到大排序，根据数据个数为奇数，取中间位置的数即为中位数.解答过程：首先将样本数据从小到大进行排序，得到序列：，该样本的容量为（奇数），因此中位数为排序后第个数据，即.2.若z是复数，且（i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由，得，所以z的共轭复数是.3.在中，已知内角，，的对边分别是，，，且，则角（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据余弦定理与已知条件结合，求得，进而根据角的范围得出结果即可.解答过程：解：由余弦定理可知，因为，所以，即，因为，所以.故选：C.方法提示：本题考查余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于基础题.4.已知向量，满足，，，则向量与夹角的正弦值是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由向量垂直可得数量积为零，即可求解向量夹角的余弦值，再由即可求解.解答过程：设向量，夹角为，因为，，，所以，即，解得，因为，所以，所以向量与夹角的正弦值为.5.甲、乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.5，乙获奖的概率为0.4，甲、乙两人同时获奖的概率为0.2，则甲、乙两人均没获奖的概率为（）A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.9答案：A解析：思路：先通过概率加法公式求出甲乙至少一人获奖的概率，再利用对立事件的概率性质计算两人均没获奖的概率.解答过程：设甲获奖为事件，乙获奖为事件，由题意可得：，，，根据概率的一般加法公式，甲乙至少有一人获奖的概率为：，“甲乙两人均没获奖”是事件的对立事件，记为，根据对立事件的概率性质：.6.在一次化学实验过程中，用一个侧棱的三棱柱容器收集雨水如图所示，当侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点.则当底面水平放置时，水面高为（）A.30mm B.40mm C.50mm D.60mm答案：D解析：思路：利用水的体积不变，通过不同放置方式下水的体积表达式来求解水面的高度.解答过程：由题意，，又，因为、分别为、的中点，所以，所以，又，所以，又，所以，即当底面水平放置时，水面高为60mm.7.已知，，为随机事件，与互斥，与互为对立，且，，则（）A.0.9 B.0.6 C.0.56 D.0.5答案：B解析：思路：先利用对立事件的概率性质求出，再结合互斥事件的概率加法公式计算即可.解答过程：因为与互为对立事件，根据对立事件的概率性质，可得：

，又因为与是互斥事件，根据互斥事件的概率加法公式，有：，代入、，计算得：.8.已知等边的边长为4，为边的中点，是边上的动点，则的最大值为（）A.8 B.10 C.12 D.14答案：C解析：思路：建立平面直角坐标系，将向量数量积转化为关于动点坐标的二次函数，即可求解最大值.解答过程：以点为坐标原点，所在直线为轴，垂直于所在直线为轴建立直角坐标系，由等边边长为，可得各点坐标：，，，因为为中点，故的坐标为，设，其中，则：

，，由向量数量积的坐标运算得：

，该式为开口向上的二次函数，对称轴为，在区间上最大值在离对称轴更远的端点处取得：当时，，故最大值为.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数（为虚数单位），则（）A.的虚部为 B.C. D.答案：CD解析：思路：结合复数的虚部定义、共轭复数概念、模长公式、复数除法运算法则，逐一判断各选项即可.解答过程：选项A中，复数的虚部是实数，的虚部为，不是，A错误，选项B中，共轭复数与原复数实部相同，虚部互为相反数，因此，B错误，选项C中，复数模长公式为，代入得，C正确，选项D中，复数除法需分子分母同乘分母的共轭复数化简：

，D正确.10.下列命题中正确的是（）A.若，是单位向量，则B.若，则存在唯一的实数，使得C.若向量和，满足，，则D.若向量，，则在方向上的投影向量是答案：BCD解析：思路：根据单位向量定义即可求解A，根据共线定理即可求解B，根据模长公式即可求解C，根据投影向量的计算公式即可求解D.解答过程：对于A选项，，是单位向量，则，但方向不一定相同，所以与不一定相等，故A错误；对于B选项，因为，所以与共线，由向量共线的定义可得，存在唯一的实数，使得，故B正确；对于C选项，因为，，所以，解得，所以，所以，故C正确；对于D选项，因为向量，，所以在方向上的投影向量为a⃗⋅cosa⃗,11.如图，在正方体中，点是线段上一动点，则（）A.平面B.当为线段的中点时，直线与直线所成角的正切值为C.随着的长度变长，直线与平面所成角先变大再变小D.答案：ACD解析：思路：利用正方体性质证面面平行判断线面平行，判断A选项，平移直线找异面直线所成角求正切值判断B选项，找出线面角分析变化及利用体对角线性质判断线线垂直，从而判断CD选项.解答过程：在A选项中，连接、，交点为，连接、，交点为，连接、、，因为正方体中，、，，，所以平面平面，因为平面，所以平面，A正确，在B选项中，当为线段的中点时，取中点，连接、，因为，所以就是直线与直线所成角，设正方体棱长为，则，，，，在中，，B错误，在C选项中，因为平面，所以就是直线与平面所成角，设正方体棱长为，随着的长度变长，长度先变小后变大，先变大后变小，直线与平面所成角先变大再变小，C正确，在D选项中，连接，因为正方体中，平面，平面，所以，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面向量，，若，则______.答案：解析：思路：由平面向量共线坐标运算以及向量的模长公式求解即可.解答过程：因为，又因为，，所以，解得，故，所以.13.记的内角，，的对边分别是，，，若，，，则______.答案：（或）解析：解答过程：因为，，，由正弦定理可得，解得，则或，当时，，此时，故.14.已知某圆锥的轴截面为正三角形，且该圆锥的体积为，若该圆锥的顶点和底面圆周上所有的点均在同一个球体的表面上，则该球体的表面积为______.答案：##.解析：思路：先根据圆锥的体积求得其底面半径和高，再结合圆锥外接球的特征，建立关于球体半径的方程，求得球体半径，进而可以求得球体的表面积.解答过程：设圆锥底面圆的半径为，圆锥体积为，圆锥外接球的半径为，因为圆锥的轴截面为正三角形，所以，底面圆，所以在直角三角形中，，，所以则，解得，所以，又，，，所以，即，即，解得，所以球体的表面积.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，正方体的棱长为4，为中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.答案：（1）证明：正方体中，易知.因为平面，平面，所以平面.（2）解析：思路：（1）根据线面平行的判定定理求解即可.（2）根据等体积法及棱锥的体积公式求解即可.（1）略（2）正方体中，易知平面，所以即为点到平面的距离.又，所以.16.人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷.截至2026年3月，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景.某网站组织经常使用豆包的人进行了AI知识竞赛.从参赛者中随机选出100人作为样本，并将这100人按成绩分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）求样本数据的中位数与第35百分位数；（2）已知直方图中成绩在内的平均数为85；成绩在内的平均数为95.求成绩在内的平均数.答案：（1）中位数为；第百分位数为（2）解析：思路：（1）根据频率分布直方图计算各组频率，利用中位数和百分位数的定义列式求解；（2）根据频率求出对应区间的人数，利用加权平均数公式计算即可.（1）各组频率依次为：第一组：；第二组：；第三组：；第四组：；第五组：.因为前三组的频率之和为，所以样本数据的中位数为.设样本数据的第百分位数为，因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，所以第百分位数位于第三组内.则，解得，即第百分位数为.所以样本数据的中位数为80，第35百分位数为75.（2）由（1）可知，成绩在内的频率为，成绩在内的频率为.因为样本容量为，所以成绩在内的人数为，成绩在内的人数为.所以成绩在内的平均数为：.故成绩在内的平均数为.17.不透明的袋子中装有4个红球，个绿球，这些球除颜色外其他完全相同，采用不放回方式从中依次随机取出2个球，且已知取出的2个球是红球的概率为.（1）求袋子中绿球的个数；（2）求两次取出的球的颜色不同的概率.答案：（1）5（2）解析：思路：（1）根据不放回抽取2个红球的已知概率列方程求解即可.（2）通过分类计算两类颜色不同的取球情况的概率求和即可.（1）由题意知，袋中球的总个数为.则不放回抽取2个球均为红球的概率为：

，即，整理得，解得或，由于球的个数为正整数，舍去，故绿球个数为5.（2）由（1）可知袋中共有9个球，其中4个红球、5个绿球.①第一次取红球、第二次取绿球，概率