广西壮族自治区贺州市2025~2026学年高二下册期末质量检测数学试卷【附解析】

数学满分：150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A. B.C. D.2.在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是虚数单位，是原点，则向量对应的复数是（）A. B.C. D.3.已知变量，具有线性相关关系，由样本数据（，2，3，4，5）得到关于的经验回归方程为，若，，则当时，的预测值为（）A. B. C. D.4.下列图象与函数图象最符合的为（）A. B.C. D.5.已知各边长均为1，，，，那么（）A. B. C. D.6.在研发一款超导量子芯片时，需要将5个功能单元（3个“量子逻辑门”和2个“经典控制单元”）排成一条线性序列进行布线.为保证量子相干性，要求2个“经典控制单元”不能相邻；同时，3个“量子逻辑门”中承担纠错功能的“主控门”不能排在整条线性序列的首位.则满足上述条件的布线方案共有（）A.36种 B.48种 C.60种 D.72种7.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则（）A. B. C. D.8.如图，设、分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（）A. B. C. D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.数列是等差数列，已知，，是的前项和，则下列结论正确的是（）A. B.C.是公差为2的等差数列 D.的最小项为或10.在直三棱柱中，为的中点，为线段上的动点，下列结论正确的是（）A.B.平面C.平面平面D.存在点，使得平面11.已知函数，则（）A.为偶函数B.曲线的对称中心为C.在区间上单调递减D.在区间上有一条对称轴三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.在的展开式中，的系数为_________．13.已知正实数，满足，则的最小值为__________.14.若使得不等式对任意恒成立，则实数的最大值为__________.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知公比大于1的等比数列满足：，．（1）求的通项公式；（2）记数列的前n项和为，若，，证明：是等差数列．16.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，是等边三角形，侧面底面ABCD，，点分别在棱上，且，，点是线段上的任意一点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值．17.在平面直角坐标系中，已知定点和定直线：.动点到定点的距离等于它到定直线的距离，记动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设为坐标原点，点，是曲线上异于原点的两个动点，且满足.（ⅰ）证明：直线恒过定点；（ⅱ）求面积的最小值.18.人工智能（简称AI）的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其他行业.某公司推出的AI软件主要有四项功能：“视频创作”、“图像修复”、“语言翻译”、“智绘设计”.为了解某地区大学生对这款AI软件的使用情况，从该地区随机抽取了120名大学生，统计他们最喜爱使用的AI软件功能（每人只能选一项），统计结果如下：软件功能视频创作图像修复语言翻译智绘设计大学生人数40204020假设大学生对AI软件的喜爱倾向互不影响.（1）从该地区大学生中随机抽取1人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率；（2）采用分层抽样的方式先从120名大学生中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，求的分布列和数学期望；（3）若某学生最喜爱视频创作，则他每天使用该软件超过1小时的概率为0.8；若最喜爱语言翻译，则超过1小时的概率为0.5；若最喜爱图像修复或智绘设计，则超过1小时的概率为0.6.现随机抽取一人，发现他每天使用该软件超过1小时，求他最喜爱视频创作的概率.19.已知（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）已知有两个极值点，且满足，求的值；（3）在(2)的条件下，若在上恒成立，求的取值范围．

数学满分：150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：先解不等式求得集合，进而利用交集的意义求解即可.解答过程：由，得，解得，所以，又，所以.故选：C.2.在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是虚数单位，是原点，则向量对应的复数是（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：因为在复平面内，复数，对应的向量分别是，，所以，，，所以；坐标对应的复数为.3.已知变量，具有线性相关关系，由样本数据（，2，3，4，5）得到关于的经验回归方程为，若，，则当时，的预测值为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由，，得，，点在回归直线上，故，解得，，故当时，．4.下列图象与函数图象最符合的为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：讨论函数的性质选取对应的图象即可.解答过程：,所以为偶函数，故排除A.讨论在时的图象性质.,令.根据的符号可知，在单调增，在单调减.故排除B、C.故答案选D.5.已知各边长均为1，，，，那么（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题意得，，则6.在研发一款超导量子芯片时，需要将5个功能单元（3个“量子逻辑门”和2个“经典控制单元”）排成一条线性序列进行布线.为保证量子相干性，要求2个“经典控制单元”不能相邻；同时，3个“量子逻辑门”中承担纠错功能的“主控门”不能排在整条线性序列的首位.则满足上述条件的布线方案共有（）A.36种 B.48种 C.60种 D.72种答案：C解析：解答过程：若“主控门”不在首位，先排“主控门”，再排列其他4个功能单元，共有种；若“主控门”不在首位，且2个“经典控制单元”相邻，先排列2个“经典控制单元”（捆绑）和剩下的2个功能单元，再将“主控门”进行插空，共有种，则满足条件的布线方案共有种.7.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由题设条件和正弦定理化边为角，再利用和角公式进行拆角化简，即可得到，利用三角形内角范围即得.解答过程：由以及正弦定理可得：，因，代入整理得，因,则得，又因，故.故选：A.8.如图，设、分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由点为圆与椭圆的焦点，可得，，结合条件，应用勾股定理即可得.解答过程：连接、，由在以为直径的圆上，故，、在椭圆上，故有，，设，则，则有，，即可得，解得，故，则，故.故选：C.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.数列是等差数列，已知，，是的前项和，则下列结论正确的是（）A. B.C.是公差为2的等差数列 D.的最小项为或答案：ABD解析：思路：求出公差，得到通项公式，并结合求和公式可得AB正确；求出，得到公差；D选项，二次函数单调性得到最值，得到D正确解答过程：A选项，∵为等差数列，，，∴公差.∴，∴，故A正确.B选项，∵前项和，∴，，∴，故B正确.C选项，∵，∴数列的公差为，不为，故C错误.D选项，∵，且为正整数，∴当或时，取得最小值，即的最小项为或，故D正确.10.在直三棱柱中，为的中点，为线段上的动点，下列结论正确的是（）A.B.平面C.平面平面D.存在点，使得平面答案：BCD解析：解答过程：如图：对于选项A，因为平面,平面，所以平面，又因为平面，但不过，所以与是异面直线，故A错误；对于选项B，因为底面，因为底面，所以；又，且平面，所以平面．因为平面，所以．因为，所以侧面是正方形，所以．因为，且平面，所以平面，故B正确.对于选项C，由选项下的证明得到，平面，因为平面所以平面平面，故C正确.对于选项D，当为线段的中点时，设，则，所以，故四边形为平行四边形，所以，而平面平面，所以平面，故D正确.11.已知函数，则（）A.为偶函数B.曲线的对称中心为C.在区间上单调递减D.在区间上有一条对称轴答案：BD解析：思路：根据题意利用三角恒等变换整理得，结合正弦函数的性质逐项分析判断.解答过程：由题意可得：，对于选项A：因为，所以为奇函数，故A错误；对于选项B：令，解得，所以曲线的对称中心为，，故B选项正确；对于选项C：因为，即，即在内不是单调递减，故C错误；对于选项D：因为，则，且在内有且仅有一条对称轴，所以在区间上有且仅有一条对称轴，故D选项正确；故选：BD．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.在的展开式中，的系数为_________．答案：15解析：思路：利用的通项公式，即可求出结果.解答过程：因为的展开式的通项公为，由，得到，所以的系数为，故答案为：.13.已知正实数，满足，则的最小值为__________.答案：解析：解答过程：∵正实数满足,∴.∴.∵，由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立.将代入，解得，符合为正实数的约束条件.∴的最小值为.14.若使得不等式对任意恒成立，则实数的最大值为__________.答案：4解析：思路：令，将问题转化为使得不等式对任意恒成立，结合导数研究的单调性以及图像，数形结合求解.解答过程：令，其中，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递减．所以使得不等式对任意恒成立，等价于使得不等式对任意恒成立．令得，由图可知，因此实数的最大值为4．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知公比大于1的等比数列满足：，．（1）求的通项公式；（2）记数列的前n项和为，若，，证明：是等差数列．答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）方法1：根据等比数列性质计算出，从而求出公比，得到通项公式；方法2：由等比数列性质得到关于首项和公比的方程组，求出解得，得到通项公式；（2）根据与的关系式得到，从而结合（1）知，（），得到结论.（1）方法1：设公比为，因为是等比数列，所以，又，解得或．又，所以，所以，．因此；方法2：设公比为，由等比数列性质得出，解得或，又，所以，因此．（2）由（1）得，所以，两式作差可得，即，整理得，．方程同除以得，，即（）．所以数列是公差为的等差数列．16.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，是等边三角形，侧面底面ABCD，，点分别在棱上，且，，点是线段上的任意一点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值．答案：（1）证明详见解析；（2）.解析：思路：（1）通过证明平面平面来证得平面.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面所成角的余弦值.（1）连接，由于，所以四边形是平行四边形，所以，由于，所以.由于平面，平面，所以平面.由于平面，平面，所以平面.由于，所以平面平面，由于平面，所以平面.（2）由于平面平面，，由此以为原点，建立以如图所示空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，故可设，平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则.17.在平面直角坐标系中，已知定点和定直线：.动点到定点的距离等于它到定直线的距离，记动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设为坐标原点，点，是曲线上异于原点的两个动点，且满足.（ⅰ）证明：直线恒过定点；（ⅱ）求面积的最小值.答案：（1）（2）（i）因为直线不垂直于轴，设其方程为：，设，，联立直线与抛物线方程，，可得，，因为，所以，得，又因为，所以，即直线方程为，则过定点.（ii）16解析：思路：（1）根据抛物线的定义求解即可；（2）（i）设直线的方程为：，联立直线与抛物线的方程，得出韦达定理，再代入计算即可.（ii）由（i）知直线过定点结合，结合基本不等式求得最小值.（1）由已知得曲线是以为焦点，直线：为准线的抛物线，，所以曲线的方程为：.（2）（i）略（ii）由（i）知直线过定点，所以故，因为，所以，当且仅当时，等号成立，即面积的最小值为16.18.人工智能（简称AI）的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其他行业.某公司推出的AI软件主要有四项功能：“视频创作”、“图像修复”、“语言翻译”、“智绘设计”.为了解某地区大学生对这款AI软件的使用情况，从该地区随机抽取了120名大学生，统计他们最喜爱使用的AI软件功能（每人只能选一项），统计结果如下：软件功能视频创作图像修复语言翻译智绘设计大学生人数40204020假设大学生对AI软件的喜爱倾向互不影响.（1）从该地区大学生中随机抽取1人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率；（2）采用分层抽样的方式先从120名大学生中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，求的分布列和数学期望；（3）若某学生最喜爱视频创作，则他每天使用该软件超过1小时的概率为0.8；若最喜爱语言翻译，则超过1小时的概率为0.5；若最喜爱图像修复或智绘设计，则超过1小时的概率为0.6.现随机抽取一人，发现他每天使用该软件超过1小时，求他最喜爱视频创作的概率.答案：（1）（2）分布列为：012（3）解析：思路：（1）利用频率估计概率，得到概率；（2）求出的可能取值和相应的概率，得到分布列，求出数学期望；（3）设出事件，利用全概率公式和贝叶斯公式进行求解（1）设从该地区的大学生中随机抽取1人，此人选择“视频创作”的事件为，用频率估计概率，则.（2）因为抽取的6人中喜欢“视频创作”的人数为，所以的所有可能取值为0，1，2，，，，所以的分布列为：012，（或，则）；（3）定义以下事件：抽取学生喜爱的视频创作；：抽取学生喜爱的图像修复；：抽取学生喜爱的语言翻译；：抽取学生喜爱的智绘设计；：学生每日使用软件超过1小时.由题意得