福建省福州市黎明中学2025~2026学年高二下册期末考试数学试卷【附解析】

数学本试卷共4页.满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，．则（）A. B. C. D.2.已知，，（，），若，则（）A.， B.，C.， D.，3.已知集合，则（）A. B. C. D.4.若，且为第四象限角，则的值等于A. B. C. D.5.函数的图像在点处的切线方程为（）A. B.C. D.6.函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是．A. B. C. D.7.若，则双曲线的离心率的取值范围是A. B. C. D.8.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（

）A.462 B.465C.468 D.475二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（）A.样本的标准差 B.样本的中位数C.样本的极差 D.样本的平均数10.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为，则（）．A.该圆锥的体积为 B.该圆锥的侧面积为C. D.的面积为211.抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（）A.l与相切B.当P，A，B三点共线时，C.当时，D.满足的点有且仅有2个三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的值域为______.13.已知是等比数列，，，则_____.14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.15.已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求证：为等腰三角形；（2）若，求的面积．四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.17.已知函数.（1）求函数的单调区间和极值点；（2）求出方程的解的个数.18.某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（1）求X的分布列；（2）若要求，确定n的最小值；（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？19.已知椭圆，点P为C的上顶点．（1）求椭圆C的离心率；（2）求椭圆上动点T到点P的距离的最大值；（3）设与两坐标轴均不垂直的直线l与椭圆C交于异于P的两点A和B，设直线PA、PB的斜率分别为、．当时，判断直线l是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由．

数学本试卷共4页.满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，．则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由，．则.2.已知，，（，），若，则（）A.， B.，C.， D.，答案：A解析：解答过程：由，得，.3.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：化简集合，由交集的概念即可得解.解答过程：因为，且注意到，从而.故选：A.4.若，且为第四象限角，则的值等于A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：∵sina=,且a为第四象限角,∴，则，故选D.5.函数的图像在点处的切线方程为（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.解答过程：，，，，因此，所求切线的方程为，即.故选：B.方法提示：本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题6.函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是．A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：是奇函数，故；又是减函数，，即则有，解得，故选D.7.若，则双曲线的离心率的取值范围是A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：，，，，，则，选C.8.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（

）A.462 B.465C.468 D.475答案：B解析：思路：归纳出递推公式，再累加求通项即可.解答过程：记第层有个球，则，，，，，，，，，则第30层的小球个数为，.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（）A.样本的标准差 B.样本的中位数C.样本的极差 D.样本的平均数答案：AC解析：思路：考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.解答过程：由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC.10.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为，则（）．A.该圆锥的体积为 B.该圆锥的侧面积为C. D.的面积为2答案：ACD解析：思路：根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性；利用二面角的知识可知，进而判断C、D选项的正确性.解答过程：依题意，，，所以，A选项，圆锥的体积为，A选项正确；B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误；C选项，设是的中点，连接，则，所以是二面角的平面角，则，所以，故，则，C选项正确；D选项，，所以，D选项正确.故选：ACD.11.抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（）A.l与相切B.当P，A，B三点共线时，C.当时，D.满足的点有且仅有2个答案：ABD解析：思路：A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解.解答过程：A选项，抛物线的准线为，的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，故准线和相切，A选项正确；B选项，三点共线时，即，则的纵坐标，由，得到，故，此时切线长，B选项正确；C选项，当时，，此时，故或，当时，，，，不满足；当时，，，，不满足；于是不成立，C选项错误；D选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，，这里，于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题，，中点，中垂线的斜率为，于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得，，即的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个点，使得，D选项正确.方法二：（设点直接求解）设，由可得，又，又，根据两点间的距离公式，，整理得，，则关于的方程有两个解，即存在两个这样的点，D选项正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的值域为______.答案：解析：解答过程：因为，所以.即函数的值域为.13.已知是等比数列，，，则_____.答案：解析：思路：利用等比数列的性质即可求解.解答过程：由题意得：，所以，又，所以，所以，所以.14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.答案：##0.5解析：思路：将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.解答过程：设甲在四轮游戏中的得分分别为，四轮的总得分为.对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌组合有六种，从而甲在该轮得分的概率，所以.从而.记.如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以；如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以.而的所有可能取值是0，1，2，3，故，.所以，，两式相减即得，故.所以甲的总得分不小于2的概率为.故答案为：.方法提示：关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举.15.已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求证：为等腰三角形；（2）若，求的面积．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）由余弦定理化角为边，化简即可得证；（2）由余弦定理可求得，可求的面积.（1）因为，所以，化简得，即，所以是等腰三角形.（2）由余弦定理可得，得，解得，由，所以，所以的面积为.四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.答案：（1）因为底面为正方形，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）解析：思路：（1）利用线面平行判定定理证明；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出面面角的余弦值；（1）略（2）因为平面，所以，又，所以两两垂直，所以以点为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量，则，令，则，所以，因为平面，所以为平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.17.已知函数.（1）求函数的单调区间和极值点；（2）求出方程的解的个数.答案：（1）的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值点为，无极大值点.（2）当时，方程无解；当时，方程有2个不同的解；当或时，方程有且仅有1个解.解析：思路：（1）求导，利用导函数的符号分析函数的单调性，进而求函数的极值.（2）数形结合，可根据的取值范围确定方程解的个数.（1）因为，所以，由.所以变化时，，的变化情况如下：0单调递减极小值单调递增且.所以的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值点为，无极大值点.（2）因为函数的极小值，当时，；当时，；当时，.结合函数的单调性，作函数的草图如下：所以当时，方程无解；当时，方程有2个不同的解；当或时，方程有且仅有1个解.18.某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（1）求X的分布列；（2）若要求，确定n的最小值；（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？答案：（1）的分布列为16171819202122（2）19（3）应选解析：思路：（1）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列；（2）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P（X≤n）≥0．5中n的最小值；（3）购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19个更合适．解答过程：（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0．2，0．4，0．2，0．2，从而；；；；；；．所以的分布列为16171819