广西壮族自治区柳州市2025~2026学年高一下册7月质量监测数学试卷【附解析】

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数满足，则（）A. B. C. D.3.已知，，，，则下列不等式一定正确的是（）A. B. C. D.4.在中，是线段上的靠近的三等分点，则（）A. B.C. D.5.已知，是两个不同的平面，是一条直线，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.《数术记遗》记述了积算（即筹算）、珠算、计数等共14种算法.某研究学习小组共10人，他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时间（单位：min）分别为68，58，38，41，47，63，82，48，32，31，则这组数据的（）A.众数仅是31 B.分位数是C.极差是38 D.中位数是447.已知，，，则（）A. B. C. D.8.已知幂函数是偶函数，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则下列说法正确的是（）A.的虚部为 B.C.在复平面内对应的点位于第三象限 D.10.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.B.的最小正周期与的最小正周期相同C.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则是偶函数D.的单调递增区间为11.在三棱台中，平面，平面，，，则（）A.四边形为直角梯形B.三棱台的体积为C.二面角的大小为D.直线与所成角的余弦值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12._____．13.已知事件与相互独立，，，则________．14.如图，某湖泊沿岸有四个镇，已知镇与镇之间的距离为，镇与镇之间的距离为，测得，，，则两镇之间的距离为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知平面向量，，，且．（1）求；（2）若，求实数的值．16.某蛋糕店为了了解顾客对某款蛋糕的满意程度，对购买该蛋糕的顾客进行问卷调查，现随机抽取了200名顾客的满意度评分（分数均在内），将所得数据分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求m的值，并估计这200名顾客的满意度评分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）在第四、五两组中；按比例分配的分层随机抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人送优惠券，求选出的2人来自同一组的概率.17.已知函数是偶函数．（1）求的值；（2）解不等式．18.若，，分别为三个内角，，的对边，且.（1）求；（2）若，且的面积为，求，；（3）若的面积为，设为的中点，且，的平分线交于，求线段的长度.19.如图，在三棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，，，点E是棱PB的中点，点M是棱BC上的一点.（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值；（3）若直线EM与平面所成角的正弦值为，求线段BM的长.

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：应用集合的交运算求结果即可.解答过程：因为集合，，所以．故选：B2.已知复数满足，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据虚数单位的运算性质化简已知等式，再通过复数的除法运算法则求出.解答过程：由可得，可得.故选：D.3.已知，，，，则下列不等式一定正确的是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用举反例判断ACD，分和判断B.解答过程：对于A，当时，，A错误；对于B，当时，由于，则，当时，由于，则，B正确；对于C，当时，，C错误；对于D，当时，，D错误.4.在中，是线段上的靠近的三等分点，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据向量的加法计算即可.解答过程：由题意可知.5.已知，是两个不同的平面，是一条直线，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：根据面面垂直的判定定理与面面垂直性质进行推断即可．解答过程：由线面垂直的判定定理可知，过一个平面垂线的平面与这个平面垂直，故“”可以得到“”，充分性得证；反之，已知两平面垂直，一个平面内的直线可以与另一个平面相交，垂直，平行，不能得到线面垂直，必要性不成立；故“”是“”的充分不必要条件．6.《数术记遗》记述了积算（即筹算）、珠算、计数等共14种算法.某研究学习小组共10人，他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时间（单位：min）分别为68，58，38，41，47，63，82，48，32，31，则这组数据的（）A.众数仅是31 B.分位数是C.极差是38 D.中位数是44答案：B解析：思路：由众数、百分位数、极差、中位数的定义即可得出答案.解答过程：由题知，每个数出现的次数都是一次，A错误；将这10个数据从小到大排列为31，32，38，41，47，48，58，63，68，82；易知为整数，所以分位数是第1个数与第2个数的平均值，即为，B正确；极差为，C错误；中位数为第5个数和第6个数的平均数，即，D错误.故选：B.7.已知，，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由余弦二倍角公式，两角和的余弦公式，两角差的正切公式及余弦函数单调性即可判断.解答过程：，，由，则，故，显然，即．8.已知幂函数是偶函数，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据幂函数的定义，结合幂函数的奇偶性、二次函数的单调性、函数单调性的性质进行求解即可.解答过程：因为是幂函数，所以，解得或.当时，为偶函数，符合题意；当时，为非奇非偶函数，不符合题意，所以.二次函数的对称轴为，若函数在上单调递增，则解得；若函数在上单调递减，则解得.综上，实数的取值范围为.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则下列说法正确的是（）A.的虚部为 B.C.在复平面内对应的点位于第三象限 D.答案：ABD解析：思路：先根据三角函数诱导公式化简复数，再根据复数的相关概念逐一分析选项.解答过程：根据三角函数诱导公式化简，，所以.对于A选项，的虚部为，所以A选项正确.对于B选项，已知，则.所以，B选项正确.对于C选项，在复平面内，对应的点为，该点位于第一象限，而不是第三象限，所以C选项错误.对于D选项，则，所以D选项正确.故选：ABD.10.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.B.的最小正周期与的最小正周期相同C.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则是偶函数D.的单调递增区间为答案：BC解析：思路：根据图象求出即可判断AB；再根据函数的平移求出即可判断C；根据正弦函数的单调性求解判断D.解答过程：对于A，由图可知，，，则，即，又，则，又在附近为增函数，则，即，又，则，故A错误；对于B，由A知函数的最小正周期为，而的图象是将的图象在x轴下方部分翻折到x轴上方，最小正周期也为，故B正确；对于C，由题意，，为偶函数，故C正确；对于D，由A知，，令，解得，则的单调递增区间为，故D错误.11.在三棱台中，平面，平面，，，则（）A.四边形为直角梯形B.三棱台的体积为C.二面角的大小为D.直线与所成角的余弦值为答案：AB解析：思路：根据题意可得平面，从而，，可判断AB；由平面，所以为二面角的平面角，求此角判断C；延长交于点，则可得三棱锥，取中点，连接，在三棱锥中，由于，，所以为的中点，所以，则为直线与所成角，判断D.解答过程：在三棱台中，平面，平面，则，又平面，平面，则，平面，所以平面，而平面，则，又因为，且，所以四边形为直角梯形，A正确；由平面，而平面，则，则为直角三角形，则，则，B正确；由平面，所以为二面角的平面角，又平面，平面平面，则平面，平面，所以，，，则，所以，又平面，平面，所以，所以，所以，C错误；延长交于点，则可得三棱锥，取中点，连接，在三棱锥中，由于，，所以为的中点，所以，则为直线与所成角，由于平面，所以平面，平面，则，又，，所以，D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12._____．答案：解析：思路：根据指数运算和对数运算化简求值即可.解答过程：．故答案为：13.已知事件与相互独立，，，则________．答案：0.85解析：思路：根据和事件概率公式和独立事件概率公式计算结果即可．解答过程：因为事件与相互独立，故，由，可得；故．14.如图，某湖泊沿岸有四个镇，已知镇与镇之间的距离为，镇与镇之间的距离为，测得，，，则两镇之间的距离为__________．答案：解析：解答过程：在中，由余弦定理得，所以，在中，，在中，由正弦定理得，所以，所以，在中，，故．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知平面向量，，，且．（1）求；（2）若，求实数的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）先根据平面向量的线性运算的坐标表示求出，再求得，进而根据平面向量模的坐标表示求解即可；（2）根据平面向量平行的坐标表示列方程求解即可.（1）因为，，且，所以，解得，则，而，所以，则．（2）由（1）知，而，所以，，因为，所以，解得．16.某蛋糕店为了了解顾客对某款蛋糕的满意程度，对购买该蛋糕的顾客进行问卷调查，现随机抽取了200名顾客的满意度评分（分数均在内），将所得数据分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求m的值，并估计这200名顾客的满意度评分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）在第四、五两组中；按比例分配的分层随机抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人送优惠券，求选出的2人来自同一组的概率.答案：（1），（2）解析：思路：（1）根据频率之和为1求出，再由频率分布直方图求均值即可；（2）分层抽样后列出样本事件空间，利用古典概型求解即可.（1）由题意知，解得.估计这200名顾客的满意度评分的平均数.（2）从第四组抽取的人数为（人），记为a，b，c，d，从第五组抽取的人数为（人），记为e，从这5人中选出2人，有，，，，，，，，，，共有10种情况，其中选出的两人来自同一组的有，，，，，，共6种情况，故选出的2人来自同一组的概率为.17.已知函数是偶函数．（1）求的值；（2）解不等式．答案：（1）（2）或解析：思路：（1）由，得到恒成立，即可求解；（2）由（1）可将不等式转换成，再得到，通过换元，得到，进而求解即可.（1）由已知可得，即，得：，即，即，得恒成立，，解得．（2）由（1）可得，原不等式可化为，即，在上单调递增，，令，则，即，解得或，所以或，所以或．不等式的解集为或.18.若，，分别为三个内角，，的对边，且.（1）求；（2）若，且的面积为，求，；（3）若的面积为，设为的中点，且，的平分线交于，求线段的长度.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用正弦定理将边转化为角，再结合辅助角公式整理，求解角；（2）利用三角形面积公式得到的值，再结合余弦定理建立方程求解和；（3）利用向量中线公式和向量数量积公式得到关于、的等式，再利用求解.（1）由题意知中，，由正弦定理边角关系得：，，，，，，，又，，所以，即.（2）由，，得.由余弦定理得，则，所以，解得.（3）在中，为中线，，，.，，，，，，.19.如图，在三棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，，，点E是棱PB的中点，点M是棱BC上的一点.（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值；（3）若直线EM与平面所成角的正弦值为，求线段BM的长.答案：（1）证明：取AB的中点F，连接PF，因为是边长为2的等边三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.在中，，所以，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以.（2）（3）解析：思路：（1）求证平面即可得证；（2）取BF的中点O，连接EO，过点E作，垂足为G，连接OG，求证平面得到为二面角的平面角，求出即可得解；（3）先求证平面得到点M不同于点C，过点M作，垂足为H，进而求证平面得直线EM与平面所成的角为，设，由得到，再由即可求出