指数函数练习题(包含详细答案)

指数函数练习题(包含详细答案)一、基础概念与定义1.下列函数中，哪些是指数函数？①f②g③h④k⑤m(x)答案：根据指数函数的定义，形如y=（a>0且a①符合定义，是指数函数（a=2>②底数−3<0③可化简为(=④自变量在底数位置，是幂函数，不是；⑤e≈2.718>综上，①③⑤是指数函数。2.已知指数函数f(x)=（a>0且a≠答案：将点(2,16)代入函数得=16因此f(x)3.若指数函数g(x)=(答案：指数函数单调递减的充要条件是底数0<a<解不等式：2m2m综上，m的取值范围是(,二、图像与性质4.比较下列各组数的大小：（1）与；（2）与；（3）与（已知≈1.414）。答案：（1）底数1.5>1，指数函数单调递增，因0.3<（2）底数0.8<1，指数函数单调递减，指数部分−0.1（3）底数3>1，单调递增，因≈1.4145.函数f(答案：定义域：指数函数的定义域为ℝ，故f(x)的定义域为值域：>0，因此+3>定点：指数函数恒过(0,1)，令x−1=06.已知指数函数y=（a>0且a≠q1）的图像与直线y=答案：交点(0,b)同时在指数函数和直线上，代入直线方程得将(0,1)代入指数函数得=1，对任意a>0三、指数运算与化简7.化简下列表达式：（1）(27（2）（a>0（3）（x>0答案：（1）27=，故；16=，故=因此原式=9（2）同底数幂相乘除，指数相加减：分子部分：；分母为，故原式=；（3）先处理系数和变量部分：系数：=，故=；变量部分：的−次幂为=，的−次幂为=；因此原式=×8.已知=5，=3，求答案：利用指数运算法则，=。代入已知=5，=3，得四、复合指数函数与最值9.求函数f(x)答案：令t=，因为x∈[−1,2原函数可化为f(t)=2这是一个关于t的二次函数，开口向上，对称轴为t=在区间[,4]上，最小值出现在对称轴t最大值出现在区间端点，比较t=和tf(f(故最大值为11，最小值为2。五、实际应用问题10.某种细菌的数量每小时增长20%，初始数量为1000个。（1）写出细菌数量N(t)（2）求5小时后细菌的数量（结果保留整数）；（3）若要使细菌数量超过5000个，至少需要多少小时？（参考数据：lg1.2≈答案：（1）指数增长模型为N(t)=×(1（2）当t=5时，N(5)（3）设需要t小时，满足1000×>5000，即>5。两边取常用对数得tl六、综合提升题11.已知函数f(x)=（（1）判断f(（2）若a>1，判断f(（3）当a=2时，解不等式答案：（1）定义域为ℝ，关于原点对称。计算f(−x（2）当a>1时，f(任取<，则f(因a>1，>，故>，即又−>−，故>（因为a>因此f()f()（3）当a=2时，f(x)=，由（1）知f(由（2）知f(x)单调递增，故1>x1，即x>12.已知函数y=k有两个零点，求实数答案：函数有两个零点即方程k=0有两个不同的实数解，即令f(x)=，其图像关于y轴对称，当x≥0时，f(x)因此f(x)的最小值为1（当x方程=k有两个解的条件是k>1（此时直线y=k与f(x)的图像在x>0和x<13.已知a>0且a≠（1）求f(（2）若f(1)（3）当x∈[1,2]时，答案：（1）令t=（t>0），则f(x)=t+（2）f(1)=a+=（3）当x∈[1若a>1，则t单调递增，t∈[a,]，f(x)=t+在t≥1时单调递增（导数f’(t)=1≥0当t若0<a<1，则t=单调递减，t∈[,a]（因a<1，故<a），此时f(x)=t+在0<t≤1时单调递减（导数f’(t)综上，a=2或14.解方程：4=答案：令t=（t>0），则=解二次方程：t=，得t=4因此=4，两边取对数