中考数学一轮复习：反比例函数

第十三讲：反比例函数

知识梳理

知识点L反比例函数的概念

重点：掌握反比例函数的概念

难点：理解反比例函数的概念

一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成丫=^或丫=10^（k为常数，k^O）

x

的形式，那么称y是x的反比例函数。

反比例函数的概念需注意以下几点：

（1）k是常数，且k，l、为零；

（2）上k中分母x的指数为1,如，y=-27就不是反比例函数。

X

（3）自变量x的取值范围是xwO的一切实数.

（4）自变量y的取值范围是ywO的一切实数。

例1、如果函数y=（加一I）/'为反比例函数，则〃？的佰是（）

A、一1B、0C、j_D、1

5

解题思路：由反比例函数的定义可知r-2=-1,解得m=±l,但须考虑（加一1）/C,则

m=-l

解答:A

2

练习当n取什么值时，y=（n+2n）X/+A】是反比例函数？

答案：当n=T时，

知识点2.反比例函数的图象及性质

重点：掌握反比例函数的图象及性质

难点：反比例函数的图象及性质的运用

k

反比例函数y=人的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于笫一、三象限

x

或第二、泗象限。它们关于原点对称、反比例函数的图象与X轴、y轴都没有交点，即双

曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。

画反比例函数的图象时要注意的问题：

（1）画反比例函数图象的方法是描点法；

（2）画反比例函数图象要注意自变屋的取值范围是xwO,因此不能把两个分支连接起来。

（3）由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0,所以画出的双曲线的两个分支要分别体

现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势。

反比例函数的性质

y二与（kwO）的变形形式为xy=k（常数）所以：

x

（1）其图象的位置是：

当k>0时，x、y同号，图象在第一、三象限；

当k<0时，x、y异号，图象在第二、四象限。

（2）若点（m,n）在反比例函数y=K的图象上，则点（-m,-n）也在此图象上，故反比例

x

函数的图象关于原点对称，

（3）当k>0时，在每个象限内，y随x的增大而减小：

当kvO时，在每个象限内，y随x的增大而增大；

k

例1如图，函数y=—与y=-kx+l（kNO）在同一坐标系内的图像大致为（）

解题思路：本题考查反比例函数图像与性质的应用，因为一次函数y=-kx+l与y轴的

交点为（0,1）,所以结论B和C都要可以排除.A中直线y=-kx+l经过第一、二、四象限，

-k<0,则k>0,而k>0时，双曲线y=七两分支各在第一、三象限，所以结论A可以排

x

除.故选D.

例2当n取什么值时，y=（n2+2n）x**1是反比例函数?它的图像在第几象限内?在每

个象限内，y随x的增大而增大或是减小？

解题思路：本题考察反比例函数的定义与性质，根据反比例函数的定义尸乙（kWO）

x

可知，要本题是反比例函数，必须且只须r）2+2nW0且1?+L1=-1.

解：y=（n2+2n）x献母"是反比例函数，则

n'ZnHO,n2+n-l=-l

.•.nXO且nH-2,门=0或(1=-1.

故当n=-l时，y=(n2+2n)x*+*］是反比例函数y=--.

x

Vk=-l<0,

・••双曲线两支分别在二、四象限内，并且y随x的增大则增大.

练习1已知点A（xey）、B%）是反比例函数）="■（火>0）图象上的两点,

x

若办〈OCX2，则有（）

A.y1<0<y2B.y2<0<C.乂<%<。D.y2<y\<0

2矩形面积为4,它的长），与宽x之间的函数关,系用图象大致可表示为（）

答案：LA2.B

知识点3.反比例函数解析式的确定。

重点：掌握反比例函数解析式的确定

难点：由条件来确定反比例函数解析式

(1)反比例函数关系式的确定方法：待定系数法，力于在反比例函数关系式y二月中,

x

只有一个待定系数k,确定了k的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x、y的

对应值或图象上点的坐标，代入y=K中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。

x

(2)用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：

①设所求的反比例函数为：y=-(kwO)：

x

②根据己知条件，列出含k的方程；

③解出待定系数k的值；

，④把k值代入函数关系式y二人中。

x

例反比例函数的图象经过A(1,-2),求反比例函数的关系式

解题思路：设反比例两数的关系式为)，=&,把点A(l,-2)代入y=&可得k=2则

xx

所求反比例函数的关系式为y=二

x

练习.已知点(-G,百)是反比例函数图象上的一点，则此反比例函数图象的解析式

是.

答案：y=—

x

知识点4.用反比例函数解决实际问题

反比例函数的应用须注意以下几点；

①反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意

将实际问题转化为数学问题

②针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系。

③列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围。

例某商场出售一批进价为2元的贺卡，在巾场营销中发现此商品的口销值单价x元与口

销售量y之间有如下关系:

X（元）3456

y（元）20151210

（1）根据表中的数据，在平面直角坐标系中描出实数对（x,y）的对应点；

（2）猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象；

（3）设经营此卡的销售利润为w元，试求出W与X之间的函数关系式，若物价局规定此卡

的售价最高不超过10元/个，请求出当日销售单价定为多少元时，才能获得最大销售利润？

解题思路：（1）注意两个变量之间的关系。（2）观察数据特点xy=60,可知y与x之间的反

比例函数关系：（3）注意销售利润;（销售单价-进价）X销售数量即：w=（x-2）y=（x-2）f

190

则y=60-------由于xWIO当x=10时y最大

x

练习

某气球内充满了一定质量的气球，当温度不变时，气球内气球的压力p（千帕）是气球的体积

V,（米2）的反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位）

（1）写出这个函数的解析式；

（2）当气球的体积为0.8立方米时,气球内的气压是

多少千帕？

（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，

为了安全起见,气球的体积应不小于多少立方米？

962

答案：（1）〃=一（2）120（3）一

v3

知识点5.反比例函数综合

例：如图，反比例函数），二X的图象与一次函数y=〃吠+〃的图象交于4（1,3）,8（〃,—1）两

X

点.

（1）求反比例函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象回答：当1取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值

解题思路：（1）由41,3）在），=&的图象上，贝Ijk=3,反比例函数关系式为y=3

XX

由8（〃,一1）也在y=3的图象上，则n=-3,所以B（-3,把41,3）

x

B.（-3,-1）代入y=+中，由待定系数法可求得m和b.

.（2）由图象可知：当x=-3或1时反比例函数的值等于一次函数的值，再结合图象回

答。

解答：（1）・.・41,3）在），=与的图象上，

x

.•M=3,.■.），=』又•・•B5,—1）在），=3的图象上，

xx

3=，〃+〃

.•.〃=一3,即

-1=-3m+b,

3

解得：机=1,b=2,反比例函数的解析式为＞二,，

X

一次函数的解析式为y=x+2,

（2）从图象上可知，当工＜一3或0＜冗＜1时，

反比例函数的值大于一次函数的值.

例2反比例函数），=或的图象如图所示，点V是该函数图象卜一点.MV

x

垂直于X轴，垂足是点出如果Szum=2,求★的值

分析：设M（x,y）又根据△MON的面积与点M的关系可得：

5"1|孙卜g|A:|=2,所以k=±4,又函数图象在第二、四象限，则k=-4

20

练习1.如图，矩形A0CB的两边0C,0A分别位于x轴，y轴上，点B的坐标为B(-3,

5),D是AB边上的一点，将△AD0沿直线0D翻折，使A点恰好落在对角线0B上的点E处,

若点E在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是______.

L1b

2.两个反比例函数y二上和尸乙在第一象限内的图像如图3所示，点P在y=上的图像.匕

XXX

PC_Lx轴于点C,交y=L的图像于点A,PD_Ly轴于点D,交y=，的图像于点B,当点

XX

P在y='的图像上运动时，以下结论：

x

①AODB与AOCA的面积相等；

②四边形PAOB的面积不会发生变化；

③PA与PB始终相等

④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点.

其中一定正确的是_______(把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分).

答案：1.y=—2.①②④

x

最新考题

综观2009年全国各地的中考数学试卷，反比例函数的命题放在各个位置都有，突出考

杳学生的数形结合思想、学科内综合、学科间综合、实际应用题、新课程下出现的新题等方

一面，在考查学生的基础知识和基本技能等基本的数学素养的同时，加强对学生数学能力的

考杳，突出数学的思维价值。函数题型富有时代特征和人文气息，很好地践行了新课程理念,

“学生的数学学习内容应当是现实的，有意义的，富有挑战性的。”

2010年中考反比例函数复习策略：

1.抓实双基，掌握常见题型：

2.重视函数的开放性i式题：

考查目标一.反比例函数的基本题

例1（09江苏省淮安市人在函数），=—^中，自变量：的取值范围是（）。

x—2

A、xHOB、x22C、x<2D、xH2

解题思路：根据反比例函数尸A（kWO）,自变量的取值范围,X-2W0,得xW2。

x

答案：D

例2.（09浙江台州）反比例函数），=--图象上一个点的坐标是。

x

解题思路：按照要求写一对符合函数的有序实数。

答案：略。

点评：函数图象的点与符合函数的有序实数对一一对应，这是一道结论开放的填空题，新颖、

独特，也让学生感受数学的灵动性，感受数学的无限魅力。

考查目标二.反比例函数的图象

例1.（08湖北省十堰市）根据物理学家波义耳/662年的研究结果：在温度不变的情况下,

气球内气体的压强,3）与它的体积“柏的乘积是一个常数k,即”=内左为常数，k>6,

下列图象能正确反映"与『之间函数关系的是（）。

解题思路：p=~（k>0）,如果不与实际相结合，图象分布在一、三象限，但事实上，自

y

变量的取值范围应为y>0。

答案:Co

例2已知反比例函数），=K（Z<0）的图像上有两点A（X],『]）,B（占，力），且FC0，

x

则y-%的值是（）

A、正数B、负数C、非正数D、不能确定

解题思路：kVO,反比例函数图象双曲线两个分支分别位于二、四象限，若A、B两点

都在第二或四象限（否（/），由性质可知：yt-y2<0；若A点在第二象限，B点在第四

象限（K]<），兄一%>3所以不能确定。

解答：D

考查FI标三、反比例函数图象的面积与k问题

例1、反比例函数），二七（A＞0）在第一象限内的图象如图1所示，尸为该图象上任一

x

点，轴，设的面积为S,则S与A之间的关系是（）

A.S=-B.S=-C.D.S＞k

42

解题思路:设P（x,y）S/刎=加（A＞0）则

解：选B.

说明：由上述分析过程我们可以得出这样的结论：从同一反比例图象上一点尸作才轴的

垂线国所围A/W面积，为®

2

4

例2.（08山东潍坊）设P是函数〃二二在第一象限的图像卜仔意一点.

X

点P关于原点的对称点为P'，过P作PA平行于y轴，过P'作P'A

平行于x轴，PA与P'A交于A点，则NAP的面积（）

A.等于2B.等于4C.等于8D.随P点的变化而变化

解题思路：点P关于原点的对称点为P',P与P'的横坐标与纵坐标都互为相反数，P'A

2工2），$=JPAxPA=2xpyp=2x4=8

=P,PA=）P2

答案:8o

考查目标四.利用图象，比较大小

_k

例1.（08泰安市）已知三点68',）,£（“2，外）,巴（1-2）都在反比例函数.X的

图象上，若*々＞0,则下列式子正确的是（）

Ay＜%＜。B.乂＜0＜）'2

Cy＞），2＞0D乂＞°＞必

2

解题思路：P3（1,-2）是一隐含条件，求出k,则根据反比例函数），二--的图象分布,

X

可得出函数值的大小。

答案：D

考杳目标五.反比例函数经常与一次函数、二次函数、圆等知识相联系

C

2

例1.（四川省眉山市］如图，A、B是反比例函数尸一的图象上的两点。AC、BD都垂直

于x轴，垂足分别为C、D。AB的延长线交x轴于点E。若C、D的坐标分别为（1,0）、

（4,0）,则ABDE的面积与AACE的面积的比值是（）

A.2B.4c.BD.16

解题思路：A、B均在反比例函数图象上，又都知道横坐标，可求出点A、B的坐标分别为（1,

।y-A-1—

2）、（4,-）,求出过A、B的直线：22,令丫町得x=5；所以E点坐标（5,0）,

2

所以CE=4,DE=1,4BDE与4ACE相似,面积比等于相似比的平方。

答：Do

y=—x2+（—+l）x+/n

例2.（09扬州）如图，二次函数.44（派4）的图象与无轴相交于点月、

8两点.（1）求点儿8的坐标（可用含字母，〃的代数式表示）；

9

（2）如果这个二次函数的图象与反比例函数y二乙的图象相交于点C,且/阴。的余弦值为

4

一，求这个二次函数的解析式.

5

y=—x2+（―+l）x+1\

略解：（1）44

令）'=0,可解得x=T,x=一利;

・・・团＜4,

・-m>-4

AA(-4,0),

B(-〃必。

4

(2)RTZXA0D中，C0SN加小5,A0=4,

AAD=5,0D=3e

）=7+3

求出过A、1）的直线为：4,

3q999

y=—x+3y=———

由4与工求得C点坐标（2,2）,把露，2）代入二次函数求得机=1,

y=­I

所以所求二次函数解析式：44

过关测试

一、选择题:

1、小华以每分钟x字的速度书写，y分钟写了300个字，则y与x的函数关系式为（）

300公300(0x+y=300(D)y=30Q~X

(A)x二——(B)

x

2、如果反比例函数y=A的图像经过点（一3,-4）,那么函数的图像应在（

x

A、第一、三象限B、第一、二象限

C、第二、四象限D、第三、四象限

3、若反比例困数y=（2w-l）x"‘"的图像在第二、四象限，则〃?的值是（）

A、一1或1B、小于』的任意实数C、-1D、不能确定

2

4、下列函数中y随x的增大而减小的是（）

9113

A、y=——（x<0）Iky=—C、y=—（x>0）【）、y=2x

XXX

5、正比例函数y=和反比例函数），二K在同一坐标系内的图象为（

)

x

C

D

6、在函数y=&（k<0）的图像上有A（l,yI、B（-l,y2）、口一2,丫3）三个点，则下列各式

x

中正确的是（）

(A)y।<y2<y3(B)y,<y3<y2(0y3<y2<y।(D)y2<y3<y1

k

7、、如右图，A为反比例函数y=±图象上一点，AB垂直x轴于B点，若S&M»=3,则攵的

x

值为（）

3

A、6B、3C.-D、不能确定

2

8、在同一直角坐标平面内，如果直线y=%x与双曲线），二&■没有交点，那么匕和匕的

x

关系一定是（）

A%<0,k2>0B卜〉0,k2<0C占、阳同号D%、k2

异号

・9、若点（xi,yi）>（x2,y2）>（x3,y。都是反比例函数y=—工的图象上的点，并且均<（）

x

VX2VX3,则下列各式中正确的是（）

A、yi<y2<y.3B、y2<y3<yiC>y3<y2<y）D、yi<ys<yz

10、点A（a,b）^B（a—1,c）均在函数y=工的图象上，若a<0,则b与c的大小关系

x

是（）

Asa>cB、bVcC、b=c

I_k

11.在反比例函数y的图象的每一条曲线上，）都随x的增大而增大，则攵的值可

x

以是（）

A.-1B.0C.1D.2

12.一个直角三角形的两直角边长分别为筋y,其面积为2,则y与x之间的关系川图象

表示大致为（）

二、填空题：

1、右图是反比例函数），=§的图象，则在与。的大小关系是衣0：____

2、已知y是x的反比例函数，当x=3时，y=4,则当才=2时尸；'

3、反比例函数y=&（A〉O）在第一象限内的图象如图，点M是图像上一点，\

MP垂直1轴于点P,如果△M0P的面积为1,那么女的值是：

OPx

4、已知y-2与x成反比例，当x=3时，y=1,则），与x间的函数关系式为；

5、在体积为20的圆柱体中，底面积S关于高h的函数关系式是；

2

6、对于函数｝■=­>当X>2时，y的取值范围是<y<：当x<2时且XW0

X

时，y的取值范围是y1,或y。（提示：利用图像解答）

三解答题

1、如图，一次函数），="+〃的图象与反比例函数y=-的图象相交于A、B两点

x

（1）根据图象，分别写出A、B的坐标：

（2）求出两函数解析式：

（3）根据图象回答：当工为何值时，

一次函数的函数值大于反比例函数的函数值

2、如图，RMAB0的顶点A是双曲线），=人与直线）,=一工一（4+1）在第二象限的交点,

x

3

ABIX轴于B且SAAB0=-

2

（1）求这两个函数的解析式

（2）A,C的坐标分别为（-,3）和（3,1）求△AOC的面积。

3、如图，已知反比例函数y=—的图象经过点A（1,-3）,一次函数y=kx+b的图象

x

经过点A与点C（（）,-4）,且与反比例函数的图象相交于另一点B.

试确定这两个函数的表达式;

4、如图，一次函数)，二丘+力的图像与反比例函数)，=匕的图像相交于A、B两点,

x

Q