浙江省湖州市安吉县2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷（含答案）

浙江省湖州市安吉县2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、

错选均不给分）

1.下列函数中，是二次函数的是（）

A.y=xD.y=x-2

2.下列各事件中，是必然事件的是（）

A.a是实数，则|a|<0

B.三角形内角和是180°

C.掷一枚硬币时，正面朝上

D.任意买一张电影票，座位号是单号

3.二次函数y=2（无一3）2+1的图象的顶点坐标是（）

A.（2,3）B.（2,1）C.（3,-1）D.（3,I）

4.已知。。的半径为3,点P到圆心。的距离为d,若点P在圆外，则d的取值范围（）

A.d<3B.d=3C.d>3D.0<d<3

5.将抛物线y=（%-2）2+1向左平移1个单位长度，向下平移2个单位得到抛物线的解析式为（）

A.y=（x-I）2+3B.y=（x-I）2-1C.y=（x-3）2-1D.y=（x4-1）2-1

6.如图，四边形ABCD内接于（DO,AB为。O的直径，点C为盛的中点，若NDCB=150。，则NABC的度

数为（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

7.为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm）,则该铁球的直

径为（）

A.4cmB.8cmC.5cmD.10cm

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8.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角a,得到△ADE,若点E恰好在CB的延长线上，则NBED等于

A.aB.2aC.180°+aD.180-a

9.如图，菱形ACBD中，AB与CD交于。点，ZACB=12O°,以C为圆心AC为半径作弧AB,再

以C为圆心，CO为半径作弧EF分别交AC于F点，BC于E点，若CB=2,则图中阴影部分的面积为

2

10.定义：如果代数式4=a1/+必》+。］伍［工0@,匕］,0是常数）与B=a2x4-b2x+c2（ti2^0,a2,

b2,c?是常数），满足的=a2,b1+B=0,4=。2,则称这两个代数式A与B互为“同构式”，下列四个结

论：

①代数式2-+%-3的“同构式”为2X2-X-3；

②若代数式2m/+几工+5与6nx2+3x+5互为“同构式”，则m+n=6；

③若A、B互为“同构式”，且方程A+B=0有两个不相等的实数根，则。遥1>0；

④若A、B互为“同构式"，A=X2-2X+8,函数y=|A-2B|的图象与直线y=m有4个交点，则OgmW.其

中，正确的结论有（）个.

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分）

11.函数y=Q+1）2+2的最小值是

12.直角三角形的两直角边长分别为5和12,则此三角形的外接圆的半径是

13.在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球.这些球除颜色外都相同.若从袋子中随机摸出1个球，摸

到红球的概率为算贝必=.

14.如果一个正n边形的每个内角是144。，则片

15.已知一.次函数y=ax2+hx+c（a=0）图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么

方程ax2+bx+c=0的解是.

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X・..-I012

y0343

16.如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=2,P是CD边上一动点，以DP为直径作。0于点Q,连接

BQ,点P从点D出发，沿DC方向运动，当点P到达点C时，点P停止运动.在整个运动过程中，线段

BQ的最小值为

三、解答题（本题共有8小题，17-21题每小题8分，22-23题每小题10分，24题12分）

17.已知抛物线.y=ax2+2x-3上（a是常数）经过点A（l,0）.

（1）求二次函数解析式；

（2）判断点（2,4）是否在这个二次函数图象上，并说明理由.

18.黄埔中学开展以“中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年”为主题的大合唱活动，九年级准备

从小明、小东、小聪三名男生和小红、小慧两名女生中随机抽选学生担任领唱.

（1）若只选一名学生担任领唱，则选中女生的概率是;

（2）若从5名的学生中随机选出两名学生担任领唱，请用树状图或列表法求选中一男一女的概率.

19.二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x=-l,与y轴的交点为（（），3）,与x轴的一个交点为（1,

0）.

（1）求这个二次函数的解析式;

（2）观察图象，当y>0时，直接写出自变量x的取值范围.

20.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点的坐标分别为A（2,3）,B（2,I）,C（5,1）,把

△ABC绕着点A按逆时针方向旋转90。得到^AEF,点B的对应点为E,点C的对应点为F.

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(1)在图中画出△AEF；

(2)点E的坐标为,

(3)求点C的运动路径长.

21.某食品经销商购进一种食品若干千克，成本价为每千克30元，物价部门规定其销存单价不得低于成本

价，且不得高于成本价的2倍.经市场调研发现，日销售量y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)在销售过程中，当销售单价为多少元时，该经销商每天获得的利润最大?最大利润是多少元?

22.如图1,CD是^ABC的外角NECB的角平分线，与^ABC的外接圆。O交于点D.

(1)若NECB=12O。,

①求而所对圆心角的度数；

②连结DB,DA,求证：4ABD是等边三角形.

(2)如图2,若NADB=45o.AB=2,求△ABD的面积.

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23.已知二次函数y=%2-(a4-2)x+2cz4-1,

(1)若a=4,求函数的对称轴和顶点坐标；

(2)若函数图象向下平移1个单位，恰好与x轴只有一个交点，求a的值；

(3)若抛物线过点(-2,yo),且对于抛物线上任意一点(xi,yi)都有.%一丫。,，若点A(m,n),B(2-m,p)

是这条抛物线上不同的两点，求证：n+p>-12.

24.如图1,在。O中，AB、CD是直径，弦BE_LCD,垂足为F.

(1)求证：CE=AD；

(2)如图2,点G在CD上，且NCAG=NABE.

①求证：AG=BC；

②若FG=2,BE=4VT5求0G的长.

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答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】解：A、y=x,不符合定义，故本选项不符合题意；

B、y=3,不符合定义，故本选项不符合题意；

C^y=x2,符合定义，故本选项符合题意；

D、y=%-2,不符合定义，故本选项不符合题意；

故答案为：C.

【分析】二次函数的一般形式为y=ax?+bx+c(a、b、c为常数，且》0),据此判断.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：A、Q是实数，则|Q|VO,是不可能事件，故不符合题意；

B、三角形内角和是180。，是必然事件，故符合题意；

C、掷一枚硬币时•，正面朝上，是随机事件，故不符合题意；

D、任意买一张电影票，座位号是单号，是随机事件，故不符合题意：

故选：.

故答案为：B.

【分析】根据事件的分类逐一判断即可解答.

3.【答案】D

【解析】【解答】解：抛物线y=2(%—3尸+1的顶点坐标为(3,1),

故答案为：D.

【分析】直接根据二次函数的顶点式y=a(x-hT+k写出顶点坐标(h,k)即可.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：...点P在。。外，。。的半径为3,

：.d>3,

故答案为：C.

【分析】根据点与圆的位置关系“点到圆心的距离d大于圆的半径r,则点在圆外''解答即可.

5.【答案】B

【解析】【解答】解：将抛物线y=(x-2产+1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，

得到抛物线的解析式为y=(x-2+I)?+1-2=。-1产一1,

故答案为：B.

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【分析】根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减''解答即可.

6.【答案】D

【解析】【解答】解：连接力C,

♦.•四边形内接于。0,

:.乙DAB+Z.DCB=180°,

•••Z-DCB=150°,

•••乙DAB=30°,

•••点C为的的中点，

•••Z.DAC=Z.BAC=15°,

•••48是直径，

乙ACB=90°,

...Z.ABC=90°-Z.CAB=90°-15°=75°,

故答案为：D.

【分析】连接4C，根据圆内接四边形的对角互补和圆周角定理及推论得到乙&48=15。，AACB=90°,根据

直角三角形的两锐角互余解答即可.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：连接OC、AB、OA,OC交AB于E,

•••CD是。。的切线，C点为切点，

AOC1CD,

VAB//CD,

AOC1AB,

VAB=8,

.\AE=1AB=1X8=4,

设OA=r,OE=r-2,

VOA2=OE2+AE2.

Ar2=(r-2)2+42,

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故答案为：D.

【分析】连接OC、AB、OA,0C交AB于E,由CD是。。的切线，可得OC_LCD,由AB/7CD可得

OC1AB,根据垂径定理可得AE的值，再利用勾股定理列出关于「的方程，即可得出答案.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：由旋转得乙48。=Z.ADE,

VZABC+ZABE=180%

.\ZABE+ZADE=180°,

又•・•ABED是四边形，

ZABD+ZBAD+ZD+ZBED=360°,

又「NBADna,

.•.180°+a+ZBED=360°,B|JZBED=1800-a

・•・△ACE是等月要三角形，乙C=^AEC,

故答案为：D.

【分析】先由旋转性质得到乙4BC=^ADE,然后根据四边形的的内角和定理即邻补角的定义表示ZBEO的度

数即可.

9.【答案】A

【解析】【解答】解：解：•••四边形力G5。是菱形，Z-ACB=120°,

:.Z.DCA=葭ACB=60°,AB1CD,AD=BC=AC=2,

/-CBA=Z-CBA=1(180°-AACB)=30%^AOC=90°,

...OC=1/16=ix2=1,

在&ZiAOC中，由勾股定理得：AO=V22-I2=V3»

-AC=AD,/.ACD=60°,

••.△力8是等边三角形，

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CD=AC=2,

DO=CD-OC=2-1=

.•・阴影部分的面积s=s扁*-，"。4=喑-品1X6=普-导

故答案为：A.

【分析】根据菱形的性质得出ZJ9以=,乙4cB=60。，AB1CD-AD=BC=AC=2,求出4。和。。的长，

再求出扇形DC4的面积和△AOD的面积，即可求出答案.

10.【答案】A

【解析】【解答】解：①代数式2/+X—3的“同构式”为2/—X—3,故①正确;

②若代数式27nx2+几工+5与6几/+3%+5互为“同构式”，

则12m=6n

解得：m=—9,n=-3,

m+n=-12,故②不正确；

③若48互为“同构式”，且方程A+B=0有两个不相等的实数根，

-4x2alx2cl>0,

：■—>0,

•••ag<0,故③不正确；

④若A、8互为“同构式"，/I=x2-2x4-8,则8=/+2x+8,

二函数y=\A-2B\=|—x2-6x-8|,

y=-x2-6x-8=-(x+3)2+1,

••・顶点为(-3,1),

••・函数函数y=|A-2B|的图象与直线y=m有4个交点，贝故④不正确.

故答案为：A.

【分析】根据新定义判断①；根据新定义求出m和n的值，然后代入求出m+n的值判断②；根据一元二次

方程根的判别式判断③：根据二次函数的性质判断④即可.

1L【答案】2

【解析】【解答】解：函数y=。+1)2+2中，

•・・a=l>O・•・抛物线有最小值,

・••当》=-1时，函数的值最小，最小为2,

故答案为：2.

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【分析】根据抛物线顶点坐标可得最小值即可.

12.【答案】6.5

【解析】【解答】解：该直角三角形的斜边长为J52+122=1斜

直角三角形的外接圆的半径是13:2=6.5,

故答案为：6.5.

【分析】根据勾股定理求出斜边长，然后90。的圆周角所对的弦是直径解答即可.

13.【答案】8

【解析】【解答】解：由题意可知从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为品；，

,a_2

•,H+4=3'

/.a=8,

故答案为：8.

【分析】直接利用概率公式列出概率计算式，即可求出a的值.

14.【答案】10

【解析】【解答】解：•.•正九边形的每一个内角为144。，

则正九边形的内角和为144°,

(n-2)x180°=nx1440,

整理得36n=360,

解得n=10.

故答案为：10.

【分析】根据正多边形的内角和列H方程求解.

15.【答案】Xj=-1,x2=3

【解析】【解答】解：根据表格可知：点(一1,0),(0,3),(2,3)在二次函数图象上,

・•・二次函数的对称轴为x=嘤即x=1,

・••点(-1,0)关于对称轴x=1的对称点为(3,0),

・,•方程+bx+c=0的根为=—1,%2=3；

故答案为尢2=3.

【分析】根据表格中数据可得二次函数的对称轴为直线％=竽=1然后根据对称性得到抛物线与X轴的交

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点坐标即可解答.

1G.【答案】V10-1

【解析】【解答】解：如图所示，连接DQ,取4。的中点E,连接EQ,

•••。。是。0的直径，

・"OQP=乙DQA=90°,

由此可知，Q在以点E为圆心，OE为半径的圆上运动，如图所示,

•・•四边形力BCD是矩形，

：.AB=CO=3,AD=BC=2,

ii

；・EQ=^AD=/2=1,

在RtMBE中，

BE=>/AB2+AE2=V324-1=VIU，

，：BQ>BE-EQ,

・•・当点B,E,Q三点共线时•，8Q最小，且BE-EQ=aU-l,

故答案为：au-i.

【分析】连接DQ,取4D的中点E,连接EQ,根据圆周角定理可知〃QP=々DQ4=90。，则点Q在以点E为

圆心，DE为半径的圆上，然后根据勾股定理和三角形三边关系解答即可.

17.【答案】(1)解：将点4坐标代入,=。/+2%-3得，

a+2-3=0,

解得Q=1,

所以二次函数解析式为y=/+2丫一心

(2)解：不在，理由如下：

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将％=2代入y=x2+2x-3得，

y=4+4-3=5《4,

所以点(2,4)不在这个二次函数图象上.

【解析［【分析】(1)将点力坐标代入抛物线解析式求出a的值即可.

(2)将x=2代入(1)中所求函数解析式，求出y的值判断即可.

18.【答案】(1)|

(2)解：画树状图得：

开始

男男女女男男女女男男女女男男男女男男男女

♦・•共有20种等可能的结果，选中一男一女的有12种情况，

・,・选中一男一女的概率为课=占

【解析】【解答］解：(1)只选一名学生担任领唱，则选中女生的概率是看

故答案为:

【分析】(1)直接根据概率公式求解即可；

(2)苜先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中一男一女的情况，再利用概率

公式即可求得答案.

19.【答案】(1)解：•••二次函数图象对称轴是直线％=-1,

•••设解析式为y=a(%++k,

把点(0,3),(1,0)代入解析式可得

解得｛［"

・•・二次函数的解析式为y=-(x+I)?+4.

(2)-3<x<1

【解析】【解答】解：(3)•.•二次函数的图象的对称轴是直线％=-1,与x轴的一个交点为(1,0),

由对称性可知，与不轴的另一个交点为(-3,0),

••・由图可知，当y>0时，自变量》的取值范围是一3vxV1.

故答案为：-3<x<1.

【分析】(1)利用待定系数法求一一次函数的解析式即可：

(2)利用抛物线的对称性可得抛物线与x轴的两个交点坐标，然后结合函数图象得到x轴上方自变量x的

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取值范围即可.

20.【答案】(1)解：如图，即为所求;

(2)(4,3)

(3)1?：vAC=y/22+32=V13»

.••点C的运动路径的长=90X置尸=芈兀.

1802

【解析】【解答】(2)解:由(析可得E(4,3).

故答案为：(4,3).

【分析】(1)利用旋转变换的性质分别作出从C的对应点E,广即可；

(2)根据点的位置确定坐标；

(3)利用弧长公式求解.

21•【答案】(1)解：设y与％之间的函数关系式为y=kx+b,

•••该函数的图象过(30,80),(50,40),

.(30k+b=80绍徂［k=-2

"l50k+b=40f=140,

y与%之间的函数关系式为y=-2x+140.

(2)解：设利润为w元,

则w=(X-30)(-2x+140)=-2x2+200%-4200=-2(x-50)2+800,

-2<0,且30<%<60

•••当％=50时，w有最大值，最大值为w=800,

•・,当销售单价为50元时，该经销商每天获得的利润最大，最大利润是800元.

【解析】【分析】(I)运用待定系数法求一次函数的解析式即可；

(2)设利润为w元，根据利润=单利润X销存量列函数关系式，配方得到顶点式即可求出最值解答即可.

22.【答案】(1)①解：•••NECB=120。,

•••乙4cB=180°-乙ECB=60°.

•••”所对圆心角的度数=24AC8=120°；

②证明：•••CD是△ABC的外角“C8的角平分线，

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•••乙ECD=乙BCD=葭ECB=1x120°=60°.

•••/.DAB=乙DCB,

，Z.DAB=60°,

•・•NECD为圆内接四边形CABO的夕卜角，

Z-ABD=乙ECD=60°,

•••iADB=ACS=60°,

•••Z.ADB=匕DAB=乙ABD=60°,

48D是等边三角形；

（2）解：连接。。并延长交48于点H,连接04,OB,如图,

则乙4。8=2Z.ADB=2X45°=90°,

•••OA=OB,

.•・△04B为等腰直角三角形，

OA=OB=^AB=鱼，

:.OD=OA=V2.

••・CD是A4BC的夕卜角々ECB的角平分线,

•••乙ECD—乙BCD=乙ECB,

・••MCD为圆内接四边形。的外角，

:.Z.ABD=4ECO.

乙DAB=乙DCB,

：•Z-ABD=乙DAB,

:.DA=DB,

M

••・DH1AB.

•.AH=DH=1,

:.OH==1,

：.DH=OD+OH=戊+1.

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.*.△的面积为:48xDH=^\2xDH=V2+1.

【解析】【分析】(1)①根据邻补隹的定义求出/ACB的度数，然后根据圆周角定理解答即可；

②根据角平分线的定义得到NECD=NBCD,根据圆周角定理和圆的内接四边形的性质得到乙48。=

LECD=60°,然后证明结论即可；

(2)连接。。并延长交力?于点”，连接。力，OB,利用圆周角定理求出NAOB的度数，即可得到△。4B为等

腰直角三角形，根据勾股定理求出04=08=鱼；即可得到OH148,然后根据直角三角形斜边中线性质

求得。凡根据三角形的面积公式计算即可.

23.【答案】(1)解：当Q=4时，二次函数为y=/-6%+9,

对称轴公式为x=—W，此时a=l，b——6»所以％=5=3,

2a2

将无=3代入函数得y=32—6x3+9=0,

所以顶点坐标为(3,0)；

(2)解：函数图象向下平移1个单位后，解析式为y=/-(a+2)x+2a,

因为平移后与x轴只有一个交点，所以判别式/=[-(a+2)]2一4x1x2a=a2+4a+4-8a=/-4a+

4=("2)2=0,

解得Q=2；

(3)解：y=%2-(a4-2)x+2a+1的对称轴为％=嘤=-2,解得a=-6；

此时函数解析式为y=/+4%-11,

二•点4(讥,九)，8(2-m,p)在抛物线上,

An=m24-47n—11,

p=(2-m)2+4(2—TH)-11=m2-4m+4+8-4m-11=m2-8m+1,

则几+p=m2+4m-114-zn2-Sin4-1=2m2—4m-10=