2026人教版九年级数学上册《实际问题与一元二次方程》专项复习

第25章实际问题与一元二次方程精讲精练练习题

一、知识点归纳

【知识点1一元二次方程实际问题中的常见数量关系】

1.几何问题

（1）面积公式：S长方形=ab,S正方形=Q2,S圆=仃2，S三角形九；

说明：①。，〃分别为长方形的长、宽；

②。为正方形的边长；

③，为圆的半径；

④。为三角形的一边长，力为边长为〃的边上的高.

（2）体积公式：V长方体=ab/b%方体=h圆柱="R2无，P圆锥=57rA?从

说明：①。，b,分别为长方体的长、宽、高；

②。为正方体的棱长；

③区为圆柱底面圆的半径，/?为圆柱的高；

④/?为圆锥底面圆的半径，力为圆锥的高.

2.传播问题

传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的二二轮传染后被传染的总数.

3.计数问题

若参赛队伍数为〃，则单循环赛中每队比赛场数为（九-1）场，比赛总场数为号2场.

双循环赛中每队比赛场数为2（71-1）场，比赛总场数为n（72-1）场.

4.数字问题

百位数十位数个位数

两位数十位数字个位数字三位数

字字字

10x+yX100a+10/)

abC

5.平均增长（降低）率问题+C

设增长（降低）的基数为〃，每次的平均增长率（降低座）为l，增长（降低）〃次后的数量

为b,

则增长率公式为a（l+%）n=b,降低率公式为Q（l-K）n=b.

6.销售利润问题

（1）利润=售价一进价；

⑵利润率=g|XI。。％=咿XI。。％；

(3)售价二进价x(l+利润率);

(4)总利润二每件商品的利润X销售量=总收入一总支出.

【知识点2列一元二次方程解应用题的一般步骤】

可简单地分为审、设、歹I」、解、验、答六个步骤.

(1)审：认真审题，分析题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系；

(2)设：用字母(如x)表示题目中的一个未知量；

(3)歹!J：根据等量关系，列出所需的代数式，进而列出方程；

(4)解：解方程，求出未知数的值；

(5)验：检验方程的解是否符合实际意义，不符合实际意义的舍去；

(6)答：写出答案(包括单位名称).

二、精选例题

【题型1传播与裂变问题】

【例1】冬春季是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，流感病毒是我国急性呼吸道传染病主

要病原体.某班级最初有2人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有32

人患流感，若设每轮传染中平均一人传染了x人，则根据题意，可列方程为()

A.2(1+X)2=32B.2+2x+4f=32

C.2+2x+x(l+x)=32D.x+x(2+2x)=32

【变式LI】春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长.这株植物的主干先长出若干支干，每根

支干又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21,若设主

干长出x支支干，则根据题意可以列方程为()

A.(1+X)2=21B.1+X+X2=21

2

C.1+X+(1+X)=21D.1+(1+X)+(1+X)2=21

【变式1・2】有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，设每轮传染中平均一个人

传染”个人，则第三轮传染后共有()个人患流感.

A.8B.9C.648D.729

【变式1・3】数学活动课上，同学们与AI智能体进行数字传播闯关游戏.AI智能体给出规则：

游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数

量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播.经

过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码.求每一轮传播中，1名同学传给多少

名新同学.

【题型2握手与比赛问题】

【例2】随着校级足球联赛的持续升温，校园足球氛围愈发浓厚，为丰富同学们的课余生活，

增强团队凝聚力，学校决定举办校级足球联赛.第一阶段采用分赛区单循环积分赛制，即每支

参赛球队需与其他所有球队各进行一场比赛.已知共进行28场比赛，且无任何重复对阵.若

设参赛球队总数为〃支，则可列出关于〃的方程为()

A.1斤28B.〃«+1人28C.誓=28D.^^=28

【变式2・1】九年级(1)班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，

全班学生共写了870份留言.则全班有名学生.

【变式2・2】某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学

共有多少人？设参加聚会的同学共有x人.

(1)填空：根据题意，可列方程：

⑵我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的

对角线有2条，多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以,

请说明理由.

【变式2・31九年级举办了乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制(即每位参赛者与其他参赛者各比

赛1场)，嘉嘉说：“本次比赛一共进行了40场.”淇淇说：“你说的不对，按这个赛制不应该

是40场.”设有x人报名参加比赛.

⑴依据两人对话，乐乐列出方程：|x(x-l)=40.请用乐乐所列方程分析淇淇的说法是否正确；

(2)赛后经查询发现，因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，所以比赛才进行了4()

场，求x的值.

【题型3数字问题】

【例3】一个两位数等于它个位上的数的平方，且个位上的数字比十位上的数大3,则这个两位

数是()

A.25B.36C.25或36D.无法确定

【变式3・1】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小4,如果把这个数的个位数字

与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小18,求原来的两位数.

【变式3・2】在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，橘橹灰飞烟灭，然天

妒英才，英年早逝.欣赏下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流人物.而立之年督东

吴，早逝英年两位数.十位恰小个位三，个位平方与寿符.”则这位风流人物去世时的年龄为

()

A.36岁B.38岁C.40岁D.42岁

【变式3・3】一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大3,百位上的数字等于个位上的数字

的平方.如果这个三位数比它个位上的数字与十位上的数字的积的25倍大202,则这个三位数

是.

【题型4增长率问题】

【例4】某商店今年春季热销解渴饮品，三月份该饮品销量为200杯，随着气温不断回升，若连

续两个月的销量逐月匀速上涨，预计五月份的销量能达到288杯.设四、五这两个月每月销量

的平均增长率为黑那么x满足的方程为()

A.200+200(l+x)=288B.200+200(l+^)+200(l+x)2=288

C.200+200X+200X2=288D.200(1+X)2=288

【变式4・1】某商品原价为100元，经过两次降价后售价为81元，若两次降价的百分率相同，

则每次降价的百分率为()

A.9%B.10%C.11%D.12%

【变式4・2】某商场今年1月份的营业额为200万元，3月份的营业额达到288万元，若这两个

月营业额的月平均增长率相同，则每个月的平均增长率为()

A.10%B.20%C.25%D.30%

【变式4・3】2025年安徽省新能源汽车产量、出口量均跃居全国首位.据统计，安徽省2024年

新能源汽车产量较2023年增长94.5%,2025年较2024年增长6.6%.若设这两年安徽省新能源

汽车产量的年平均增长率为x%,则可列出的方程是()

2

A.94.5%+6.6%=x%B.(1+94.5%)(1+6.6%)=(1+x%)

C.(1+94.5%)(1+6.6%)=2(1+x%)D.94.5%+6.6%rfx%

［题型5商品营销问题】

【例5】某奶茶店销售一款招牌奶茶，每杯成本为5元.当售价为15元/杯时，平均每天能售出

300杯.市场调查发现，售价每降价1元，平均每天就能多售出5()杯,店主希望扩大销量，

提高知名度，且使每天的销售利润仍保持在30()()元，则每杯奶茶应降价元.

【变式5-1】红薯丰收时节，某农户在地头批发销售,定价为3元/kg,当购买红薯的质量超过250kg

时\每多购买25kg,红薯的单价降低0.2元/kg,但要求红薯的单价不低于2元/kg.已知某零

售商购买红薯的质量超过了300kg,且支付农户的费用为770元，求该零售商购买红薯的质量.

【变式5・2】APEC会议预计于2026年11月在深圳举行，这是中国第三次担任此会议的东道主,

为让学生更加了解此次会议，学校想要组织学生手工制作联名产品帆布袋，需要购入原材料帆

布袋和染料.已知购入4个帆布袋和2套染料共需104元，6个帆布袋和5套染料共需196元.

(1)求帆布袋与染料的单价；

(2)制作1个成品帆布袋需要1个帆布袋原材料，1套染料可以制作5个帆布袋，不计其余耗材

及人工成本；该成品原定售价30元，平均每周可卖出100个；若单个售价每上涨1元，每周

销量减少5个.若文创中心想要每周获利1125元，售价应定为多少元？

【变式5・3】为推动乡村振兴，弘扬本地农产品品牌，长沙市某大型超市在五一期间特设专柜,

销售两种特色水果：大围山黄金梨和谢山李子.已知每千克黄金梨和每千克李子的进价之和为

18元.在销售过程中发现，当每千克黄金梨的利润为4元，每千克李子的利润为2元时，张

老师购买3千克黄金梨和4千克李子共花费82元.

⑴求黄金梨和李子每千克的进价分别是多少元?

⑵在（1）的条件下，该超市平均每天可售出黄金梨100千克、李子140千克.市场调研表明:

若这两种水果每千克的售价各提高1元，则它们每天的销售量均减少10千克.超市决定将这

两种水果每千克的售价均提高。元（不考虑其他因素），要使每天销售这两种水果的总利润为

960元，求。的值.

【题型6几何图形问题】

【例6】某农场拟用总长为60m的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为35m）的矩形养殖区48。。

（如图1）,篱笆全部用于养殖区围挡.

图1图2

⑴若养殖区的面积计划为400m2,请给出设计方案;

（2）为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形4EFG区域（如图

2）,RAE.AB=\,2.此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到400m2?若能，请给出设

计方案；若不能，请说明理由.

【变式6・1】为了丰富学生的课余生活，学校计划在校园内建造一个活动区域（长方形力BCO）,

两面靠墙（力。位置的墙最大可用长度为27m,48位置的墙最大可用长度为15m）,另两边用栅

栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的GF、"G三处各

留0.5m、0.5m、2m宽的门（不用栅栏）.建成后栅栏总长45m.

(1)若活动区域(长方形48CQ)的一边CO氏为10m,则另一边8C=—m.

(2)若活动区域(长方形N8CQ)的面积为165m2,求边CD的长.

【变式6・2】小澜家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙小澜打算利用围墙和木栏

围一块长方形养蜂场/8C。，已知木栏总长为48米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的

门，门不消耗木栏，设Z8长为x米.

BnC4门C

图1图2

(1)如图1,当寸，

®AD=米(用含x的代数式表示).

②若围成的养蜂场面积为92平方米，求48的长.

(2)如图2,当寸，养蜂场的面积是否可以达到230平方米？并说明理由.

【变式6・3］综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒.

如图1,有一张长30cm,宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后,

折成图2所示的无盖纸盒.(硬纸片厚度忽略不计)

(1)若纸盒的底面积为176cm2,请计算剪去的正方形的边长;

⑵如图3,小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形(阴影部分)，经过

思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒.若折成的有盖

长方体纸盒的表面积为412cm2,请计算剪去的正方形的边长.

【题型7动态几何问题】

【例7】如图，在口48c中，D^C^QO^CMOcm,8030cm.点P在边上，以4cm/s的速度

由点力向点C运动，同时，点。在边C8上，以2cm/s的速度由点。向点8运动，当一个点到达终点

时，两个点同时停止运动.设运动时间为fs.

(1)当片5时，求口。0。的面积.

⑵当口。。。的面积为64cm2时，求Z的值.

(3)口P0C的面积能否达到120cm2?若能，求出/的值；若不能，说明理由.

【变式7・1］如图，在长方形48CQ中，48=5cm,Z?C=6cm,点。从点4出发沿边力〃以lcm/s的速

度移动，同时点。从点8出发沿边8C以2cm/s的速度移动，当点。运动到点C时，P,0两点都停

止运动，设运动的时间为/〃>04

(1)PB=cm,BQ=cm(用含Z的代数式表示)

(2)当Z为何值时，尸。的长度等于5cm?

(3)若尸点沿射线方向从A点出发以lcm/s的速度移动，点。沿射线C8方向从。点出发以

2cm/s的速度移动，P,。同时出发，是否存在3使得三角形的面积等于3cm2；若存在,

请求出力若不存在，请说明理由.

【变式7・2］如图，已知长方形"CD的边长”=3cm,BC=5cm,某一时刻，动点M从点A出发

沿方向以lcm/s的速度向点5匀速运动；同时，动点N从点。出发沿D4方向以2cm/s的速度

向点A匀速运动，当点N到达点A时，两点同时停止运动，问：

(1)经过多长时间，MV的长为/m?

(2)经过多长时间，匚/MN的面积等于长方形48CQ的面积上?

【变式7・3】如图，在矩形44co中，44=8cm,8C=12cm.点P从点4出发，以lcm/s的速度向终

点5运动，点。从点3出发，以2cm/s的速度向终点C运动,点P和点0同时出发，当其中一点到

达终点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为&连接OPQ0/0.

（1）在运动过程中，00的长度能否为46cm?若能，求出f的值；若不能，请说明理由.

（2）当/为何值时，口0。。的面积为40cm2?

三、课后作业

1.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染,

请你用学过的知识分析・，每轮感染中平均一台电脑会感染儿台电脑？（）

A.11B.1（）C.8D.9

2.某商店6月份的利润是4.8万元，此后逐月下降，截至到8月份的利润为2.4万元.若设这两个

月的月平均下降率为x,则可列方程为（）

A.2.4（l+x/=4.8B.4.8（l-2x）=2.4

C.4.8(1-X2)=2.4D.4.8(1㈤2=2.4

3.如图，周末小卫同学帮着爸爸用一段20m长的铁丝网在院墙（墙长Um）的一边恰好围成了

一个矩形鸡舍，其面积为60n?.若在鸡舍垂直于院墙的一边中间位置留一个2m宽的门（由其

他材料构成），则该鸡舍的长度为（）

A.10m或11mB.10m或12mC.12mD.10m

4.如图所示，口45。中，0^=90°,48=6cm,4C=8cm,点尸从A点开始沿45向。点以Icm/s的

速度移动，点Q从B点开始沿8C边向。点以2cm/s的速度移动.如果P、。分别从A、B同时

出发，那么多少秒后，线段P。将口48。分成面积1：2的两部分()

A.2B.4C.2或4D.2或6

5.某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行

了55场.若设有x名选手参加比赛，可列方程为.

6.在一块面积为600cm2的矩形材料的四角，各剪掉一个大小相同的正方形(剪掉的正方形作

废料处理不再使用)，做成一个无盖的长方体盒子，要求盒子长为20c〃?，宽为高的2倍，则

盒子的高为cm.

7.兴华中学课外活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每

个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21,则这种植物每个支干长

出的小分支个数是.

8.有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为7.将该数的十位数字与个位数字调换，所得

到的新的两位数与原来的两位数的积为1300.求原来的两位数.

9.为了推广旅游热度，各地文旅单位推出文创产品.某文创产品刚上市每件售价100元，因

市场调整，经两次连续降价后售价降至81元，此时平均每天可售出30件.

(1)求该文创产品平均每次降价的百分率；

(2)为回馈顾客并减少库存，文创店计划再次降价，市场调查发现“每件降价1元，每天可多售

出2件”，

①若要求每天销售额为459()元，请结合实际销售情况，求每件应降价的金额;

②小杭同学说：“五一”期间将参与推广该文创产品的销售活动.计划每天销售额达5000元.你

认为小杭同学可以实现目标吗？说说你的理由.

10.某文具店第一次花费600元购进一批文具礼盒，全部售完；第二次花费1950元购进同款

文具礼盒，购进数量是第一次的2倍，且每个文具礼盒的进价比第一次上涨了5元.

(1)请列分式方程解决以下问题，第二次购进了这批文具礼盒多少盒？

⑵该店12月份共售出该礼盒80盒，每盒售价为35元.为回馈顾客并提升销量，该店决定在

次年1月份调整销售方案：线上渠道每盒降价。元销售，线下门店每盒降价5元销售；1月份

总销量较12月份增加了2〃％,其中线上、线下销量各占1月份总销量的50%,1月份总销售额

比12月份总销售额减少了200元，求〃的值.

答案解析

二、精选例题

【题型1传播与裂变问题】

【例1】冬春季是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，流感病毒是我国急性呼吸道传染病主

要病原体.某班级最初有2人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有32

人患流感，若设每轮传染中平均一人传染了x人，则根据题黄，可列方程为()

A.2(1+X)2=32B.2+2x4-4^=32

C.2+2x+x(l+x)=32D.x+x(2+2r)=32

【答案】A

【分析】根据每轮传染中所有病人均参与传染，两轮后总人数为初始人数乘以(1+工)2,即可作答.

【详解】解：,・•最初有2人患流感，

，第一轮传染后，患病人数为2+2%,

・・・第二轮传染后，患病人数为2+2x+x(2+2x)=2(l+x)2

•・•两轮传染后该班级共有32人患流感，

，可列方程为2(1+X)2=32.

【变式14】春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长.这株植物的主干先长出若干支干，每根

支干又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21,若设主

干长出x支支干，则根据题意可以列方程为()

A.(1+X)2=21B.\+X+X2=2\

C.1+X+(1+X)2=21D.1+(1+X)+(1+X)2=21

【答案】B

【分析】设主干长出x支支干，分别计算主干、支干、小分支的数量，根据三者总数为21列方

程即可.

【详解】解：•・•主干只有1根，设主干长出x支支干，

・・・支干的总数量为工，

・・•每根支干又分出x支小分支，

，小分支的总数量为木尸工,

・・,主干、支干和小分支总数是21,

・•・可列方程为l+x+/=21.

【变式1・2】有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，设每轮传染中平均一个人

传染x个人，则第三轮传染后共有（）个人患流感.

A.8B.9C.648D.729

【答案】D

【分析】先列方程求出每轮平均传染人数x,那么第一轮后患病总人数为1+x,第二轮新增患病

人数为xG+U，根据“经过两轮传染后共有81个人患流感”，列出方程解得X后再计算第三轮传

染后的总患病人数.

【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，

l+x+x（x+1）=81,

整理得（X+1）2=81,

解得x=8或尸-10,

・・•传染人数不能为负数，

・••尸・10不符合题意，舍去，

则第三轮传染后总患病人数为81+81x8=729（人）.

【变式1-3】数学活动课上，同学们与AI智能体进行数字传播闯关游戏.AI智能体给出规则：

游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数

量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播.经

过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码.求每一轮传播中，1名同学传给多少

名新同学.

【答案】4名

【分析】先设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学，根据题意列出一元二次方程，求出解,

舍去不合题意的即可.

【详解】解：设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学，

根据题意，得（6+6工-6）（1+工）-6=114.

解得町=4,X2=-5（不合题意，舍去）.

答：每一轮传播中，1名同学传给4名新同学.

【题型2握手与比赛问题】

【例2】随着校级足球联赛的持续升温，校园足球氛围愈发浓厚，为丰富同学们的课余生活，

增强团队凝聚力，学校决定举办校级足球联赛.第一阶段采用分赛区单循环积分赛制，即每支

参赛球队需与其他所有球队各进行一场比赛.已知共进与28场比赛，且无任何重复对阵.若

设参赛球队总数为〃支，则可列出关于〃的方程为（）

A.〃面-1月28B.+1斤28C.中=28D.^^=28

【答案】C

【分析】根据单循环赛制的比赛规则计算总场数，关键是去除重复计算的比赛场次，即可列出

对应方程.

【详解】解：•・•参赛球队总数为九支，每支球队需要与其余（〃-1）支球队各进行一场比赛，

又•・•每一场比赛由两支球队参加，上述计算中每场比赛被重复计算了1次，

，总比赛场数为吆皆，

已知总比赛场数为28,因此可得方程呷1=2，

【变式2・1】九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，

全班学生共写了870份留言.则全班有名学生.

【答案】

30

【分析】设全班有x名学生，可得每名同学需要给（工-1）名同学写留言，根据总留言数为870列出

一元二次方程，求解后舍去不合实际意义的解即可得到答案.

【详解】解：设全班有x名学生，

根据题意，列方程得x（x-1）=870,

整理得f*870=0,

解得肛=30,%2=・29（舍去），

则全班有"30名学生.

【变式2・2】某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学

共有多少人？设参加聚会的同学共有x人.

（1）填空：根据题意，可列方程：

⑵我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的

对角线有2条，多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以,

请说明理由.

【答案】⑴？二45

（2）多边形对角线可以有27条，即多边形的边数为9

【分析】（1）设参加聚会的同学共有x人，每个人与其他（x-1）个人握手，所有到会同学都互相

握一次手，因此总次数为根据共握手45次，列出方程即可.

（2）设多边形的边数为〃，对免线数量为27,依题意可以得到方程等=27,解方程即可.

本题考杳了一元二次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键.

【详解】（1）解：设参加聚会的同学共有x人，每个人与其他（x-1）个人握手，所有到会同学都

互相握一次手，因此总次数为）（工・1）,根据共握手45次，

列出方程为：竽=45,

故答案为：中=45.

（2）解：设多边形的边数为〃，对角线数量为27

依题意可以得到方程华2=27

化简为〃2-3〃-54=0

解得〃=9或片-6

因为〃为正整数，所以〃=9

答：多边形对角线可以有27条，即多边形的边数为9.

【变式2・31九年级举办了乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比

赛1场），嘉嘉说：“本次比赛一共进行了40场.”淇淇说：“你说的不对，按这个赛制不应该

是40场.”设有x人报名参加比赛.

⑴依据两人对话，乐乐列出方程：|x（x-l）=40.请用乐乐所列方程分析淇淇的说法是否正确；

（2）赛后经查询发现，因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，所以比赛/进行了40

场，求x的值.

【答案】（1）正确

⑵10

【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键.

（1）设有x人报名参赛，根据题意列方程亨=40,然后解方程，根据方程根的情况可得结论；

(2)结合设有x人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意誓2+4=40,整理并求

解即可.

【详解】(1)解：依题意，；8-1)=40,

19=80,

整理得12-廿80=0

解得尸胃，不为整数，

・••方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场，

故淇淇的说法是正确，

(2)解：:有一人比赛了4场后退出比赛，

由题意得喈3+4=40,

整理得f-3x-70=0,

(x-10)(x+7)=0,

解得“[=10即=・7(舍去)，

的值为10.

【题型3数字问题】

【例3】一个两位数等于它个位上的数的平方，且个位上的数字比十位上的数大3,则这个两位

数是()

A.25B.36C.25或36D.无法确定

【答案】C

【分析】本题考查一元二次方程的应用，设十位数字为x,表示出个位数字，根据题意列出方程

求解即可.

【详解】解：设这个两位数的十位数字为x,则个位数字为(x+3).

依题意得：10x+(x+3)=(x+3)\

解得:修=2/2=3.

・•・这个两位数为25或36.

故选：C.

【变式3-1]一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小4,如果把这个数的个位数字

与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小18,求原来的两位数.

【答案】原来的两位数为53

【分析】本题主要考查了列代数式，列一元二次方程解决数字问题，解题的关键是根据题意列

出弋数式.

设原来的两位数的个位数字为x,则十位数字为(r-4),根据题意表示出两位数，然后列出方

程求解即可.

【详解】解：设原来的两位数的个位数字为-则十位数字为(F-4),

依题意，得10(F-4)+x-[l0X+(.V2-4)]=18,

整理，得『-x-6=0,

解得x1=3,X2=-2(不符合题意，舍去)，

.•・10(X2-4)+X=10X(32-4)+3=53.

答：原来的两位数为53.

【变式3・2】在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，橘橹灰飞烟灭，然天

妒英才，英年早逝.欣赏下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流人物.而立之年督东

吴，早逝英年两位数.十位恰小个位三，个位平方与寿符.”则这位风流人物去世时的年龄为

()

A.36岁B.38岁C.4()岁D.42岁

【答案】A

【分析】根据诗句给出的数量关系找到等量关系，列一元二次方程求解，再结合“而立之年督东

吴”的条件对根进行取舍即可得到答案.

【详解】解：设这位风流人物去世年龄的十位数字为x,则个位数字为户3,年龄可表示为

lQr+(x+3).

二个位平方与寿符，

；・可得方程1OX+(X+3)=(X+3)2

整理得『-5x+6=0,

解得x1=2,X2=3.

又•・•而立之年督东吴，说明年龄超过3()岁，―2时年龄为25岁，不符合题意舍去，

，尸3,个位数字为3+3=6,年龄为3x10+6=36岁.

【变式3・3】一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大3,百位上的数字等于个位上的数字

的平方.如果这个三位数比它个位上的数字与十位上的数字的积的25倍大202,则这个三位数

是.

【答案】452

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解数字与每个位上的数字的关系是解题的关

键.

设该三位数个位上的数字为x,则十位上的数字是(田^),百位上的数字是『；再根据“这个三位

数比它个位上的数字与十位上的数字的积的25倍大202”列出方程求解即可.

【详解】解：设该三位数个位上的数字为x,则十位上的数字是(x+3),百位上的数字是x2.

由题意，得100.?+10(X+3)+X=25.Y(X+3)+202,

整理，得75/一64.*172=0,

解得X]=2/2=-£(舍去)，

・••十位上的数字为2+3=5,百位上的数字为22=4.

故答案为:452.

【题型4增长率问题】

【例4】某商店今年春季热销解渴饮品，三月份该饮品销量为200杯，随着气温不断回升，若连

续两个月的销量逐月匀速上洸，预计五月份的销量能达到2gg杯.设四、五这两个月每月销量

的平均增长率为x,那么x满足的方程为()

A.200+200(l+x)=288B.200+200(1+J：)+200(1+X)2=288

C.200+200X+200X2=288D.200(1+X)2=288

【答案】D

【分析】根据逐月增长的关系，从三月份到五月份经过两次匀速增长，结合初始销量和五月份

最终销量列方程即可.

【详解】解•・•三月份销量为200杯，每月平均增长率为x,

，四月份销量为200(1+x)杯，

・・・五月份销量在四月份基础上增长，可得五月份销量为200(1+X>(1+X)=200(1+X)2,

又•・•已知五月份销量为288杯，

・•・可列方程为200(1+X)2=288.

【变式4-11某商品原价为100元，经过两次降价后售价为81元，若两次降价的百分率相同，

则每次降价的百分率为()

A.9%B.10%C.11%D.12%

【答案】B

【分析】设每次降价的百分率为x,根据商品原价为100元，经过两次降价后售价为81元，列

出方程，解方程即可.

【详解】解：设每次降价的百分率为x，根据题意得：

100(1-X)2=81,

解得：^=0.1=10%,X2=1.9(舍去)，

即每次降价的百分率为10%.

【变式4・2】某商场今年1月份的营'业额为200万元，3月份的营业额达到288万元，若这两个

月营业额的月平均增长率相同，则每个月的平均增长率为()

A.10%B.20%C.25%D.30%

【答案】B

【分析】按增长规律列出方程，求解后舍去不合理的负根即可.

【详解】解：设每个月的平均增长率为x,

VI月份营业额为200万元，经过两个月增长到3月份，

・・・3月份营业额可表示为200(1士婿，

根据题意列方程得：

200(1+X)2=288

整理得(1+X)2=1.44

开平方得1+x=±1.2

.・.增长率为正数，

；・取正根

l+x=1.2,解得x=0.2=20%

即每个月的平均增长率为20%.

【变式4・3】2025年安徽省新能源汽车产量、出口量均跃居全国首位.据统计，安徽省2024年

新能源汽车产量较2023年增长94.5%,2025年较2024年增长6.6%.若设这两年安徽省新能源

汽车产量的年平均增长率为X%,则可列出的方程是()

A.94.5%+6.6%=x%B.(1+94.5%)(1+6.6%尸(1+、％)2

C.(1+94.5%)(1+6.6%)=2(1+x%)D.94.5%+6.6%=2x%

【答案】B

【详解】解：设2023年安徽省新能源汽车产量为基准量I,按逐年实际增长率计算，2024年产

量为"(1+94.5%),2025年产量为日(1394.5%)(1+6.6%);

若两年年平均增长率为x%,则2025年产量也可表示为lx(l+x%/，

因此可列方程：(1+94.5%)(1+6.6%)=(1以％)2.

【题型5商品营销问题】

【例5】某奶茶店销售一款招牌奶茶，每杯成本为5元.当售价为15元/杯时，平均每天能售出

300杯.市场调查发现，售价每降价1元，平均每天就能多售出50杯.店主希望扩大销量，

提高知名度，且使每天的销售利润仍保持在3000元，则每杯奶茶应降价元.

【答案】4

【分析】设出每杯奶茶的降价金额，结合已知条件表示出每杯利润和每日销售量，根据总利润=

每杯利润x销售量列方程求解，再根据扩大销量的要求选择符合题意的解即可.

【详解】解：设每杯奶茶应降价x元，

由题意得：(15*5)(300+50x)=3000,

解得为=0,X2=4;

・・•店主希望扩大销量，降价越多销量越高，

，舍去x=0,®(x=4,

答：每杯奶茶应降价4元.

【变式5・1】红薯丰收时节，某农户在地头批发销售,定价为3元/kg,当购买红薯的质量超过250kg

时，每多购买25kg,红薯的单价降低0.2元/kg,但要求红薯的单价不低于2元/kg.己知某零

售商购买红薯的质量超过了300kg,且支付农户的费用为770元，求该零售商购买红薯的质量.

【答案】该零售商购买红薯的质量为350kg

【分析】设该零售商购买红薯的质量为(250+y)kg,根据题意建立一元二次方程求解即可.

【详解】解：设该冬售商购买红薯的质量为(250+y)kg.

根据题意，得(250+p)(3-会＞0.2)=770.

解得％=25%=10。・

当尸25时,250+尸275V300,舍去.

当尸100时，250+尸350300,且3・忘>0.2=2.2>2.

答：该零售商购买红薯的质量为350kg.

【变式5-21APEC会议预计于2026年11月在深圳举行，这是中国第三次担任此会议的东道主,

为让学生更加了解此次会议，学校想要组织学生手工制作联名产品帆布袋，需要购入原材料帆

布袋和染料.己知购入4个帆布袋和2套染料共需104元，6个帆布袋和5套染料共需196元.

⑴求帆布袋与染料的单价；

（2）制作1个成品帆布袋需要1个帆布袋原材料，1套染料可以制作5个帆布袋，不计其余耗材

及人工成本；该成品原定售价30元，平均每周可卖出100个；若单个售价每上涨1元，每周

销量减少5个.若文创中心想要每周获利1125元，售价应定为多少元？

【答案】（1）每个帆布袋单价为16元，每套染料单价为20元

⑵售价应定为35元

【分析】（1）设未知数建立方程组求解帆布袋与染料的单价即可；

（2）根据利润公式建立方程求解售价即可.

【详解】（1）解：设每个帆布袋单价为R元，每套染料单价为y元.

根据题意列二元一次方程组｛黑黑，

解得露，

答：每个帆布袋单价为16元，每套染料单价为20元；

（2）解：每套染料可制作5个帆布袋，单个帆布袋分摊染料成本20+5=4（元），

单个成品帆布袋总成本：16+4=20（元），

设单个售价上涨加元，

则由题意可列方程（30+〃?-20）（100-5〃?尸1125,

解得"“="2=5,

此时售价：30+5=35（元），

答：售价应定为35元.

【变式5・3】为推动乡村振兴，弘扬本地农产品品牌，长沙市某大型超市在五一期间特设专柜,

销笆两种特色水果：大围山黄金梨和浏山李子.已知每千克黄金梨和每千克李子的进价之和为

18元.在销售过程中发现，当每千克黄金梨的利润为4元，每千克李子的利润为2元时，张

老师购买3千克黄金梨和4千克李子共花费82元.

(1)求黄金梨和李子每千克的进价分别是多少元？

(2)在(1)的条件下，该超市平均每天可售出黄金梨100千克、李子140千克.市场调研表明：

若这两种水果每千克的售价各提高1元，则它们每天的销售量均减少10千克.超市决定将这

两种水果每千克的售价均提高。元(不考虑其他因素),要使每天销售这两种水果的总利润为

960元，求。的值.

【答案】(1)黄金梨和李子每千克的进价分别是10元和8元

(2)2或7

【分析】(1)根据“每千克黄金梨和每千克李子的进价之和为18元”和“张老师购买3千克黄金

梨和4千克李子共花费82元”列方程组求解即可；

(2)根据售价及销售量的变化，利用“每天销售这两种水果的总利润为960元”列方程求解即可.

【详解】(1)解：设黄金梨每千克的进价为x元，李子每千克的进价为y元，由题意，得

(x+y=18

(3(X+4)+4(JH-2)=82

解得匕普•

答：黄金梨和李子每千克的进价分别是10元和8元；

(2)解：由题意，得

(4+62)(100-10a)+(2+a)(140/*)=960,

解得4]=2,。2=7.

当片2或7时，两种水果的销售量均大于0,符合题意.

答：。的值为2或7.

【题型6几何图形问题】

1例6]某农场拟用总长为60m的篱笆围成一个一面靠墙(墙的长度为35m)的矩形养殖区，8co

(如图1),篱笆全部用于养殖区围挡.

图1图2

（1）若养殖区的面积计划为400m2,请给出设计方案；

（2）为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形4EFG区域（如图

2）,且/£48=1:2.此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到400m2?若能，请给出设

计方案；若不能，请说明理由.

【答案】（l）48=20m,8c=20m,围成这样的矩形养殖区符合题意

（2）面积不能达到400m2,见解析

【分析】（1）设则8c=60-2》，根据“养殖区的面积计划为400m2”列方程求解即可；

（2）设4后=歹，则43=2y，4060-6/根据题意列出一元二次方程，然后利用判别式判断即可.

【详解】（1）解：设则8c=60-2r.

由题意得：x（60-2x）=400.

解得X]=1OX2=20.

□^C<35,即60-2烂35,

Ax>12.5,

□x=20,

8C=60-2x=20m,

，/B=20m,BC=20m,围成这样的矩形养殖区符合题意；

（2）解：设4E=歹，则/3=2y,5C=60-6y,

由题意得：2v（60-6y）=400,

整理得3y-30vH00=0,

□A=（-30）2-4X3X100=-300<0,

□方程无解，

工面积不能达至IJ400m2.

【变式6・1】为了丰富学生的课余生活，学校计划在校园内建造一个活动区域（长方形43CQ）,

两面靠墙（4Q位置的墙最大可用长度为27m,43位置的墙最大可用长度为15m）,另两边用栅

栏闱成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的〃石、GF、"G三处各

留0.5m、0.5m、2m宽的门（不用栅栏）.建成后栅栏总长45m.

（1）若活动区域（长方形48C。）的一边CO氏为10m,则另一边8C=_m.

（2）若活动区域（长方形/8C。）的面积为165m2,求边CD的长.

【答案】（1）18

⑵边CQ的长为11m.

【分析】（1）由栅栏总长为45m,即可求出的长；

（2）设。2>工田<烂15加，则3C=«8-3x）m,根据活动区域的面积为165m2,即可得出关于x的

一元二次方程，解之即可得出x的值.

【详解】（1）解：BC=45-10-2x（\0-0.5>2=18

（2）解：设。Z>xfO<炬15；m,则80=45+0.5+0.5+2-3尸Q8-3x；m,依题意得：

x«8-3x斤165,

解得：%1=5盟=11,

..j48-3x<27

.Ix<\5'

A7Sv<15,

.*.x=l1,

当x=ll时,48-3x=48-3x11=15（m）,符合题意.

答：边。。的长为Um.

【变式6・2】小澜家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙用M小澜打算利用围墙和木栏

围一块长方形养蜂场48C。，已知木栏总长为48米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的

门，门不消耗木栏，设4B长为x米.

BnCB门C

图1图2

（1）如图1,当力OWMMbh

①3米（用含x的代数式表示）.

②若围成的养蜂场面积为92平方米，求力3的长.

(2)如图2,当寸，养蜂场的面积是否可以达到230平方米？并说明理由.

【答案】⑴(50-2%),48的长为23米.

(2)不能，见解析

【分析】(1)①根据图形和条件确定边长表达式；②根据面积公式列出方程求解并关联题意即

可解答：

(2)根据面积公式列出方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可.

【详解】(1)解：①由题意得，/8+CZH的；2斤48,而43=CD=x,BC=AD

/.x+x+65C-2>48

・•・AD=4S+2-2x=(50-2x/；

②由题意得，x(50-2x)=92,

□解得;q=2,*2=23.

(50-2烂10

(50-2后2'

.'.20<x<24,

・F]=2不符合题意，

的长为23米.

(2)解：养蜂场的面积不能达到23()平方米，理由如下：

由题意得，AB+CD+(BC-2)+(AD-10>48,

•:BC=AD4B=CD=x

：.)+x+偿。-2>48,

•\AD=30-xf

由题意得，x(30-x>230

整理得，，-30%+230=0

A=(-30)2-4X1X230=-20<0,

・,・该方程无实数根，

・••养蜂场的面积不能达到23()平方米.

【变式6・3]综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒.

如图1,有一张长30cm,宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，

折成图2所示的无盖纸盒.(硬纸片厚度忽略不计)

(1)若纸盒的底面积为176cm2,请计算剪去的正方形的边长；

(2)如图3,小明先在原矩形硬纸片的两个角各助去一个同样大小的正方形(阴影部分)，经过

思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒.若折成的有盖

长方体纸盒的表面积为412cm2,请计算剪去的正方形的边长.

【答案】(1)答：剪去的正方形的边长为4cm.

(2)答：剪去的正方形的边长为2cm.

【分析】(1)本题涉及了一元二次方程的应用以及几何图形面积的计算，根据图形剪拼的空间

想象得到剪去4个小正方形后底面的长和宽，再根据底面的面积，实际问题中根的合理性检验,

最后得出剪去小正方形的边长.

(2)本题涉及了一元二次方程的应用以及几何图形面积的计算，根据图形剪拼的空间想象得到

剪去矩形的长为15cm,矩形的宽和减去正方形的边长相等，再结合实际问题中根的合理性检

验，得到剪去正方形的边长.

【详解】(1)解：设剪去的正方形的边长为xcm,则纸盒底面长方形的边长为(30-2Y)cm,宽为

(162)cm.

由题意得：

(30-2x)(16-2x)=176

480-60X-32X+4X2=176

4?-92x+304=0

f-23x+76=0

(华4)019)=0

解得X]=4即=19.

因为16-200,所以x=19不符合题意，舍去.

所以剪去的正方形的边长为4cm.

(2)解：设剪去的正方形的边长为acm,根据题意,剪去的矩形的长为15cm,宽为4cm,则剪

去部分的面积为：

2^2+15xax2=30xl6-412

2。2+30。・68=0

。2+15。-34=0

(a-2)(a+17)=0

解得a=2或a=・17,(a=-17不符合题意，舍去).

所以剪去的正方形的边长为2cm.

【题型7动态几何问题】

【例7】如图，在口力BC中，□/C3=9()o,/C=40cm,8C=30cm.点P在边NC上，以4cm/s的速度

由点4向点C运动，同时，点0在边C3上，以2cm/s的速度由点C向点〃运动，当一个点到达终点

时，两个点同时停止运动.设运动时间为/s.

(1)当片5时，求口〃0。的面积.

⑵当FIPQC的面积为64cm2时，求Z的值.

(3)匚尸0c的面积能否达到120cm2?若能，求出/的值；若不能，说明理由.

【答案】(1)100cm2

(2)f的值为2或8秒

(3)[尸。。的面积不能达到120cm2,理由见解析

【分析】(1)根据片5,可得PC,C。的长，即可求解；

(2)由题意得，PC=AC-AP=40-4tfCQ=2t,则Sp0c=；PCZ]CQ=；x(4O-4，)x2r=64,即可求解;

(3)由(2)可得SPQC=jPCDCQ=\x00-1/)v2/,令;乂(40-々)乂2片120,进行判断即可.

【详解】(I)解：当仁5时，力