2026年新高考I卷数学试卷（原卷+答案）

绝密★启用前

2026年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I卷）

（适用地区:河北、江・浙江、安徽、福仕、江西、山东、河南、湖北、湖南、广东）

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，川铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，川橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案书写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.样本数据6,8,4,5,12的中位数为（）

A.5B.6C.8D.9

2.己知平面向量d,〃不共线，^2d+yh=xa-3b,贝U（）

A.x=2,y=-3B.x=-2,y=3C.x=2,J=3D..r=-2,了=-3

/T1

一,.7兀57r57r八5/4=(

3.已知集合4=〈sm—,cos一,Un一,B=,,一，则/口)

634

行1|出J旦

A.B.C.1D.

2'2■TJf4T，-2

4.曲线y=5工+8111_¥在点。,5）处的切线方程为（

A.y=3x+2B.y=5xC.y=Sx-3D.y=13.x-8

2

5.已知抛物线C,:y=2p、x（Pi>0）和。2：-=2p2歹（>0）均经过点（4,8）,则C,的焦点与C2的焦点

之间的距曲为（）

A.12B.46C.6

D考

t+2

6.已知函数的最大值为「则"（）

A.g3

B.1C.一D.2

2

7.一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩.该塔群共有108

座塔，依山势自上而下排成12行，将第，行中塔的座数记为q（，=l,2,…,12）,其中q=l,=3,

1/26

a4=a5=5t且4，%，…，。闻是一个首项为7,公差为2的等差数列.将q,a2,•••,分为6组，每组

2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为d(d>0)的等差数列，则”=()

A.2B.4C.6D.8

8.设。={(玉/2.3)上£{-2,-1，1,2}#=1,2,3}为空间中64个点构成的集合，点尸(1,1,1),记样本空间

。=。尸，从。中随机取一个点,定义随机变量工如下：对。中的每个点4($/2，占)，令丫(4)=芭+£+工3，

则X的数学期望值为()

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.设z=3+2i,则()

।3

A.z=3-2iB.|z|=5C.z2=5+l?.iD.

z—1

10.在空间中，A.8为两个定点，动点C到直线18的距离为2,动点。到直线力8的距离为1.若二面角

为60。，则()

A.ZCAD>60°B.CD>y/3

C.当45_LCO时，CO_L平面40。D.当44_L平面4c。时，ACLAD

11.已知圆G：(X+l)2+jJ=1,圆C：(x_l)2+y2=i,圆。3：工2+(丁一/)2=1,直线八J二丘+6与弓，

c2,G均有两个交点.记/被G，c2,G截得的弦长分别为再、与、$3,则()

A.%可以取任意实数B.满足$=$2=$3的直线/共有3条

C.满足邑+，%+§3=3的直线/多于3条D.当6=0时，S+s,+S3的最大值为豆H

3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.双曲线5/-6_/=1的离心率为.

13.已知/(x)=2sin(*+。)(QSZ,0<3<2TI)是偶函数，/(x)在区间(0,])上单调递增.则夕=

---------,/传卜----------

14.设实数4满足：存在数列{〃“},使得对于任意〃£]<，均有％+生+…+%”=/+〃，且{/}中有某连续

9项生，/+]，,••，4+8是公比为夕的等比数列.则9的最大值为

2/26

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，在直三楼柱中，/ACB=90。，AC=BC,D,E分别为49,4G的中点.

⑴证明：DE〃平面BCCM；

(2)设。0=2,直线。石与平面4CG4所成的角为45。，求直线。右到平面8CC4的距离.

16.已知在△/BC中，AB=3,BC=2&，cosB=—.

3

(I)求cosJ；

(2)设Q,E两点满足：。在84的延长线上，DE//BC,AEA.AC.若DE=&，求CE.

17.设整数NN2.某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮N次，当且仅当投中1次时或N次均未投中时，

停止练习.设该同学每次投中的概率为P(0<2<1),各次投中与否相互独立.记X为停止练习时该同学的投

篮次数.

(1)当N=4,〃时，求X佗分布列；

(2)设女,小均为自然数.

(i)当后KN-1时，求P(X>%)；

(ii)当攵+〃7WN-1时，证明:P[X>k+m\X>k)=P[X>m).

r22.

18.已知椭圆C：j+v勺=1(。>6>0)的左焦点为FQLO),离心率为

a~b~2

(1)求。的方程；

(2)设。为坐标原点，过户且斜率大于0的动直线/与。交于P,。两点，其中。在第三象限，直线P。与

C的另一个交点为R.

(i)若APQH的面积是△尸R2的面积的3倍，求/的方程；

(ii)求tan/PQR的最小值.

19.已知函数/(X)的定义域为R,且当x<0时，/。)=2'.对任怠与£R,定义集合

/(%)={"ER|/(/+")>/(/)}•

3/26

(1)若当X之。时，/(x)=l—x,求。(一1)：

(2)若/(x)是奇函数，,且司证明：£)(X2)CZ)(X1)；

(3)设/'(X)满足：①若/'(不)《/(42)，则。(工2)£。(再);②当0c<1时，/(x)</(o).

(i)证明：/(0)21；

(ii)证明：/(x)在区间(0,+8)单调递增.

4/26

参考答案

1.

【答案】B

【详解】将已知数据从小到大排序为4,5,6,8,12,则中位数为6.

2.

【答案】A

【详解】由题意可知平面向量4》不共线，月.2。+)小=36,

(x=2

则a-

3.【答案】C

77r(7T、7T|5兀(f兀、711

【详解】因为sin——=sin兀+—=-sin—=——cos——=cos2兀——=cos—=—

6I6J623I3)32

5兀

tan—=tan=1,

4

即集合力="一7，!』:,且集合8=，--丁,一《』》,所以力C8=，-7，1

[22][22J2

4.【答案】D

Q

【详解】因为，则y=5+?,当x=l时，y=13,

x

所以曲线在点处的切线方程为y—5=13(x-l),

即

5.【答案】D

【详解】••♦抛物线6：/=2〃科(月>0)经过点

...将1=4/=8代入的方程得8?=2p1-4,即64=8四，解得p1=8.

・••的焦点坐标为6(会,0),即号(4,0).

2

••・抛物线C2:x=2p2y(p2>0)经过点，

...将I=4,»=8代入的方程得不=2夕2-8,即16=1622,解得P2=l.

•••的焦点坐标为E(0,与)即8(0,g).

根据两点间距离公式，大与乙之间的距离为:

5/26

|^|=J(4-0)2+0一一16+-

2

6.【答案】B

【详解】法1：(1)当。V。时，由e'+4H0，解得xwln(-4),

故函数定义域为(一8』n(一。))IJ(ln(-a),+8).

①当a<一-r时，ln(-Q)+2>0,

e-

当xrln(-a)\则/(x)fy,故不存在最大值，不合题意；

②当“=时，此时/(外二/三，/(0)=RT>2，

e-e-e1-e

故最大值不为1,不合题意；

③当--^<々<0时，In(-。)+2<0,

e

当xrIn(-4)，则/(x)f心，故不存在最大值，不合题意；

(2)当时，则/+〃〉0,贝!函数定义域为.

且由最大值为1可知，x+2<ev+a»

即a2x+2-e'对任意xwR恒成立，且等号能取到.

设g(.v)=x+2—e'，则g'(x)=1-eA,

当时，gr(x)>0,g(x)单调递增;

当x〉0时，g(x)<0,g(x)单调递减；

故g(x)Wg(0)=l,当且仅当x=0时,g(x)ma=1,

由aNx+2-己对任意xeR恒成立，可知aNl，

又当时，恒有g(x)Wl<a,取不到等号，所以有。=1,

故选：B.

法2：-----,

由选项知。>0,则定义域为，

故最大值必在极值点处取到，不妨设此极值点为几,

6/26

(e*+Q)(X+2)C'-(x+l)er4-67

由/'(x)=

(if(，+。)2

则由/'Go)=0，可得a=(玉)+l)*①，

且/(4())=I：；=1,即a=/+2_/°②,

联立①②解得〈

x+2

验证：当"I时，/⑴二0

,-(x+l)er+l

则AM/「\2

1+1)

设g(Q=-(x+1)e'+1,则g，(x)=-(-

当x<-2时,g\x)>0,则g(x)在(-8,-2)上单调递增;

当x>—2时，g(x)<0,则g(x)在(-00,-2)上单调递减:

g(x“x=g(-2)=4+1，且g(0)二°，

e

且当工一—8,g(x)fl：当XT+8,g(X)f-8：

作出函数g(x)的大致图象,

时，g(x)>0,,/Xx)>0,在(0,+8)上单调递增;

当X>0时，g(x)<0,/'(幻<0,在(0,+8)上单调递减;

则/(X)max=/(0)=1，满足题意，故1=1.

法3：由选项知。〉0,则定义域为，

2

由/(。)=;—«1(。>0)，解得421.

\+a

同法2验证可得，故a=1满足题意.由选项唯一可得..

法4：由选项知。>0,则定义域为，

2

rti7(0)=--<1(6/>0),解得421.

1+。

验证：当。:1时，由不等式炉之X+1可得/+1NX+2,

7/26

故/a)=i—<i,当且仅当x=o时等号成立，

故。=1满足题意，由选项唯一可得.

7.【答案】B

【详解】由已知，，，q=7+2("6)=2"5,i=6,7,8,9,10.11,12,

设新数列为也｝,〃=1,2,3,4,5,6,

由已知数列｛，｝为等差数列，设其公差为d,d>0,

又的前12项都为奇数，｛a｝所有项都为偶数，

由已知d为正偶数，4为正偶数，

则6々+容xd=108,故A+gd=18,

若d=2,则4=13,矛盾，

若4=6,则4=3,矛盾，

若4=8,则4=一2,矛盾，

若［=4,则4=8,此时可取々=%+4=8,b2=a2+a7=\2,b3=a4+afi=\6,

b4=a3+j=20,h5=as+a]2=24,Z>6=+f/10=28,满足要求.

8.【答案】A

【详解】由题意可知：〃(C)=4x4x4-1=63,且随机变量的取值为-6,-5,一4，-3,-2,一1,0,

1,2,3,4,5,6.

解法一：依题意，可得尸（X=-6）=P（X=6）=.,

P（X=-5）=P（X=5）=P（X=_4）=尸（X=4）=忘，

44

P（X"3）K*X=3）=左

0303

96

P[X=-2）=P（X=2）=P（X=-\）=P（X=\）=—,P（X=0）=—,

所以E（X）=（-6+6总+（-5+5-4+4）x=-3xN+3x2+（—2+2-1+1*+0'2=-L；

63636363636321

解法二：根据对称性可知:尸（牙二-6）=尸（X=6）,尸（X=-5）=尸（X=5）,P（X=-4）=P（X=4）,

P（X=-2）=P（X=2）f尸（X=-l）=尸（X=l）,

43

又尸（X=-3）=/，尸（X=3）=/，

,、431

所以“X）=-3x布+3x芍=-五；

030321

8/26

解法三：因为％e{-2,T,L2},iw{l,2,3},

对于任意一点(王,々/3)，均存在(一X”一工2,一七)与之对应，可知这两点的坐标和为0,

因为P(ljl)，样本空间C,

可知样本空间中存在唯一点(一1,-1,一1)与点/)(1,1,1)对应，

所以中所有点的坐标和的总和为-1-1-1二一3,

故

9.【答案】ACD

【详解】对于A选项，复数Z=4+'的共规复数彳=。—勿，因比一,A选项正确.

对于B选项，复数的模/，因此|2|=屈方=加工5,B选项错误.

对于C选项，

z2=(3+2if=32+2x3x2i+(2i)2=9+12i-4=5+12i,该选项正确.

对于D选项,

•••分子z+3=3+2i+3=6+2i,分母z-i=3+2i-i=3+i,

z+3_6+2i_(6+2i)(3-i)_18-6i+6i-2i2y^=2,2是实数，故

,该选项正确.

3+i-(3+i)(3-i)-9-i2

10.【答案】BC

【详解】不失一般性作图如下，

过点作CE143,为垂足，过点作_L/B,为垂足,

过点作EGUFD,EG=FD,连接GO,

则EG_L45,因为二面角为60，

所以NCEG=60，由已知CE=2、。产=1,

所以CG?=4+1-2x2xlxcos60=3,所以CG=VJ，

故CGJ_EG,CDNCG=6B正确；

当点与点的距离无限大时，CA,力。无限大，C4C。无限靠近月4,

此时NC4D趋向于0,A错误；

因为_LEG,CEC\EG=E,CE,EGu平面CEG,

所以平面CEG,又CGu平面CEG,所以48_LCG,

若,Z),G不重合，结合CGnCQ=C，CG,COu平面COG,

9/26

可得平面OGu平面

所以,48_LOG,矛盾，所以重合,

因为,,EGREF;E,EG,EFu平面EFDG,

所以CG_L平面EQG,故平面,C正确;

因为平面，若平面

则平面与平面重合，此时点与点重合，点与点G重合,

故4。与的夹角为，D错误，

.\b-k\,\b^k\

【详解】记CCC到直线的距离分别为,wij^.=V=,gV=

b-y/3\

・•・直线与三个圆均有两个交点，

4<1,4<1，4<1,对应弦长为号=2J1-3”•=1,2,3).

A：•••解4<1,得k—，l+k2<b<k+Jl+k2，

解&<1，得一h+H</,<_、+ji+/,

不妨取%>0,

■-k+yj\+k2>-k+y/\+k2>0>k-yl]+k2>-k-yj\+k2»

•••k-yj\+k2<b<-k+yj\+k2>记一川+/，-k+d'+k],

解&<1,得G-Jl+K〈bVy/^+Jl+k?，记5=+K+dl+k],

当G—VITF之一〃+ViTF，即左二日时，AQB=0,

此时不存在这样的直线与三个圆都相交.

•••不能取任意实数，A错误.

B：•••

4=出=4•

10/26

由4=%得g-%|=|力+%|,平方得—4〃=0,即4=0或

①当上=0时・，直线为》=/),由4=必得|〃二|力一道|，解得b=也,

此时4=立＜1，符合条件，对应直线条.

12

②当时，直线为y=",由4=.得，解得Z=±6，

Jl+公川+公

此时4=立＜1，符合条件，对应直线2条.

12

综上，共条直线满足条件，B正确.

C：令,

尼;仔…=2月;=涛

令17k2-2"＞0)，则42="+2，

2(2+/)

•••豆+§2+53=G——

，广+3

4+2/、

令，即=r=3

Jd+3

平方整理可得5产一16/+11=0,解得或，=1，即左=±6或攵=±包2

35

经验证，此时4，4，/均小于，满足题目要求，此时」有4条直线，多于条，C正确.

2y/k2-2

x/T+F

令f="2—2(1>0),则公=*+2,

2(2+/)

...S[+$2+S3-I

〃+3

t+2.，/x3—2/

设/(f)=-7^=^>0),求导得,")=

业+3(『+3)2

11/26

后一3

的最大值为2x^=2叵，D正确.

33

【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆的位置关系，核心是利用弦长公式将弦长关

系转化为圆心到直线的距离美系，最值问题可通过换元结合导数求解，多选题可逐个验证选项，结合特殊情形

快速判断正误.

12.

【答案】甄

6

£__Z_111

【详解】将双曲线化为标准方程，得了一丁一1则。2二万=

?656

叵

1111

222

力

此

因C+

5-6-3-O-310

5一

13.【答案】①.—②.

【详解】设函数/(x)的最小正周期为7\由题意可知。工0,

因为函数/(x)在一上单调递增，则当之/，即「之兀，

2兀..

可得而之兀，解得同工2,

且，则同=1,2.

解法一：因为函数/(x)=2sin(at+。)为偶函数，

则。=勺兀+殳，4wZ,且，

12/26

则21,

若e=则/(x)=2sinax+~^=2cosax=2cos(同x),

即/(x)=2cosx或/(x)=2cos2x,不符合题意,

若。二电，则/(x)=2sinfor+,

=-2cosax=-2cos(同x),

2\2

即f(x)=-2cosX/(x)=-2cos2x,符合题意;

J2兀)_2it,(2兀\_4K_f元)r兀，

且/——=-2cos——=1或r/—=-2cos——=-2cos7i+—=2cos—=1；

3\3J3v3J3

综上所述：9卷,=

解法二：因为/'(不)=2次05(0¥+夕),

若函数/(x)为偶函数，则/'(0)=2acos9=0,即cos0=0,

rc7T37r

且则116=不？

22

*»-八兀

若0二二,贝iJ/(x)=2sinax+—=2cosor=2cos(„),/。)=-2同sin(同x),

2

即/1})=一25加<0或/'(》)=-4$由2%<0在一内恒成立,

可知函数/(x)在一上单调递减，不符合题意,

若夕二型，则/(x)=2sinax+—=-2cosax=-2cos(同x),/(x)=2|a|sin(|a|x),

2I.

即fr\x)=2sinx>0或/'(x)=4sin2x>0在一内恒成立,

可知函数/(x)在-上单调递增，符合题意,

且/伊『23空=1或/倍)78s£-2cg+3c兀

=2cos—=1：

3\3J3\3J3

综上所述：。=当，f年)二卜

13/26

解法三：因为函数/(x)=2sin(办+。)为偶函数，且函数/(x)在一上单调递增,

可知在处取到极小值，则0=2质兀一］，k?wZ,且

37r3兀

则左2=1,。=奇，则/(x)=2sinax+—=-2COSOY=-2cos(问x),

2

即/(x)=-2cosxn£/(x)=-2cos2x,符合题意;

../2兀122兀71

且/[71=-2857=1或/=_2COS±E=_2COSL+A=2cos-=1.

3333

14.【答案】色

【详解】令]=。3“-2+61+%〃，由题意得]=(〃2+〃)-[(〃-l)2+(〃T)]=2〃，

因此每个三项块4的和为2〃.

设这9项为元阳,河2,...,河8,记。=i+g+/.由于C>0,且完整三项块和均为正,

下面按除以3的余数讨论.

若％=3m+1(/«>0),这9项正好包含三个完整三项块，

得xC=2(〃z4-1),xqyC=2(w+2),xq6C=2(w+3),

»i>_i_y,77_i_q

于是/=-7且13=---矛盾，故这种起点不存在.

若女二3〃2+2(〃zNO),其中两个完整三项块为第机+2块，第〃?+3块，

得用?C=2(〃z+2),河5c=2(m+3),所以^二丝上14士.

加+22

若左二3机(加21),其中两个完整三项块为第〃?+1块，第m+2块，

得河。=2(〃?+1),必(=2(加+2),所以13二丝土

m+12

综上q3<|,所以qwg,即的最大值为j|.

15.

【答案】(1)由题意证明如下：

如图，作出符合题意的图形，连接6G，

14/26

中点，：.DE〃BC「

•・・O£U平面，〃Gu平面

•・平面

(2)品巨离为1.

【解析】

【分析】(1)通过证明。即可得出结论;

(2)方法一：设出*C=8C=2/(/>0),建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，得出向量石。与面

的一人法向量的表达式，根据直线与平面所成的角为求出参数/,借助几何关系即可求出

到面的距离.

方法二：利用直线与平面所成的角为，求出力C=8。=CG=2,借助几何关系即可求出

到面的距离.

【小问1详解】

略

【小间2详解】

法一：由题意及(1)得，

在直三棱柱中，，设力C=3C=2/(/>0),

四边形与四边形是矩形，

/.AC1BCAC1CC},BC1CC,,

建立空间直角坐标系，如下图所示，

15/26

得到4（2%0,0）,8（02,0）,C（0,0,0）,。（//0）,E（r,0,l）,

ED=（0」,-1）,面的一个法向量为％=（0,1,0/

•・•直线与平面所成的角为

设直线与平面所成的角为，

ED-n}\|0+21+占二…4

.・.sin6=cosfZ）,??!=

而IM「g+/2+（-1）2xJo+F+o

解得，・・.4（2,0,0）,5（0,2,0）,C（0,0,0）,0（1,1,0）,F（l,0,l）,

•・•面，，由几何知识得，到面的距离为%=1.

法二：由题意及（1）得，

在直三棱柱中，，，

四边形与四边形是矩形,

/.AC1BC.AClCClfBC工CC],

・・・4CcCC|=C,4Cu平面，Cgu平面，平面

・・.8C_L平面，NBCq=90。,

・••由几何知识得，NBC。即为直线8G与平面所成的角，

直线与平面所成的角为，

在△48G中，，分别为，中点，DEHBC、,

・•・直线8G与平面所成的角为，即NBGC=45。，

在Rta8CG中，Z5C,C=45°,NBCC、=90°,,

・•.AC=BC=CC1=2,

在RS中，AC1BC,

16/26

△为等腰直角三角形，过点咋DFHAC,

则点为8c中点，DF=!，4C=1,DF工BC，

2

由几何知识得，到面的距离即为。尸=1.

16.

【答案】（1）

3

⑵375

【解析】

【小问1详解】

在4中，

由余弦定理可知AC?二力炉+以y―2.48.8C・cos8=9+12—2x3x2&x立=9,

3

AB2+AC2-BC2_9+9-12_6_1

故力。=3.再由余弦定理得cos/

2ABAC-2x3x3-18"3

【小问2详解】

以为原点，力分为工轴正方向建立平面直角坐标系如图：

4C

W

DA\

则40,0）,8（3,0）,由4c=3,。。54=；得。（1,2夜）.

在延长线上，设力。=，>0,则。（T,0）,5C=（-2,272）,DE//BC,

设力区二42,2垃），则网T—242vLI）.

由，得力万.力d=o,故（T-2/l）xl+（2\/Ll）x2&=0=>T+6/t=0=>4='.

于是DE=|2|-|5c|=—x2石=1.

17/26

已知J"♦则t=\[6=>/=3A/2»则4=.

32

代入得后卜4庭,2),而。

故CE=+4⑹2+仅加―2『=J(33+8近)+(12-8⑹=745=375.

17.

【答奚】(1)的分布列如下图所示:

1234

248

P

392727

(2)(i)尸(X>%)=(1—2丫；

(ii)由题意及(2)(i)证明如下:

P(X>%+〃zcX>攵)—尸(X〉%+加)_—

P[X>k+m\X>k)=

A

P(X>k)P(X>k)~(i-p)

=(\-p)m=P(X>m)

即P(X>k+m\X>k)=P[X>阳).

【解析】

【小问1详解】

由题意知，整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次，当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止

练习，

:.的可能取值为1,2,3,4.

当X=1时，表示第一次就投进球，P(Y=1)=|,

当¥=2时，表示第2次投进球，第1次没有投进，P(^=2)=H-1jx|=1,

(114

当X=3时，表示第3次投进球，前两次没有投进，P(X=3)=1--x—=——

<3)327

8

当X=4时，此事件等价于前次投篮均未投中，尸(X=4)=P[X>3)=

~27

作出的分布列，如下图所示:

1234

2_248

P

392727

18/26

【小问2详解】

（i）由题意及（1）得，整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次,

当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习，

当时，X〉〃表示前次均未投中，

・•.P（X＞k）=（\-p）k.

（ii）略.

18.

Y2v2

【答案】（1）_+2_=i

43

（2）（i）》=争x+1）：（ii）46

【解析】

【小问1详解】

已知椭圆］+£=1的左焦点为/（一1,0）,离心率e=g,

c1

22

则c=l,e=—=7，解得。=2,I)--2_]=4-1=3»

a2

X2v2

因此椭圆方程为二+L=1.

43

【小问2详解】

解法一：

设/：y=Mx+D（左＞0），点尸（，%必），点。（工2，＞2），其中%＞工2,

y=Mx+l)

22

联立直线与椭圆方程｛Xy_,得(3+4公卜2+8左21+4%2—12=0,

+=1

4---3

8k2_4公一12

由韦达定理得玉+吃=3+4%2'再'2-3+4-

由于P,R两点在椭圆上，关于原点对称，

所以点R（-七，一切），且M=&（X】+l）,y2=^（x2+l）,

（i）

19/26

由面积公式,S.PQQ=；|。尸卜1%-了2|=31|必一%|=,必一刃=’（再一%2），

又因为是线段PH的中点，所以2?如=S,火放，所以SP0?=25，「纱二女（玉—X?）,

s./=J明你|=3=当型,

s

由于不鳖=3,得2（玉_工2）=3仕+1）,

即用+2X2=-3,

KPFO

.1.8〃.9—4〃9+4〃

令u=k~，由玉+々=一：；—1与4+2%2=-3,得玉二:;——,X=--——

3+4〃3+4“23+4〃

4«-12（9-4〃）（9+4〃）4“一125

代入引S=「-，得-----二[\2=T^，解得〃=]

3+4u（3+4〃）3+4〃4

所以k=专,所以直线的方程为卜二

+1）.

（ii）直线QR的斜率为I%一%-A5土义12=,

-X）-x2X1+x24k

于是tan/PQR=一争=4%+*22M.=473,当且仅当〃=当时取等号,

IT

故的最小值为4G.

解法二：

（i）如图所示，设直线的方程为工=，町一1,其中斜率k=,>0=〃7>0,

m

设点P（X，乂），点。（％，%），且%，8<°，

20/26

根据椭圆的中心对称性可知，点火（-%,一切），

x=my

联立直线与椭圆方程，得卜2,化简得。〃/+4）/-6叩一9=0,

T+T-

由韦达定理可得乂+%=鲁7,必先=三夫，

3/w+43nr+4

因为是关于原点的对称点，所以是线段尸R的中点，

因此gPQO=S,RQO,所以SQ0R=2spQO,

=

由于2P07?3sm.0,所以2s4PQ0=3s4PF0»

%如=*4|必-刃=3/1%-闾二"-必|,

2"=:四・|必|=:1⑶=；同，

所以2•（张一为|）二3.1纲）叩「无上割.

3

由于乂＞0，%＜°，所以简化为必一%=]必=＞乂=一2%，

代入韦达定理，得乃=：;~,则乂%=一2歹；=一2（—]=—3—，

3"+4"2/2（3〃/+4）3/+4

2_2石

化简得45m之=36»由于〃？＞0,解得m=

所以直线的方程为X=半）＞—1，即＞=

乎(x+O

（ii）由题意，/P0A即为直线。尸与直线。〃的夹角,

直线。尸即直线，方程为工二叩-1（加＞0）,

点。（工2，8），点尸（x”M）,点火（一王，一弘），直线。尸的斜率4*二，，

%一（一必）二%十必

直线。R的斜率左俳二

“2一（一阳）/+玉

由于尸，。在直线x=〃9一1（〃2＞。）上，有用二色|一1/2=叩2-1，

叫方代入小片高